Текст

3.7.Использование линий влияния

3.7.1.Загружение линий влияния неподвижной нагрузкой

Спомощью линий влияния любого фактора S можно определить его зна-

чение при действии на ездовой пояс неподвижной нагрузки. Рассмотрим ча-

стные случаи неподвижных нагрузок.

Сосредоточенные силы. Допустим, что ездовой пояс загружен сосредо-

точенными силами F1, F2, … Fn, а ординаты линии влияния S под точками приложения этих сил – y1, y2, … yn (рис. 3.29). На основании принципа незави-

симости действия сил и определения линии влияния (каждая ордината есть величина фактора S, когда единичный груз расположен над этой ординатой)

можем записать

n
S = F1 y1+F2 y2 +…+ Fn yn = ∑ Fi yi .	(3.12)

i=1

Правило знаков: Сосредоточенная сила считается положительной, если ее

направление совпадает с направлением единичного груза, от которого по-

строена линия влияния; ординаты yi берутся по знаку линии влияния. Распределенная нагрузка. При расположении распределенной нагрузки

на ездовом поясе на линии влияния отмечается участок ее действия, напри-

мер, как показано на рис. 3.30. Приращение значения фактора S от элемен-

тарной силы q(x)dx равно dS = q(x)y(x)dx, а полное значение

b
S = ∫ q(x) y(x)dx .	(3.13)

a

Если нагрузка является равномерно-распределенной q(x) = q = const, то

выражение (3.13) принимает вид

b
S = q∫ y(x)dx = qω ,	(3.14)

a

где ω – площадь линии влияния на участке действия нагрузки.

141

При действии на ездовом нескольких видов распределенных нагрузок значение фактора S на основании принципа независимости действии сил оп-

ределяется суммированием (например, при qj = const)

n
S = ∑ q j ω j .	(3.15)

j =1

Правило знаков: Нагрузка считается положительной, если ее направление совпадает с направлением единичного груза, от которого построена линия

влияния; площади ωj берутся по знаку линии влияния.

Сосредоточенный момент. Представим сосредоточенный момент (рис.

3.31. а) в виде пары сил (рис. 3.31, б) F =M/ x.

Используя методику определения усилий по линиям влияния при дейст-

вии сосредоточенных сил, получим

S = Fy(x +	x) – F y(x) = M			y(x + x) − y(x)	.
				x
В пределе, при x→0	получим
	S = M	dy	Mtgα ,			(3.16)
		dx

где α – угол наклона касательной к линии влияния (или ее ветви) под точкой приложения сосредоточенного момента на ездовом поясе.

В случае действия на ездовом поясе нескольких сосредоточенных момен-

тов суммарное значение фактора S определяется на основании принципа не-

зависимости сил

n
S = ∑ M k tgαk .	(3.17)

k =1

Правило знаков: В выражениях (3.16) и (3.17) сосредоточенные моменты и углы наклона считаются положительными, если они действуют (отсчиты-

ваются) по часовой стрелке.

Выражения (3.12), (3.15) и (3.17) могут быть объединены в одну общую расчетную формулу:

n	n	n
S = ∑ Fi yi	+ ∑q j ωj	+ ∑ M k tgαk .	(3.18)
i=1	j=1	k =1

142

Пример 3.5. Требуется определить изгибающий момент в сечении k шар-

нирно-консольной балки (рис. 3.32, а), использую линию влияния.

Решение. По построенной линии влияния Mk (рис. 3.32, б) определяем требуемые для расчета ординаты, тангенсы углов наклон и площади линии влияния в зонах действия распределенных нагрузок.

y1 = – 2; y2 = – 2,5; y3 = 1,125;

ω1 = – 0,5 ·2·4 + 0,5·1,5·3 = – 1,75 ω2 = 0,5·1,125·6 – 0,5 ·0,375·2 = 3; tgα1 = –5/10 = – 0,5; tg α2 = 1,5/8 = 0,1875.

Нагрузки, действующие на балку:

F1 = 16 кН; F2 = – 10 кН; F3 = 12 кН; q1= 10 кН/м; q2= – 20 кН/м;

M1 = 12 кН·м; M2 = – 16 кН·м.

На основании (3.18) получим

Mk ={F1 y1 + F2 y2 + F3 y3} + {q1 ω1 + q2 ω2} + {M1 tgα1 + M2 tgα2 } = ={16·(– 2) + (– 10) ·(– 2) + 12 ·1,125} + {10·(– 1,75) + (– 20) ·3} + + {12·(– 0,5) + (– 16) ·0,1875} = – 85 кН·м.

3.7.2. Свойство прямолинейного участка линии влияния

Предположим, что на прямолинейном участке линии влияния S (рис. 3.33)

расположена система сосредоточенных сил F1, F2, … Fn с равнодействующей

R, отстоящей от начала координат О на расстоянии x.

n

На основании (3.12) величина фактора S = ∑ Fi yi . Ординаты линии

i =1

влияния под каждой силой можно выразить через угол α наклона прямоли-

нейного участка yi = xi tg α. Тогда величина фактора S будет представлена в виде

n

S = tg α ∑ Fi xi .

i =1

143

n

Выражение ∑ Fi xi представляет собой момент сил F1, F2, … Fn относи-

i =1

тельно точки О , который, как известно, равен моменту равнодействующей R

относительно той же точки, т.е. R x.

n
Следовательно, S = tg α ∑ Fi xi = R x tg α = Ry,	(3.19)

i =1

где y – ордината линии влияния под точкой расположения равнодействую-

щей R.

3.7.3. Загружение линий влияния подвижной нагрузкой

При действии подвижной нагрузки на ездовой пояс расчетной схемы необ-

ходимо прежде всего определить наиболее опасное (невыгоднейшее) ее по-

ложение по отношению к построенной линии влияния, после чего найти зна-

чение искомого фактора.

Рассмотрим несколько наиболее характерных случаев действия подвижной нагрузки.

Равномерно распределенная подвижная нагрузка q. Предположим, что линия влияния искомого фактора S описывается гладкой функцией (рис. 3.34, а) . При произвольном расположении q на основании (3.14) получим

S(x) = qω(x). (3.20)

При этом площадь линии влияния на участке действия нагрузки будет

x + a
ω( x ) = ∫ y ( x1 )dx1 .	(3.21)

x

Очевидно, что экстремальные значения фактор S примет в тех случаях, ко-

гда площадь линии влияния на участке приложения нагрузки будет либо максимальной, либо минимальной, т.е.

Smax = qωmax, Smin = qωmin .

Экстремуму функции ω(x) отвечает равенство

144

dω(x) = y(x + a) − y(x) = 0, dx

откуда получаем, что y(x+a) = y(x). (3.22)

Таким образом, при невыгоднейшем положении равномерно распределен-

ной нагрузки ординаты линии влияния по концам загруженного участка должны быть равны.

После определения из равенства (3.22) значения x находим по выражению

(3.21) величину площади линии влияния, соответствующую экстремальному значению S, и по ней – величину этого значения.

В качестве примера рассмотрим треугольную линию влияния (рис. 3.34, б),

загруженную равномерно распределенной нагрузкой q, действующей на уча-

стке длиной a = l/2.

Из подобия треугольников находим

y(x) = 3hx/l, y(x + 0,5l) = 3h(0,5l – x)/2l.

На основании (3.22) находим x = l/6 и y(l/6) = h/2, y(l/6 + l/2) = h/2.

Тогда Smax = qωmax = q{0,5(0,5h + h)l/6 + 0,5(0,5h + h)l/3} = 0,375qhl.

Подвижная сосредоточенная сила F. Невыгоднейшим положениям силы отвечают расположения над наибольшей ymax или наименьшей ymin ордина-

тами линии влияния, и тогда

Smax = Fymax и Smin = Fymin .

Система связанных подвижных сосредоточенных сил (общий случай).

Понятие связанные силы означает, что при перемещении системы сил по ез-

довому поясу расчетной схемы, расстояния между ними остаются неизмен-

ными.

Если линия влияния любого фактора S описывается гладкой функцией, как,

например, на рис. 3.34, а, то невыгоднейшеее положение системы сосредото-

ченных сил определяется из условия экстремума

d S ( x ) =

0 .

d x

145

Далее рассмотрим случай, когда линия влияния фактора S описывается ку-

сочно-линейной функцией (рис. 3.35), т.е. участок линии влияния является многоугольником с вершинами A, B, C, D, E и G.

n

На основании (3.12) величина фактора S(x)= ∑ Fi yi . При перемещении

i =1

системы сил величина фактора S(x) изменяется по достаточно сложному за-

кону, график которого имеет ряд переломов (рис. 3.36).

Предположим, что система си перемещается на величину dx так, что каж-

дая из сил остается на прежнем прямолинейном участке линии влияния. То-

гда приращение фактора S(x) равно

			n	n
	dS = ∑ Fidyi = ∑ Fi tg αidx ,
			i=1	i=1
		dS	n
откуда			= ∑ Fi	tg αi ,	(3.23)
		dx
			i=1

где αi – угол наклона прямолинейного участка линии влияния, над которым находится сила Fi.

Из (3.23) видно, что при подобном перемещении системы сил прираще-

ние dS является линейной функцией перемещения dx. dСледовательно, гра-

фик функции имеет вид полигональной (кусочно-линейной) функции (см.

рис. 3.36). Тогда максимальному значению фактора S будет соответствовать такое расположение системы сил, когда одна из них, называемая критиче-

ской, располагается над выпуклой вершиной линии влияния.

Рассмотрим местный максимум: при x = x0 S = Smax (см. рис. 3.36) . Ус-

ловием для него будет: при + dx dS < 0; при – d x dS < 0, т.е. как при

положительном, так и при отрицательном приращении абсциссы dx прира-

щение фактора dS должно быть отрицательным. Данное положение является

аналитическим критерием максимума.

На рис. 3.35 выпуклыми являются вершины B,C и E. Максимальному зна-

чению фактора Smax также отвечает выпуклая вершина на графике S(x) (cм.

рис. 3.36). т.е

146

S(x0 – d x) < Smax; S(x0 + dx) < Smax ,

(3.24)

где x0 – абсцисса выпуклого угла линии влияния.

Таким образом поиск невыгоднейшего положения системы подвижных сил на ездовом поясе производится в следующем порядке.

1.Последовательно рассматриваются положения нагрузки, при которых хотя бы одна из сосредоточенных сил располагается над выпуклой вершиной линии влияния.

2.Для каждого из этих положений находятся значения искомого фактора S.

3.Из найденных в п. 2 значений выбирается максимальное, которое и будет

соответствовать невыгоднейшему расположению нагрузки.

Для отрицательных участков линии влияния поиск невыгоднейшего рас-

положения системы сосредоточенных сил производится точно также, т. е оп-

ределяется наибольшее по модулю отрицательное значение искомого факто-

ра – Smin.

Система связанных подвижных сосредоточенных сил (загружение

треугольной линии влияния). Рассмотрим треугольный участок линии влияния, при загружении ездового пояса системой сил F1, F2, … Fn, распо-

лагающихся в пределах этого участка (рис. 3.37). Один из грузов, например

Fm, будем считать критическим и расположим его над вершиной линии влияния. При невыгоднейшем положении нагрузки

m−1	n
Smax = ∑Fi yi	+ Fкрh + ∑ Fi yi .
i=1	i=m+1

При сдвиге нагрузки влево на величину dx приращение фактора S будет отрицательным (см. рис. 3.36), т.е. dS = S – Smax < 0.

Следовательно,

m−1		n
dS = ∑Fi tgα− Fкрtgα+		∑ Fi tgβ < 0 .
i=1		i=m+1
	m−1	n
Введя обозначения Rлев	= ∑Fi ; Rправ	= ∑ Fi , получим
	i=1	i=m+1
( Rлев	+ Fкр ) tgα > Rпр tgβ .		(3.25)

147

При сдвиге нагрузки вправо на величину dx приращение фактора S так-

же будет отрицательным (см. рис. 3.36), т.е. dS = S – Smax < 0.

По аналогии получим

Rлев tgα < ( Rпр +Fкр )tgβ .

(3.26)

Учтя в выражениях (3.25) и (3.26), что tgα = h/a, tgβ = h/b, окончательно

можем записать

Rлев + Fкр		Rпр		R		Rпр	+ Fкр
	>		;	лев	<			.	(3.27)
a		b					b
				a

Неравенства (3.27) являются условиями определения критического груза и справедливы, если ни один их грузов не сходит с треугольной линии влия-

ния. В противном случае необходимо делать несколько попыток определения критического груза.

Критический груз можно найти графическим путем сразу без попыток.

Рассмотрим данное решение на конкретном примере.

Пример 3.6. Требуется определить максимальный изгибающий момент в сечении k простой балки (рис. 3.38, а), по которой перемещается система свя-

занных сосредоточенных грузов F1 = 3 кН; F2 = 4 кН; F3 = 6 кН; F4 = 3 кН.

Решение. 1. Строим линию влияния в сечении k в масштабе длин (рис.

3.38, б).

2. Из точки A под левым концом линии влияния Mk (рис. 3.38, в) отклады-

ваем вниз сосредоточенные в графическом масштабе и в заданной последо-

вательности.

3. Точки B и C соединяем прямой линией, из точки D под вершиной линии влияния проводим прямую DE, параллельную BC. Точка E попадает на кри-

тический груз. В данном случае Fкр = F2.

Примечание. Если при построении прямая DE приходит в вершину по-

строенного слева силового многоугольника, то за критический может быть принят любой из грузов, сходящихся в этой вершине.

148

4.Систему сосредоточенных грузов установим на треугольной линии влияния так, чтобы критический груз Fкр = F2 установился над вершиной линии влияния.

5.Определяем ординаты линии влияния под каждым грузом и по выраже-

нию (3.12) определяем Mk, max = 3·2,5 + 4·3,75 + 6·3 + 2,25·3 = 47,25кН·м.

3.7.4. Эквивалентная нагрузка

Экстремамальное значение любого фактора S, для которого построена ли-

ния влияния может быть найдено при помощи эквивалентной нагрузки.

Эквивалентной называется такая равномерно распределенная нагрузка,

приложенная по всей длине участка линии влияния одного знака, при кото-

рой фактор S принимает экстремальное значение, как и от заданной подвиж-

ной нагрузки при ее невыгоднейшем загружении

qэкв = Sэкст/ω,

где ω – площадь линии влияния на рассматриваемом участке.

Значения эквивалентных нагрузок для типовых подвижных нагрузок и типовых линий влияния представлены в нормах проектирования.

3.7.5. Построение огибающих эпюр

Если рассматривать какую-нибудь расчетную схему, например, балку, то очевидно, что ее напряженное состояние в общем случае не будет постоян-

ным по длине, поэтому постоянное сечение не является экономичным по расходу материала. При больших пролетах сечения балок делают перемен-

ным.

Чтобы определить места изменения сечений, строят огибающие эпюры

усилий. Огибающими называют эпюры, в которых ординатами являются экс-

тремальные (максимальные или минимальные) значения усилий во всяком сечении балки при перемещении по ней подвижной нагрузки.

149

Поскольку всякая балка кроме подвижной нагрузки, непременно воспри-

нимает еще и постоянную, рассмотрим построение огибающей эпюры изги-

бающих моментов с учетом постоянной равномерно распределенной нагруз-

ки q.

Пусть имеется балка (рис. 3.39, а). загруженная равномерно распределен-

ной нагрузкой q = 2F/l и системой подвижных грузов F и 1,5F с длиной те-

лежки 0,25l. Разделим балку на участки длиной, равной длине тележки (в

общем случае число участков зависит от желаемой точности построения оги-

бающей эпюры). Для сечений 0, 1, 2, 3 и 4, расположенных на границах уча-

стков, построим линии влияния изгибающих моментов (рис. 3.39, б – г). По построенным линиям влияния определим по (3.12) и (3.14) для каждого сече-

ния Mmax и Mmin от невыгоднейшего загружения подвижной нагрузки и дейст-

вия постоянной нагрузки. Как и выше, под минимальным усилием подразу-

мевается наибольшее его отрицательное значения.

Эти значения будут:

M0,max = – q· 0,5·l/4· l/4 = – Fl/16;

M0,min = – F·l/4 – q· 0,5·l/4· l/4 = – 5 Fl/16;

M1,max = q(–0,5·3 l/16· l/4 + 0,5 ·3l/16· l – 0,5· l/16· l/4) + F·3l/16 + 1,5F·l/8 = = Fl/8;

M1,min = q(–0,5·3 l/16· l/4 + 0,5·3l/16· l – 0,5· l/16· l/4) – F·3l/16 = – Fl/16;

M2,max = q(–0,5· l/8· l/4 + 0,5·l/4· l – 0,5· l/8· l/4) + F·l/8 + 1,5F·l/4 = = 11Fl/16;

M2,min = q(–0,5· l/8· l/4 + 0,5 ·l/4· l – 0,5· l/8· l/4) – 1,5 F·l/8 = 0;

M3,max = q(–0,5· l/16· l/4 + 0,5·3l/16· l – 0,5·3 l/16· l/4) + F·l/8 + 1,5F·3l/16 = = 17Fl/32;

M3,min = q(–0,5· l/16· l/4 + 0,5 ·3l/16· l – 0,5·3 l/16· l/4) – 1,5 F·3l/6 = – 5 Fl/32;

M4,max = – q· 0,5·l/4· l/4 = – Fl/16;

M4,min = – 1,5 F·l/4 – q· 0,5·l/4· l/4 = – 7 Fl/16.

Откладывая полученные значения в виде ординат, построим огибающую эпюру (рис. 3.39, д).

150