3614

можно вычеркнуть (а при необходимости – восстановить). Эту матрицу A в отличие от предыдущей будем называть просто матрицей инцидентности узлов (и ветвей). Например, после вычеркивания последней строки матрицы A0 , соответствующей зависимому (опорно-

му) узлу 4, получим

1		0 0 1	0 1
A	0 1 0 1 1 0 .
	0	0 1 0	1 1

В общем случае

dim A (U 1)W ,

где (U – 1) – число независимых узлов орграфа; W – число его ветвей. Говорят, что ветвь m инцидентна контуру n, если она принадлежит этому контуру. Теперь построим полную матрицу инцидентности B0 контуров орграфа и его ветвей. Число ее столбцов положим равным числу ветвей и каждому столбцу присвоим номер, соответствующий номеру ветви. Число строк матрицы положим равным числу контуров и каждой строке присвоим номер соответствующего контура. Элемент bnm этой матрицы принимается равным +1 при согласной ориентации контура n и ветви m, –1 – при их встречной ориентации и 0, если ветвь m не принадлежит контуру n. Для орграфа, представленного на рис. 12, получим следующую полную матрицу инцидент-

ности контуров (и ветвей):

	1		1	0	1	0	0
		0 1		1	0	1	0
B							.
0		1	0	1	0	0	1
		0	0	0 1 1 1

Так как любая ветвь инцидентна паре контуров, то каждый столбец полной матрицы инцидентности контуров содержит ровно две единицы: +1 и –1. Поскольку сумма элементов любого столбца матрицы B0 равна нулю, то любая ее строка является линейно зависимой

от всех остальных и ее можно вычеркнуть (а при необходимости – восстановить). Эту матрицу в отличие от предыдущей будем назы-

21

Рис. 13

вать просто матрицей инцидентности контуров B. Например, в ре-

зультате вычеркивания последней строки матрицы B0 , соответствующей зависимому (опорному) контуру 4, получим

1		1 0	1	0	0
B	0 1 1		0	1	0 .
	1	0 1 0		0	1

В общем случае

dim B (K 1)W ,

где (K – 1) – число независимых контуров орграфа; W – число его ветвей.

Матрицы A и B одного и того же орграфа удовлетворяют следующим U – 1 соотношениям ортогональности:

ABT BAT 0 .

(24)

K – 1

Справедливость этих равенств легко проверить для матриц инцидентности орграфа, показанного на рис. 13. Кроме того, число строк этих матриц должно удовлетворять топологической

формуле Эйлера (23). Иллюстрацией этой формулы служит квадратная матрица размером W W, полученная объединением ее подматриц A и B (см. рис. 12).

Орграф цепи (точнее, его геометрическое представление) получается в результате изображения элементов схемы цепи направленными отрезками произвольных линий (в частности, прямых), ориентированных в соответствии с согласованными условно положительными направлениями напряжений и токов ее элементов.

7. ЗАКОНЫ КИРХГОФА. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЦЕПИ

Законы Кирхгофа принимаются в качестве аксиом теории электрических цепей. Один из них, традиционно называемый первым за-

22

коном Кирхгофа, определяет распределение значений токов элементов цепи, а другой (второй закон Кирхгофа) задает распределение значений напряжений элементов; причем распределения как первых, так и вторых таково, что значения напряжения и тока каждого пассивного элемента подчиняются дополнительному ограничению, задаваемому динамической характеристикой элемента.

Первый закон Кирхгофа: для любого узла электрической цепи с конечным числом сосредоточенных элементов алгебраическая сумма токов всех элементов, принадлежащих узлу, в любой момент времени равна нулю:

ik (t) 0 .

k

Знаки перед идентификаторами токов элементов цепи определяются сопоставлением ориентации узла и положительных направлений токов элементов, принадлежащих этому узлу; при их совпадении берется знак «+», при несовпадении – знак «–». Так, для орграфа некоторой цепи, изображенного на рис. 12, имеем

для узла 1	– i1		– i4		+ i6	= 0
для узла 2		– i2	+ i4	– i5		= 0
для узла 3		– i3		+ i5	– i6	= 0

Последнее уравнение – равенство нулю баланса токов ветвей узла

4

+i1 + i2 + i3 = 0

– является следствием первых трех и, следовательно, не содержит дополнительных сведений о топологии орграфа цепи, а потому должно быть отброшено. В связи с тем, что каждая строка матрицы A несет информацию о том, какие ребра и с какой ориентацией принадлежат определенному узлу орграфа цепи, эту матрицу можно использовать для записи системы линейно независимых узловых уравнений

Ai 0 ,

(25)

где i i (t) – вектор токов всех элементов цепи.

23

Второй закон Кирхгофа: для любого контура электрической цепи с конечным числом сосредоточенных элементов алгебраическая сумма напряжений всех элементов, принадлежащих контуру, в любой момент времени равна нулю:

uk (t) 0 .

k

Знаки перед идентификаторами напряжений элементов определяются сопоставлением ориентации контура и положительных направлений напряжений элементов, принадлежащих этому контуру; при их совпадении берется знак «+», при несовпадении – «–». Так, для орграфа некоторой цепи, изображенного на рис. 12, имеем

для контура 1	– u1	+ u2	+ u4	= 0
для контура 2		– u2 + u3	+ u5	= 0
для контура 3	+ u1	– u3		+ u6 = 0

Последнее уравнение – равенство нулю баланса напряжений ветвей 4-го (внешнего) контура

–u4 – u5 – u6 = 0

–является следствием первых трех и поэтому не содержит дополнительных сведений о топологии орграфа цепи и должно быть отброшено.

Всвязи с тем, что каждая строка матрицы B несет информацию о том, какие ребра и с какой ориентацией принадлежат определенному контуру орграфа цепи, эту матрицу можно использовать для записи

системы линейно независимых контурных уравнений:
Bu 0 ,	(26)

где u u(t) – вектор напряжений всех элементов цепи.

В заключение подчеркнем, что законы Кирхгофа не выражают никаких новых свойств электромагнитного поля и потому не могут рассматриваться как физические законы. Законы Кирхгофа выступают в качестве структурных связей элементов цепи и ограничений значений их напряжений и токов. Поэтому совокупность двух линейно независимых систем алгебраических уравнений, выражающих равенство нулю баланса токов независимых узлов (25) и напряжений

24

независимых контуров (26), называют структурными или топологическими уравнениями цепи. Каждое отдельное уравнение системы уравнений Кирхгофа выражает лишь одно условие сопряжения: либо токов элементов цепи в узле, либо напряжений элементов цепи в контуре.

При теоретическом исследовании цепи «вручную» ее топологические уравнения составляются непосредственно по схеме цепи, минуя этапы изображения ее орграфа и составления его матриц инцидентностей.

8. ПРИНЦИП ДУАЛЬНОСТИ

Для уяснения специфики отдельных специальных приемов, облегчающих исследование цепи, и уточнения возможностей их применения целесообразно предварительно выделить несколько принципов, выражающих общие свойства линейной цепи вне зависимости от конкретной задачи исследования. Здесь мы познакомимся с одним из них – принципом дуальности.

Даже на начальной стадии изучения основ теории электрических цепей, линейных, во всяком случае, нельзя не обратить внимания на определенную симметрию, присущую ее аксиомам и характеристикам ее элементов. В самом деле, обращаясь к формулировкам первого и второго законов Кирхгофа, нетрудно убедиться в их одинаковой лингвистической структуре. Если, например, в тексте первого закона Кирхгофа слова «узел» и «ток» заменить на «контур» и «напряжение», то получится формулировка второго закона Кирхгофа. Подобная же симметрия обнаруживается и в определениях активных, линейных пассивных (кроме резистора) и вспомогательных элементов цепи.

Иначе говоря, характеристики источников напряжения и тока, катушки и конденсатора, провода и разъема могут быть получены одна из другой путем замены букв u i, C L . Что же касается резисто-

ра, то его характеристика переходит из одной формы в другую при замене R G .

Эти взаимные соответствия топологических понятий цепи, физических величин и характеристик ее элементов называются дуальностью. Таким образом, узел и контур схемы или орграфа, напряжение и ток элемента цепи, катушка и конденсатор, сопротивление и про-

25

водимость линейного резистора и т. д. являются дуальными топологическими элементами цепи, величинами ее элементов, компонентами цепи, параметрами линейного резистора.

Принцип дуальности гласит: если в выражении любой зависимости между напряжениями и токами элементов цепи произвести замену величин и параметров соответствующими дуальными величинами и параметрами, то новое выражение сохраняет смысл.

В ряде случаев использование принципа дуальности облегчает исследование цепи. Так, если известны формулы, связывающие напряжения и токи элементов некоторой схемы, то соответствующие формулы для дуальной схемы могут быть получены без вывода, на основании только принципа дуальности.

Приведенный выше ряд дуальных соответствий может быть (и впоследствии будет) продолжен.

9. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Электрическая цепь как объект теории цепей есть математическая модель, и теория электрических цепей исследует эти модели.

Она позволяет решать две основные задачи. При этом решение задачи доводится до такого результата, которому можно придать содержательную интерпретацию, т. е. в конечном счете он может быть проверен на практике.

Типичная задача анализа цепи состоит в определении неизвестных значений напряжений u(t) и токов i(t) ее элементов в общем случае для t0 < t < при известной структуре (топологии) цепи и заданном множестве ее элементов. Корректная постановка задачи подразумевает наличие необходимых для ответа исходных данных. Естественно считать корректной или правильно поставленной такую задачу, решение которой определяется однозначно.

Условимся в дальнейшем под состоянием электрической цепи в

момент времени t = t0 понимать набор мгновенных значений напряжений u(t0) и токов i(t0) всех ее элементов. Тогда последовательную однонаправленную (непрерывную или дискретную) смену состояний

– изменений величин, характеризующих состояние – определим как

26

процесс в электрической цепи и будем представлять его векторами u(t) и i(t).

Решение систем уравнений Кирхгофа для всех независимых контуров и узлов цепи с учетом характеристики каждого ее элемента позволяет найти аналитическое выражение тока и напряжение любого элемента сколь угодно сложной цепи.

Обратной анализу является задача синтеза цепи. В результате синтеза можно получить цепь с такими свойствами, которых не имеют составляющие ее элементы.

10.УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЦЕПИ ДЛЯ ТОКОВ

ИНАПРЯЖЕНИЙ ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ

Одной лишь совокупности узловых

Ai 0

и контурных

Bu 0

уравнений цепи явно недостаточно для однозначного определения при t0 < t неизвестных значений напряжений и токов элементов цепи. Действительно,

dim A (U 1)W , dim B (K 1)W .

В соответствии с топологической формулой Эйлера (23) даже общее число линейно независимых топологических уравнений, равное числу ее элементов:

(U – 1) + (K – 1) = W,

не позволяет однозначно найти выражения 2W неизвестных токов i = i(t) и напряжений u = u(t) элементов цепи.

Впрочем, это и не удивительно, поскольку топологические уравнения цепи (25), (26) не содержат информации о ее компонентах, заключенной в совокупности динамических характеристик элементов. Следовательно, только на основании первого и второго законов Кирхгофа выполнить анализ цепи невозможно.

27

В дальнейшем упорядоченное множество характеристик элементов цепи будем называть ее компонентными уравнениями.

Таким образом, для формирования уравнений состояния цепи, в неявной форме однозначно определяющих значения всех неизвестных токов и напряжений элементов цепи, необходимо объединение в систему ее топологических и компонентных уравнений.

Основные формы уравнений состояния цепи можно классифицировать в соответствии с элементами ее орграфа. Каждое ребро орграфа электрической цепи отображает ток и напряжение соответствующего элемента при их согласной ориентации. Любой элементарный контур цепи и, соответственно, ее орграфа можно характеризовать определенным значением контурного тока. И, наконец, с каждым узлом цепи и ее орграфа может быть связано определенное значение узлового напряжения. Таким образом, процесс в любой электрической цепи можно характеризовать системами уравнений ее состояния, составленными:

для токов элементов;

напряжений элементов (либо комбинацией токов и напряжений элементов);

контурных токов и узловых

напряжений цепи.
Рассмотрим в качестве приме-
ра порядок формирования уравне-
ний состояния цепи (рис. 14) для
токов и напряжений ее элементов
при t t0 = 0.
Непосредственно по схеме це-
пи составим полную систему то-
пологических уравнений цепи.
Схема цепи, представленная на
рис. 14, имеет четыре узла, поэто-	Рис. 14
му в соответствии с формулой

Эйлера (23) по первому закону Кирхгофа для нее можно составить три независимых узловых уравнения, например, полагая узел 4 независимым (опорным):

для узла 1	– i1+ i2 = 0,
для узла 2	i1+ i3 + i5 = 0,
	28

для узла 3

– i3 + i4 = 0.

Можно, конечно, записать уравнение и для последнего узла 4

– i2 – i4 – i5 = 0,

но оно не будет независимым, поскольку является суммой трех предыдущих, взятой с обратным знаком.

Поскольку схема цепи, представленной на рис. 14, содержит три элементарных контура, в соответствии с формулой Эйлера (23) по второму закону Кирхгофа для нее можно составить два независимых контурных уравнения, например, полагая внешний контур 3 независимым (опорным):

для контура 1	u1 + u2 – u3 – u4 = 0,
для контура 2	u3 + u4 – u5 = 0.

Уравнение для последнего третьего контура

– u1 – u2 + u5 = 0

не является независимым, поскольку представляет собой взятую с обратным знаком сумму двух предыдущих контурных уравнений.

Всоответствии с топологической формулой Эйлера (23) при U = 4

иK = 3 общее число линейно независимых топологических уравнений

(U – 1) + (K – 1) = 5

равно числу элементов схемы, приведенной на рис. 14 (ветвей орграфа цепи W = 5).

Подставим теперь в систему узловых уравнений цепи выражение динамической характеристики ее источника независимого тока (а также разъемов и разомкнутых ключей). В соответствии с принципом дуальности в систему контурных уравнений следует подставить выражение динамической характеристики ее источника независимого напряжения (а также проводов* и замкнутых ключей).

Разъем есть предельный случай источника тока при стремлении его тока

кнулю.

* Провод есть предельный случай источника напряжения при стремлении его напряжения к нулю.

29

Теперь система топологических уравнений цепи примет следующий вид:

– i1+ i2 = 0, i1+ i3 + iк5 = 0,

– i3 + i4 = 0,

uо1 + u2 – u3 – u4 = 0, u3 + u4 – u5 = 0.

Если вместо идентификаторов напряжений пассивных элементов цепи подставить выражения их динамических характеристик (9), (13) и (18), то получится система четырех независимых уравнений, в неявной форме однозначно определяющая значения токов четырех элементов цепи при t 0:

i1 i2 0 , i1+ i3 + iк5 = 0,

– i3 + i4 = 0,

				1	t	di
	uо1	u2	(0)		i2 (t) dt L3	3	R4i4 0 ,
				C		dt
					0
				2

L3 didt3 R4i4 u5 0 .

Первое и последнее уравнения не входят в эту систему и служат лишь для определения выражений тока i1 = i1(t) источника напряжения u1 и напряжения u5 = u5(t) источника тока iк5. Решая систему из трех уравнений системы известными в математике способами, можно однозначно определить выражения токов трех пассивных элементов цепи при t 0. Значения напряжений резистора, катушки и конденсатора цепи при t 0 находятся по выражениям их динамических характеристик (9), (13) и (18).

Если же вместо идентификаторов токов пассивных элементов цепи подставить выражения их динамических характеристик (10), (14) и (17) и исключить из первых двух уравнений переменную i1, то получится система трех независимых уравнений, в неявной форме од-

30