Лекции SPPMI

			0
	Az			ln	x xP 2 y yP 2 ,
			4

где xP ,yP – положение провода.

При тестировании некоторых трехмерных задач очень полезными могут быть осесимметричные задачи. Это задачи, которые определены в области, состоящей из цилиндров, и решения которых не зависят от координаты в цилиндрической системе координат r, ,z . Примером может служить задача в расчетной облас-

ти, изображѐнной на рис. 2,а.

В этой задаче можно задать значения параметров дифференциального уравнения

u

u

u

u f .

x

x

y

y

z

z

в виде

		1				1			1
		в ,				в ,	f		в ,
	1				1			1
						в 2,	f		в 2,
в 2,					2		f
	2							2

и краевые условия

(104)

(105)

u	u	g	, u		1	, u		2 .			(106)
S1			n		2	n		2
				S	1		S	2
					2			2
					z	S21			z	12
											2D,1
				1				S22
									12		2
									2D,2		2
				2				y
					S1	0 2 3 5		x	0	2 3 5	r
										1
					а					б

Рис. 2. Расчѐтные области для тестирования трѐхмерных задач

Очевидно, что решение этой задачи может быть найдено в виде двумерной функции u2D r,z в расчетной области, изображѐнной на рис. 2,б. Для этого дос-

таточно решить двумерную задачу для уравнения

31

u

2D

u

2D

2D

1

r

u

f

(107)

r

r

z

r

z

с параметрами, определяемыми теми же соотношениями (105) и (106), в которых

эти параметры ( ,									, f ,			и т.д.) фактически являются функциями координат r и
z :			в ,								в ,							f		в ,
					2D,1									2D,1							2D,1
			1									1			f			1
																				в 2D,2,
		в 2D,2,										2	в 2D,2,					f
			2																2
u2D			u	g	,		u2D				1			,	u2D			2			,	u2D	0 .
		1						n					2		n					2		n
										1							2						0
									2							2							2

Решение этой задачи в декартовой системе координат является трехмерной функцией, и качество полученного в трѐхмерной области (см. рис. 2,а) конечно-

элементного решения uh можно оценить путем сравнения с трѐхмерной функцией u3D x,y,z , полученной пересчетом из решения u2D r,z осесимметричной за-

дачи (107) с помощью соотношения

u3D x,y,z u2D x2 y2,z .

Такие проверки особенно полезны и важны тогда, когда решаемые трѐхмерные задачи в некотором смысле близки к каким-либо осесимметричным задачам.

Для векторных задач существуют довольно много ситуаций (при определѐнном виде источников поля и коэффициентов уравнений), когда решаемая векторная задача вырождается в скалярную задачу, причѐм меньшей размерности. Например, трехмерное электромагнитное поле может быть описано с помощью трехмерных функций Ax Ax x,y,z,t , Ay Ay x,y,z,t , Az Az x,y,z,t и V V x,y,z,t , удовлетворяющих в расчетной области системе уравнений

	1				A		V		ст
					x
			A					J	x	,	(108)
	0		x		t
							x
	1				A				ст
					y		V
			A					J	y	,	(109)
			y		t
							y
	0
	1				A		V		ст
					z
			A					J	z	,	(110)
	0		z		t
							z
									32

				ст
	A
div gradV div			div J ,		(111)
	t

а на границе S области – краевым условиям

	0 ,	V S 0 .
A S			(112)

Будем считать, что электромагнитное поле возбуждается круговым током, а вмещающая среда имеет круговую симметрию. Тогда при условии однородности

среды по магнитной проницаемости электромагнитное поле полностью описыва-

ется одной компонентой A A r,z,t вектор-потенциала A (в цилиндриче-

ской системе координат), и эта функция A r,z,t может быть найдена из реше-

ния двумерного уравнения:

	1	A		A		A	J		.	(113)
	0			0r2		t

Таким образом, в качестве тестовой задачи может быть выбрана задача нахождения распределения вектор-потенциала в цилиндрической области , со-

стоящей из нескольких подобластей k с различными значениями в них коэффициента (т.е. k const в k ). В одной из подобластей, описывающей кольцо, можно задать J 1, а в остальных – отсутствие стороннего тока, (т.е.

J 0 ).

Эту же трехмерную задачу можно использовать и для тестирования процеду-

ры, реализующей схему с выделением поля. Математическая модель, определяю-

t gradV

0

) опи-

щая добавочное поле E

A

(и равное разности E и E

сывается системой уравнений

1

V

0

0

0

Ax

ст

A

J

x

J

x

E

x

,

(114)

x

t

x

0

1

V

Ay

ст

0

0

0

Ay

Jy

Jy

Ey

,

(115)

t

y

0

1

V

0

0

0

Az

ст

A

J

z

J

z

E

z

,

(116)

z

t

z

0

33

								0		0
div gradV				A			div				,	(117)
		div							E
				t

где 0
	и	J0 – проводимость среды и вектор сторонних токов, соответствующие
полю E0		(для простоты считаем, что div J0 0 и	div Jст 0 ), которое, в свою
очередь,		полностью описывает приближение в	виде более простой задачи
E0 A0 t gradV 0 .
Для тестирования процедуры, реализующей схему с выделением поля, в ка-
честве 0		можно взять кусочно-постоянную функцию, совпадающую с во всех

подобластях k кроме одной (т.е. 0 будет отлична от нуля только в одной
подобласти). Входящий же в правые части уравнений (114)–(117) вектор E0 мо-
жет быть получен из функции E 0 r,z,t	A0	r,z,t		по стандартным форму-
		t

лам преобразования векторов при переходе из цилиндрической в декартову систему координат:

Ex0 x,y,z,t E 0

,z,t

y

x 2 y2

,

(118)

x

2 y2

Ey0 x,y,z,t E 0

,z,t

x

x 2 y2

,

(119)

x2 y2

Ez0 x,y,z,t 0 .

(120)

Вектор-потенциал A , являющийся решением задачи на добавочное поле (114)–(117), нужно сравнивать с вектор-потенциалом, полученным после пересче-

та в декартову систему координат разности решений						A0	(в среде с	0 ) и	A	(в
среде	с	)	двух	двумерных	задач.		Пересчет	A		в
A Ax x,y,z,t ,Ay x,y,z,t ,Az x,y,z,t					(а также и A0 и A A0 ) выполня-

ется по формулам, аналогичным (118)–(120).

К сожалению, тестовые задачи, основанные на решении уравнения (113), не позволяют проверить правильность аппроксимации членов уравнений (108)–(110) , содержащих скалярный потенциал V , а также правильность аппроксимации уравнения (111) и связей между всеми уравнениями системы (108)–(111). Наибо-

34

лее полное тестирование системы (108)–(111) можно осуществить на основе другой осесимметричной скалярной задачи.

Рассмотрим задачу моделирования электромагнитного поля так называемой вертикальной электрической линии (ВЭЛ) в проводящей среде. Сторонний ток в этой задаче течет вдоль отрезка, параллельного оси z , и вытекает из этого отрезка в проводящую среду с одного его конца, а втекает – с другого. Поле ВЭЛ в осесимметричной среде может быть описано следующим уравнением:

1

1

H

1

H

div

gradH

2

H

0 ,

(121)

r

t

r r

I

H

,

H

0,

(122)

2 r0

где I

– сторонний ток в ВЭЛ (текущий вдоль оси z в подобласти r r0 , не вхо-

дящей в расчетную область), r0 – значение r -координаты левой границы прямо-

угольника (являющегося расчетной областью для задачи (121)–(122)),

–

часть левой границы , соответствующая ВЭЛ, а – остальные границы .

H

1

Заметим, что двумерное уравнение (121) содержит член

, факти-

r

r

чески являющийся сосредоточенным на поверхностях S

(где терпит разрыв)

H

1

1

1

источником с плотностью

n

, где

– скачок

на

S

,

а n

–

r -

r

r

r

компонента вектора единичной нормали к S .

Значения компонент напряжѐнности электрического поля могут быть получены

по значениям H

rotH E ):

Er 1 H ,

z

с помощью						соотношений				(следующих из уравнения
			1		H
								H
E	z								.	(123)
					r			r

Если решать эту задачу в декартовой системе координат, то она, естественно,

будет описываться системой трѐхмерных уравнений (108)–(111), и в решении

A,V этой системы ненулевыми окажутся все три компоненты вектор35

потенциала A и скалярный потенциал V . Таким образом, с помощью рассмот-

	ренной задачи для ВЭЛ можно наиболее полно протестировать процедуры реше-
	ния системы уравнений (108)–(111). При этом сравнивать можно как значения E ,
	которые из решения A,V задачи (108)–(111) можно получить в виде
		A	gradV ,
	E
		t

а из решения H задачи (121)–(122) с помощью соотношений (123) и пересчета функций Er r,z,t и Ez r,z,t в декартову систему координат по формулам:

Ex x,y,z,t Er

,z,t

x

x 2 y2

,

(124)

x2 y2

Ey x,y,z,t Er

,z,t

y

x 2 y2

,

(125)

x2 y2

Ez x,y,z,t Ez

,z,t ,

x2 y2

(126)

так и значения H , которые из решения задачи (108)–(111) можно получить в виде

1

H

rotA , а из решения H r,z,t

задачи (121)–(122) его пересчѐтом в ком-

0

поненты Hx , Hy и Hz

вектора H по формулам

Hx x,y,z,t H

,z,t

y

x 2 y2

,

x

2 y2

Hy x,y,z,t H

,z,t

x

x 2 y2

,

x2 y2

Hz x,y,z,t 0 .

Аналогичным образом можно построить и тесты для задачи (114)–(117) на добавочное поле.

Кроме того, задачи меньшей размерности, как правило, могут быть решены с использованием других, например, полуаналитических методов, решения которых также могут быть использованы в качестве эталонных.

Еще одним способом верификации, о котором уже в принципе говорилось выше, является сравнение решений двойственных задач. В качестве примера

36

можно привести уже рассмотренную выше задачу расчета электромагнитного поля ВЭЛ в осесимметричной среде, но при условии, что ток в проводе является постоянным.

В этом случае напряженность электрического поля, с одной стороны, может быть найдена с помощью соотношений (123), в которых напряженность магнитного поля H ищется из решения краевой задачи

	1						1							H					1
div		gradH								2	H										0 ,	(127)
								r							r
																	r
							I								0.
		H								,		H										(128)
					2 r0

Сдругой стороны, напряженность электрического поля может быть найдена

ввиде

Er	V	,	Ez	V	,								(129)
				z
	r
где скалярный электрический потенциал V r,z ,										в свою очередь, может быть
найден из решения эллиптической краевой задачи
div gradV A B ,				V			0,	V				0 .	(130)
						3		n
										, ,		4
									1		2

где A и B – положительный и отрицательный источники, описывающие токи, стекающие с электродов А и В, 1 – поверхность, определяемая соотношением r r0 (r0 – достаточно малый радиус), 2 – дневная поверхность, 3 – удаленная вертикальная граница, определяемая соотношением r R (R – достаточно большое число, размер «бака»), 4 – горизонтальная граница, являющаяся либо удаленной, либо границей между средой и непроводящим фундаментом.

Более подробно способы тестирования рассмотрены в учебном пособии [1].

37

2.ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Под прямыми задачами понимают задачи моделирования каких-либо физи-

ческих полей, процессов или явлений (электромагнитных, акустических, сейсмических, тепловых, гравитационных и т.п.). В прямых задачах требуется найти функцию, описывающую физическое поле или процесс в каждой точке исследуемой области и в каждый момент времени (если поле нестационарное). Для решения прямой задачи задаются

1.область, в которой процесс изучается;

2.уравнение, описывающее данный процесс;

3.условия на границе исследуемой области;

4.начальные условия (если процесс нестационарный).

Примером прямой задачи может служить задача нахождения распределения напряженности стационарного электрического поля, возбуждаемого точечным источником в горизонтально-слоистой среде, в которой слои имеют проводимость

i и толщину hi (i – номер слоя).
Распределение электрического поля в области с границей S1 S2	описы-
вается эллиптическим уравнением
div( gradV ) 0	(131)

в цилиндрической системе координат (r,z) с краевыми условиями первого и второго рода

	V	S		0 ,	(132)
	1
	V			.	(133)
	n			S
			2
Для прямой задачи входными данными являются значения удельной элек-
трической проводимости слоев среды i				и их толщины hi , а также плотность сте-

кающего в среду тока , заданная с помощью дельта-функции. Неизвестной вели-

чиной является V – скалярный потенциал электрического поля такой, что напря-

женность электрического поля E gradV . Таким образом, в прямой задаче

38

при известном положении и плотности источника и известной толщине hi и

проводимости i слоев необходимо найти распределение потенциала V(r,z) , описываемое уравнением (131) с краевыми условиями (132)-(133).

Рисунок 1. Вид расчетной области для задачи распределения электрического поля от точечного источника в горизонтально-слоистой среде

В обратной задаче неизвестными являются некоторые параметры, являющиеся исходными для прямой задачи. Эти неизвестные параметры называются решением обратной задачи. Для их определения к заданным уравнениям (131)- (133) и известным параметрам (входным данным прямой задачи) добавляется информация в виде измеренных значений поля (являющегося искомым при решении

прямой задачи) в некоторых точках. Измеренные значения могут быть некоторой
функцией (V ) поля V , в нашем случае E gradV .
Например, обратная задача может быть сформулирована так: при заданных
значениях E (или некоторых компонент E – Ex или Ey ) в точках измерения и
известной толщине hi	и проводимости слоев i найти мощность источника. Или

39

так: при заданных значениях E в точках измерения, заданном источнике и известной толщине hi слоев найти проводимости слоев i .

К обратным задачам также относятся и другие задачи определения характеристик материалов или физических процессов, например, задача определения теплофизических характеристик материала по результатам измерения температуры в некоторых точках, задача гравиметрии по определению формы и размера аномалии плотности на основании данных измерения силы тяжести на поверхности Земли и т.д.

Вообще говоря, в зависимости от постановки задачи получаемая модель среды (решение обратной задачи) может быть не единственной или не существовать вовсе. Задача для уравнения в частных производных поставлена корректно, если решение этой задачи существует, единственно и устойчиво по входным данным. Соответственно, задача называется некорректно поставленной или некорректной, если задача либо не имеет решения, либо, напротив, имеет много решений, либо процедура нахождения решения неустойчива (т.е. при очень малых ошибках измерений полученное решение может как угодно сильно отличаться от точного). На практике используются специальные методы регуляризации, которые связаны с переходом к некоторой "близкой", но уже корректно поставленной задаче (условно корректной).

В работе [2] приведены формальные определения корректности и условной корректности задачи.

Задача

Au f , f F, (134)

где A : DA U F – оператор с непустой областью определения DA , дейст-

вующий из метрического пространства U в аналогичное пространство F , называется корректной (по Ж.Адамару), если выполнены условия:

1)область значений QA оператора A совпадает с F (условие разрешимости);

2)равенство Au1 Au2 для некоторых u1,u2 DA влечет за собой равенство u1 u2 (условие единственности);

3)обратный оператор A 1 непрерывен на F (условие устойчивости).

А.Н.Тихонову принадлежит следующее обобщение классического (по Адамару) понятия корректности, в основе которого лежит фундаментальная идея су-

40