Применение интерполяции и сплайнов

для решения задач радиотехники

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Ознакомится с особенностями выполнения интерполяции и сплайн-интерполяции с использованием пакета Mathcad 2000.

ПОЯСНЕНИЯ К РАБОТЕ

Введение

Базовыми при проектировании многих радиотехнических устройств на транзисторах являются его входная Ib(Ube, Uce) и выходная Ic(Uce, Ib) вольт-амперные характеристики (ВАХ), показанные на рис. 1, где Ib – ток базы, Ube – напряжение база-эммитер, Uce – напряжение коллетор-эммитер, Ic – ток коллектора. Поэтому вопросы приближения этих характеристик являются весьма актуальными в инженерной практике.

Интерполяция таблично заданной функции

одной независимой переменной

В практике вычислений часто требуется определить значение функции f(x), определенной своими значениями f(x₀), f(x₁), …, f(x_n) на определенном наборе точек (узлов) , в некоторой промежуточной точке, гдеi=0, 1, … , n-1. Построение функции F(x), позволяющей вычислить значение функции f(x) в точках, не совпадающих с заданным набором узлов, называется задачей интерполяции функции одной переменной. При этом f(x) называют интерполируемой, а F(x) – интерполирующей функциями. Определение значения функции f(x) для x<a или x>b, называется задачей экст-раполяции. При решении этих двух задач часто используются интерполяционная формула Лагранжа для неравноотстоящих узлов, приведенная ниже

.

С помощью этой формулы можно выполнить интерполяцию одной из ветвей входной (например, для Uce = 5 В) или выходной (например, для Ib = 0,3 мА) ВАХ.

Ib, мА Uce = 0В 5В 25В Ic, мА

Ib =

0,8 40 0,7 мА

0,6 мА

0,6 30 0,5 мА

0,4 мА

0,4 20 0,3 мА

0,2 мА

0,2 10 0,1 мА

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Ube, В 0 5 10 15 20 25 Uce, В

а) б)

Рис. 1. Входная – а) и выходная – б) ВАХ транзистора типа КТ312Б

Интерполяция таблично заданной функции двух независимых переменных

Предположим, что на некотором наборе узлов на плоскости таблично задана функция двух независимых переменных f(x,y), определенная своими значениями f(x₀, y₀), f(x₁, y₁), f(x₂, y₂)…, f(x_n, y_n). Примерами функций двух переменных могут служить, представленные на рис. 1, зависимости Ib(Uce, Ube) и Ic(Uce, Ib). Построение функции F(x,y), позволяющей вычислить значение функции f(x,y) в точках, не совпадающих с заданным набором узлов, называется задачей интерполяции функции двух переменных. При этом f(x,y) называют интерполируемой, а F(x,y) – интерполирующей функциями. Для интерполяции таблично заданной на прямоугольной (k+1)*(m+1) сетке узлов функции двух независимых переменных можно использовать, например, интерполяционную формулу Лагранжа

.

При программировании в Mathcad выражений, подобных вышеуказанным, удобно пользоваться функцией if(cond, x, y), которая возвращает значение выражения x, если логическое условие cond истинно (не ноль) и возвращает значение выражения y – в противном случае. Например, вычисление выражения , гдеможно реализовать вMathcad в виде следующей программы

В ряде случаев более предпочтительной, по сравнению с формулой Лагранжа, может оказаться последовательная интерполяция функции двух независимых переменных. В этом случае на первом этапе выполняют ряд интерполяций по одной из переменных – для различных ее значений при фиксированном значении второй переменной, а затем на втором этапе выполняют одну интерполяцию по второй переменной при фиксированном значении первой. Например, при выполнении последовательной интерполяции выходной ВАХ транзистора (требуется найти =Ic(, )), можно на первом этапе выполнить ряд интерполяций зависимости Ic(Uce) при различных значениях тока базы Ib, а затем выполнить одну интерполяцию полученного табличного набора значений Ic(, Ib) и найти искомое значение =Ic(,).