Лекции SPPMI

Стационарное электрическое поле ГЭЛ, описываемое с помощью скалярно-

го

электрического

потенциала V n x,y,z

может

быть

получено

из

функции

V rz r,z с помощью формулы

2

2

2

2

V n

x,y,z

x x

A

y y

A

x x

B

y y

B

,

V rz

,z

V rz

,z

где xA ,yA

и xB ,yB

– координаты точек заземления ГЭЛ, a V rz r,z

– решение

осесимметричной краевой задачи с одним точечным источником в начале коор-

динат.

Вторая задача – это расчет аномальной (трехмерной) составляющей Ea на-

пряженности электрического поля. Она полностью описывается скалярным по-
тенциалом V a ( Ea gradV a ), который может быть получен как решение сле-
дующей краевой задачи:
div gradV a div n gradV n , V a		0,	V a		0 , (160)
		1	n
				2
где 1 – удаленная граница трехмерной области, а 2			– дневная поверхность и,

возможно, граница с непроводящим фундаментом (если он есть в решаемой задаче).

Таким образом, распределение трехмерного стационарного электрического
	n	a
поля E	может быть найдено как сумма E	и E .

Третья задача – это расчет аномальной (трехмерной) составляющей магнитного поля. Математическая модель для расчета стационарного трехмерного магнитного поля при условии, что магнитная проницаемость в земле является постоянной, равной 0 – магнитной проницаемости в вакууме, выглядит следующим образом:

		1
			Aa gradV a n gradV n,	Aa	0 .	(161)
		0

где – граница трехмерной расчетной области (здесь все границы являются удаленными, то есть такими, что изучаемое магнитное поле на них можно считать пренебрежимо малым).

Рассмотрим математические модели векторного и скалярного МКЭ для расчета трехмерных гармонических геоэлектромагнитных полей при решении задач магнитотеллурического зондирования.

51

Математическая модель с использованием векторного МКЭ имеет вид

1

rot rotAa

i Aa n En ,

(162)

0

где Aa

связана с аномальной составляющей электрической напряженности поля

a

с помощью соотношения

E

Ea

i Aa .

(163)

При использовании скалярного МКЭ применяется математическая модель в

виде системы уравнений

1

Aa i Aa gradV a

n En ,

(164)

0

div gradV a i div Aa

div n En .

(165)

Аномальная составляющая Aa

вектор-потенциала и скалярный электриче-

ский потенциал V a

связаны с аномальной составляющей электрической напря-

a

соотношением

женности поля E

Ea

i Aa gradV a .

(166)

n

n

соотношением

Электрическое поле E , связанное с вектор-потенциалом A

En

i An ,

может быть вычислено через решение одномерной задачи в декар-

товых координатах. Если принять,

что токи направлены вдоль

y , то вектор-

и функция Ay1D z может быть найдена из

потенциал An z 0,Ay1D z , 0

решения одномерного уравнения:

1

d2

A1D i A1D J

.

(167)

y

0 dz2

y

y

Математические модели (162) и (164)-(165) используются и для расчета гармонических полей от контролируемых источников.

52

4.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ

Процесс решения обратной задачи часто называют инверсией практических

(измеренных) данных (или просто инверсией).

В данном курсе мы будем рассматривать методы решения обратных задач на основе метода наименьших квадратов.

Пусть	* ( *,..., *		)	– экспериментальные (практические) данные в N
	1	N
точках измерения, соответствующие (возможно, с некоторой							погрешностью)
"точным"	значениям			параметров	u* (u*,...,u* )T		среды,	а
					1	M

(u) ( 1(u),..., N (u))T – данные в тех же N точках измерения, полученные при решении прямой задачи с некоторыми "неточными" параметрами среды u (u1,...,uM )T . В дальнейшем данные мы будем называть теоретическими, и целью решения обратной задачи будет поиск таких значений u , чтобы соответствующие им теоретические данные (u) были максимально близки к эксперимен-

тальным данным * .

Количество наблюдений N обычно не меньше числа восстанавливаемых параметров M : N M . Если M 1, то обратную задачу иногда называют од-

номерной. Если M 1, то – многомерной.

Например, если в задаче электроразведки, расчетная область для которой изображена на рисунке 1, неизвестными являются проводимости слоев мощность P источника (где число P устанавливает связь между плотностью источника и-функцией в виде P (r,z)), то вектор параметров среды будет выглядеть

следующим образом: u ( 1, 2, 3, 4,P). Если же, например, неизвестными яв-

ляются проводимость и толщина второго слоя, то u ( 2,h2).

Поиск параметров среды будем осуществлять путем решения задачи минимизации функционала

N
J(u) (u) 2 ,	(168)

i 1

53

где

(u) * (u)	(169)
это отклонения теоретических данных от практических.
В прикладных исследованиях типичной является ситуация с заданием вход-

ных данных с погрешностью, поэтому при вычислении суммы квадратов отклонений (u) от * имеет смысл использовать некоторые весовые коэффициенты

i . Кроме того, значения параметров u имеет смысл искать в окрестности некоторых априорно заданных значений, что позволяет сделать процедуру поиска параметров более устойчивой. В результате, вместо (168) рассмотрим функционал

N	M
J (u) i (u) 2	(uj	u	j )2 ,	(170)
i 1	j 1

где i – некоторые веса, отражающие уровень погрешности при приеме сигнала в i -м приемнике, – параметр регуляризации, u (u1,...,uM )T – вектор некоторых фиксированных параметров среды, определяющих регуляризирующую добавку в функционале (т.е. большие отклонения искомых параметров uj от их за-

фиксированных значений uj "штрафуются" с весом ).

Заметим также, что в случае изучения нестационарных или гармонических по времени процессов веса i отражают масштаб изменения принимаемого сигнала по времени или по частотам, а количество наблюдений N складывается из количества точек измерений и из количества времен измерения (при изучении нестационарного процесса) или из количества частот (при изучении гармонических процессов). В этом случае функционал (170) удобно записывать в виде

L K		M
J (u) lk lk (u) 2		(uj		u	j )2 ,	(171)
l 1 k 1		j 1
где L – количество приемников, K	– количество времен (или					частот) (т.е.

lk (u) – отклонение теоретических данных от практических в l -м приемнике в момент времени tk , если изучается нестационарный процесс, или на частоте k – если изучается гармонический процесс).

54

Например, при построении алгоритма одномерной1 инверсии для данных МТЗ (где гармоническое электромагнитное поле возбуждается плоской волной – соответствующие математические модели приведены в п. 1.3, уравнения (162)- (167)) количество приемников будет равно 1 (поскольку для такого источника поле горизонтально-слоистой среды во всех точках поверхности будет одинаковым), а количество частот на практике обычно находится в диапазоне от 20 до 40 (когда измерения ведутся в диапазоне 10-4 – 102 Гц, где сами значения частот располагаются логарифмически). Очевидно, что при построении процедур двумерной и трехмерной инверсий количество приемников берется равным количеству всех приемников, расположенных в пределах площади, где восстанавливается модель среды.

Рассмотрим итерационную процедуру минимизации функционала (170). Для этого представим (u) в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности точки

u0 , причем этот ряд ограничим членами с первыми производными:

M

i (u)

i (u) i (u0)

uj ,

(172)

j 1

uj

где

u0 (u0,...,u0

)T

– полученные на предыдущей итерации параметры среды

1

M

(на первой итерации u0

u

), u

j

u

j

u0

,

i (u)

– производные, отра-

j

uj

жающие влияние изменения j -го параметра в i -м приемнике. После подстановки (172) в (170) задача принимает вид:

N		M	i (u)			2	M			2
	0						0
	i i (u ) i						uj uj			uj .
J (u)			u			uj
i 1		j 1		j			j 1

(173)

Продифференцируем функционал (173) по uj и приравняем к нулю. В ре-

зультате получим СЛАУ вида

A I u f (u0

u

),

(174)

1 Необходимо отметить, что следует различать понятие одномерной обратной задачи (когда «мерность» определяется количеством искомых параметров, как это было показано выше), и одномерной инверсии, когда «мерность» определяется размерностью прямой задачи. Очевидно, что в данном случае понятие «одномерная» относится к размерности прямой задачи. Обратная задача при этом может быть как одномерной, если восстанавливается только один параметр – например, проводимость или толщина какого-либо слоя (при условии, что толщины и проводимости других слоев фиксированы), так и многомерной, если восстанавливается проводимости и/или толщины нескольких слоев.

55

где I – единичная матрица, а элементы матрицы A и вектора правой части f определяются соотношениями

N

k (u)

k (u)

Aij

k2

,

(175)

ui

k 1

uj

N

k (u)

fi k2 k (u0)

,

i, j 1,2,...,M.

(176)

k 1

ui

Если производные

i (u)

не зависят от u и равны константе, то обрат-

uj

ная задача является линейной, в противном случае – нелинейной.

Найденное решение u системы (174) является направлением поиска для вектора параметров среды u : u0 u , где – параметр релаксации. Далее берем u0 : u , вычисляем новое значение (u0) путем решения прямой задачи, вычисляем значение функционала

N
J(u) i (u) 2 ,	(177)

i1

иесли это значение стало меньше, чем на предыдущей итерации, то осуществляется переход к следующему шагу, в противном случае уменьшается значение параметра релаксации .

Отметим, что основные вычислительные затраты при решении обратной задачи составляет решение серии прямых задач.

Кроме предложенного метода линеаризации для минимизации функционала (170) можно использовать любой другой метод минимизации, однако, как правило, по эффективности они уступают описанному выше методу линеаризации.

В заключение нужно отметить следующее. Если в случае восстановления параметров так называемой одномерной среды количество параметров невелико, так как для каждого из слоев восстанавливаются их проводимость и толщина, то в двумерном и, особенно, в трехмерном случаях количество параметров существенно возрастает.

Поэтому в многомерном случае могут использоваться различные подходы к выбору искомых параметров. Достаточно очевидным и самым распространенным подходом является разбиение изучаемого объема на ячейки, в каждой из которых восстанавливается значение проводимости. При этом довольно часто полагается, что увеличение количества ячеек позволяет точнее описывать искомую геомет-

56

рию среды. Однако такое представление зачастую оказывается не верным, поскольку увеличение количества ячеек помимо резкого роста вычислительных затрат приводит к потере устойчивости решения обратной задачи.

57

Cписок использованных источников

1.Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач // Учебное пособие. Сер. «Учебники НГТУ». Новосибирск: НГТУ. 2007. 896 с.

2.Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. – М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1987. – 240 с.

3.М.Г. Персова, Ю.Г. Соловейчик, Г.М. Тригубович. Компьютерное моделирование геоэлектромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов. // Физика Земли –2011. – vol. 47. – № 2. – С. 3–14.

58