3614

а

б

в

г

Рис. 7

4.2.Пассивные элементы

Кпассивным элементам электрической цепи относятся резистор, катушка и конденсатор. Пассивный элемент называется линейным, если его динамическая характеристика выражает линейную зависимость – алгебраическую, дифференциальную или интегральную –

между напряжением u и током i элемента цепи.

Линейным резистором называют сосредоточенный двухполюсный элемент электрической цепи, напряжение u = u(t) и ток i = i(t) которого при согласном выборе их положительных направлений (рис. 8, а) связаны линейными динамическими характеристиками

u = Ri,	(9)
i = Gu,	(10)

выражающими известный из курса общей физики закон Ома.

а

б

в

Рис. 8

11

Коэффициенты пропорциональности R 0 и G 0 вольтамперных характеристик (9) и (10), количественно характеризующие линейный резистор (иначе говоря, его параметры), называются соответственно сопротивлением и проводимостью линейного резистора, причем

R G 1 при G 0 , G R 1 при R 0 . (11) Значения сопротивления резистора выражают в омах (Ом), килоомах (1 кОм = 103 Ом), мегомах (1 МОм = 106 Ом), значения проводимости резистора – в сименсах (См), миллисименсах (1 мСм = 10–

3 См) или микросименсах (1 мкСм = 10–6 См).

Мгновенные значения получаемой (потребляемой) мощности ли-

нейного резистора pпот(t) неотрицательны:
pпол = pпол(t) = ui = Ri2 = Gu2 0 .	(12)

Значение энергии wпол(t), рассеянной резистором за промежуток времени от t0 до t > t0, в соответствии с (4) равно

t	t	t
wпол (t, t0 ) wпол (t) wпол (t0 )	pпол (t) dt R i2	(t) dt G u2 (t) dt 0 .
t0	t0	t0

Рассмотрение механизма необратимого преобразования (рассеяния) энергии резистором в теории цепей невозможно по определению.

Линейной катушкой называют сосредоточенный двухполюсный элемент электрической цепи, напряжение u = u(t) и ток i = i(t) которого при согласном выборе их положительных направлений (рис. 8, б) связаны линейными динамическими характеристиками

	u L		di		, L 0 ,	(13)
			dt
	i(t) i(t0 )		1		t
					u(t)dt , L > 0.	(14)
			L t
					0

Коэффициент пропорциональности L 0 , количественно характеризующий линейную катушку, называется индуктивностью линейной катушки и считается ее параметром. Значения индуктивности

12

катушки выражают в генри (Гн), миллигенри (1 мГн = 10–3 Гн), мик-

рогенри (1 мкГн = 10–6 Гн).

Выражение мгновенной получаемой (потребляемой) мощности линейной катушки имеет вид

pпол = pпол(t) = ui = iL	di		1	L	d	i	2	,	(15)
	dt		2		dt

она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В первом случае (pпол > 0) катушка накапливает энергию, а во втором (pпол < 0) – энергия, запасенная ранее катушкой, отдается во внешнюю по отношению к ней часть цепи.

Энергия wпол(t), запасенная катушкой за промежуток времени от t0 до t > t0, в соответствии с (4) рассчитывается по формуле

	t		1	L i2 (t)	1	L i2 (t0 ) .
	wпол (t, t0 ) wпол (t) wпол (t0 )	pпол (t) dt
			2		2
	t0

Если выбрать такой момент времени t0, при котором ток катушки i(t0), а следовательно, и ее энергия wпол(t0) равны нулю, то значения энергии катушки при t > t0 неотрицательны:

w	(t, t		)	1	Li2 (t) 0 .	(16)
		0
пол			2

Линейным конденсатором называют сосредоточенный двухполюсный элемент электрической цепи, ток i = i(t) и напряжение u = u(t) которого при согласном выборе их положительных направлений (рис. 8, в) связаны линейными динамическими характеристиками:

	i C	du			, C 0 ,	(17)
		dt
	u(t) u(t0 )		1		t
					i(t)dt , С > 0.	(18)
			C t
				0

Коэффициент пропорциональности C > 0, количественно характеризующий линейный конденсатор, называется емкостью линейного конденсатора и является его параметром. Значение емкости конден-

13

сатора выражают в фарадах (Ф), микрофарадах (1 мкФ = 10–6 Ф), нанофарадах (1 нФ = 10–9 Ф) и пикофарадах (1 пФ = 10–12 Ф).

Выражение мгновенной получаемой (потребляемой) мощности

линейного конденсатора имеет вид
pпол = pпол(t) = ui = uC	du		1	C	d	u 2 .	(19)
	dt
			2 dt

Мощность принимает как положительные, так и отрицательные значения. В первом случае (pпол > 0) конденсатор накапливает энергию, а во втором (pпол < 0) энергия, запасенная ранее конденсатором, отдается во внешнюю по отношению к нему часть цепи.

Энергия wпол(t), запасенная конденсатором за промежуток времени от t0 до t > t0, в соответствии с (4) рассчитывается по формуле

	t		1	Cu2		1	Cu2
	wпол (t, t0 ) wпол (t) wпол (t0 )	pпол (t)dt			(t)			(t0 ) .
			2			2
	t0

Если выбрать такой момент времени t0, при котором напряжение конденсатора u(t0), а следовательно, и его энергия wпол(t0) равны нулю, то значения энергии конденсатора при t > t0 неотрицательны:

w	(t, t )	1	Cu2	(t) 0 .	(20)
пол	0	2

Примечания.

1.В обиходе, к сожалению, не всегда следят за строгостью терминологии и часто резистор называют сопротивлением, катушку – индуктивностью (или катушкой индуктивности), конденсатор – емкостью, источник напряжения – источником энергии (питания); число подобных примеров можно умножить. Избегайте терминологической небрежности, не отождествляйте элемент цепи с его параметром либо его техническим прототипом!

2.Хотя выбор положительных направлений напряжения и тока пассивного элемента цепи произволен, обычно для сокращения числа обозначений на схеме эти направления заранее согласовывают между собой; при этом указывают положительные направления либо только напряжения, либо только тока.

14

3.Если эти направления совпадают, то характеристику пассивного элемента цепи записывают со знаком «+», в противном случае – со знаком «–».

4.В дальнейшем, по умолчанию, под мощностью и энергией пас-

сивного элемента цепи мы будем подразумевать потребляемые ими мощность и энергию, а под мощностью (энергией) активного элемента цепи – мощность и энергию, отдаваемую ими прочим элементам цепи.

5. Если с течением времени значение параметра линейного пассивного элемента цепи сохраняется неизменным, то элемент называ-

ется линейным инвариантным во времени. В теории цепей находят применение и другие, существенно более сложные модели, а именно:

нелинейные;

линейно-параметрические;

нелинейно-параметрические элементы (табл. 2, здесь на примере резистора образно представлена классификация пассивных элементов электрической цепи).

Таблица 2

Вид элемента

Линейный

Нелинейный

Инвариантный

Параметрический

4.3.Вспомогательные элементы

Квспомогательным сосредоточенным двухполюсным элементам электрической цепи относятся провод, разъем и ключ.

Провод (рис. 9, а) представляет собой сосредоточенный двухполюсный элемент электрической цепи, напряжение которого u(t) равно нулю

u(t) = 0

(21)

при любом конечном значении его тока.

15

Из определения провода следует, что значения его потребляемой и отдаваемой мощности p(t) и энергии w(t) в любой момент времени t равны нулю при конечных значениях тока провода.

Примечание. Если провод на схеме цепи не идентифицирован, то по умолчанию его изображение считается продолжением изображения элемента цепи, включенного последовательно с ним.

а

б

в

г

Рис. 9

Разъемом назовем сосредоточенный двухполюсный элемент

электрической цепи, ток которого i(t) равен нулю
i(t) = 0	(22)

при любом конечном значении его напряжения. Условное обозначение разъема показано на рис. 9, б.

Из определения разъема следует, что значения его потребляемой и отдаваемой мощности p(t) и энергии w(t) в любой момент времени t равны нулю при конечных значениях напряжения разъема.

Ключ, по существу, является параметрическим вспомогательным элементом, который находится в одном из двух взаимоисключающих состояний: либо – разомкнутом, либо – замкнутом.

Пусть t = t0 обозначает момент коммутации ключа, т. е. момент его перехода из одного состояния в другое. Тогда, к примеру, разомкнутым ключом (рис. 9, в) назовем сосредоточенный двухполюсный элемент электрической цепи, который:

в исходном состоянии эквивалентен разъему – i(t) = 0 (t < t0);

в конечном состоянии эквивалентен проводу – u(t) = 0 (t t0);

переход ключа из одного состояния в другое осуществляется

мгновенно при t = t0.

Сходным образом определяется и замкнутый ключ (рис. 9, г). Следовательно, из определений ключей вытекает, что значения

потребляемой и отдаваемой мощности и энергии ключей равны ну-

16

лю, если напряжение u(t0+) размыкаемого ключа и ток i(t0+) замыкаемого ключа принимают конечные значения.

Хотя провода, разъемы и ключи в исходном и конечном состояниях не влияют на процессы в электрической цепи, введение их в теорию необходимо для обеспечения полноты множества ее элементов.

5. СХЕМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов и показывающее соединения этих элементов, называют схемой электрической цепи.

В качестве примера приведем схему электрической цепи с сосредоточенными линейными элементами (рис. 10, б), моделирующей (при определенных ограничениях) биполярный транзистор p–n–p- типа (рис. 10, а) при его включении с общим эмиттером.

Все элементы схемы цепи можно пронумеровать. Тогда буквенным обозначениям напряжения, тока и параметра элемента могут быть приписаны одинаковые цифровые индексы, совпадающие с номером элемента.

а

б

Рис. 10

Объединение полюсов элементов схемы цепи образует узел. Узлы отображаются жирными точками; при необходимости их маркируют арабскими цифрами или строчными латинскими (реже русскими) буквами. Забегая вперед, отметим, что два узла схемы цепи, соединенные проводом, это фактически один узел, который разнесен для удобства изображения схемы и ее наглядности. Такие узлы называют взаимно устранимыми.

17

Если в узел объединены полюса только двух элементов, то их соединение называют последовательным. Последовательно соединенные элементы образуют ветви.

Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким элементам схемы (ветвям) цепи не более одного раза, называется контуром. При необходимости их маркируют арабскими цифрами или строчными латинскими буквами. Контур схемы, не охватывающий ни одного ее элемента, будем называть элементарным. Легко убедиться в том, что число возможных контуров схемы цепи превосходит число элементарных. Заметим предварительно, что два контура схемы, разделенные разъемом, – это фактически один контур.

6. ОРГРАФ ЦЕПИ И ЕГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Для отображения структуры цепи, образованной соединением ее элементов, применяют математическую модель, называемую ориентированным графом или сокращенно орграфом.

Конечным орграфом G называется пара (U, W), состоящая из конечного непустого множества U, элементы которого назовем узлами, и заданного множества W упорядоченных пар различных узлов из U. Каждую пару w(i, j) W , i, j U , в W назовем ориентированной

ветвью.

В дальнейшем под орграфом будем понимать то или иное его представление. Считая, что все узлы и ребра орграфа пронумерованы числами натурального ряда, начиная, например, с единицы, рассмотрим три способа его представления.

Первый из них предполагает полное описание множества ветвей орграфа в виде нумерованного списка ветвей (i, j), где i и j – целые числа.

Второй способ представления связан с геометрическим отображением планарного орграфа. На сферу произвольного конечного радиуса наносятся U точек – изображений узлов орграфа. Далее, в соответствии со списком ветвей орграфа точки i и j соединяются направленным отрезком (например, от i к j) произвольной непрерывной линии (в частности, прямой), если ветвь w(i, j) W , i, j U . Изображе-

ние орграфа разбивает всю сферу на сферические многоугольники (рис. 11), периметры которых мы будем называть элементарными

18

контурами. В орграфе цепи ориентированы не только ветви, но и его узлы и элементарные контуры. В силу симметрии очевидно, что ориентации как узлов орграфа цепи, так и его контуров должны быть одинаковыми.

Рис. 11

Каждый узел орграфа можно рассматривать как предельный случай охватывающей его сокращающейся сферы. Условимся, что направление внешней нормали такой сферы характеризует ориентацию узла. Ориентация каждого контура задается направлением его обхода

– по ходу или против хода часовой стрелки, если смотреть по направлению внешней нормали к соответствующему сферическому многоугольнику.

Значения числа узлов U, элементарных контуров K и ветвей W связного графа подчиняются ограничению, налагаемому известной из геометрии выпуклых многогранников топологической формулой Л. Эйлера (опубликованной в 1758 г.)

(U – 1) + (K – 1) = W . (23)

Изображение орграфа на сфере можно спроектировать на плоскость в виде стереографической проекции (рис. 12). При этом верхний (полярный) элементарный контур на сфере отобразит-

19

Рис. 12

ся в так называемый внешний контур на плоскости. Естественным достоинством последнего представления орграфа является его наглядность. Ориентация всех узлов стереографической проекции орграфа останется одинаковой; все внутренние контуры проекции ориентированы также одинаково (на рис. 12 – против хода часовой стрелки); сохранилось, разумеется, и направление внешнего контура, хотя теперь он и обходится по ходу часовой стрелки.

Наконец, третье представление орграфа связано с матрицами. При автоматизированном формировании уравнений состояния цепи на персональном компьютере ее орграф представляют топологическими матрицами: матрицей инцидентности узлов (и ветвей) либо матрицей инцидентности контуров (и ветвей).

Говорят, что ветвь m инцидентна узлу n, если она принадлежит этому узлу. Теперь построим полную матрицу инцидентности A0 узлов орграфа и его ветвей. Число ее столбцов положим равным числу ветвей и каждому столбцу присвоим номер, соответствующий номеру ветви. Число строк полной матрицы положим равным числу узлов и каждой строке присвоим номер соответствующего узла. Элемент anm этой матрицы принимается равным +1 при согласной ориентации узла n и ветви m и равным –1 при их встречной ориентации и 0, если ветвь m не принадлежит узлу n. Для орграфа, представленного на рис. 12, получим следующую полную матрицу инцидентности контуров и ветвей:

	1		0	0 1		0	1
		0	1	0	1 1		0
A							.
0		0	0	1	0	1	1
		1	1	1	0	0	0

Так как любая ветвь инцидентна паре узлов, то каждый столбец полной матрицы A0 содержит ровно две единицы: +1 и –1. Посколь-

ку сумма элементов любого столбца матрицы A0 равна нулю, то любая ее строка является линейно зависимой от всех остальных и ее

Инцидентность (от лат. incidens, род. п. incidents – попадающий, наталкивающийся) – термин, употребляемый для обозначения отношения принадлежности элемента к некоторому множеству.

20