Текст

3. Статически неопределимые системы обладают распределительной спо-

собностью: локальная нагрузка вызывает появление усилий во всех сечениях расчётной схемы, значения которых уменьшаются по мере удаления от места приложения нагрузки. В статически определимых системах локальная на-

грузка может вызвать лишь локальное появление усилий (сравните эпюры M

на рис. 5.4 а, б).

4. Статически неопределимые системы более надёжны, нежели статически определимые: выход из строя одного из элементов расчётной схемы ещё не исчерпывает их несущей способности и при определённых условиях не при-

водит к обрушению.

Например, удаление опорной связи D в неразрезной балке (рис.5.4, в) не приводит к обрушению конструкции, в то время как удаление такой же связи в шарнирно-консольной балке приводит к мгновенной изменяемости части расчётной схемы.

5. Статически неопределимые конструкции проще в изготовлении и про-

сты в эксплуатации, так как конструкция любого шарнира сложнее, чем жё-

сткое соединение.

6. При наличии начальных деформаций (тепловое воздействие, нерав-

номерная осадка опор и неточность изготовления элементов конструкции) в

статически неопределимых системах возникают усилия из-за наличия из-

быточных связей, препятствующих свободному развитию этих деформаций.

Возникающие при этом усилия прямо пропорциональны жёсткости элемен-

тов статически неопределимой системы.

На рис. 5.5 а, б показаны примеры однопролётных балок, статически оп-

ределимых и статически неопределимых при действии осадки опор и тепло-

вом воздействии.

7. Статически неопределимые конструкции, как правило, более эконо-

мичные, нежели статически определимые, за счёт меньших размеров попе-

речных сечений и процессов изготовления.

201

5.2. Идея метода сил. Система канонических уравнений

Метод сил широко применяется для расчёта разнообразных плоских и пространственных систем и является основанием для многих приближённых методов.

Для описания идеи метода рассмотрим простейшую расчётную схему – неразрезную двухпролётную балку, загруженную произвольной нагрузкой

(рис.5.6, а). Данная расчётная схема является дважды статически неопре-

делимой.

Удалим опорные связи в точках A и B и заменим их действием неиз-

вестными реакциями X1 и X2 (рис.5.6, б). Полученная таким образом рас-

чётная схема является статически определимой, так удалено две избыточные связи (по степени статической неопределимости), и ее называют основной

системой метода сил.

Для полученной основной системы воспользуемся принципом незави-

симости действия сил и рассмотрим следующие воздействия: силы X1 (со-

стояние 1, рис.5.6, в); силы X2 (состояние 2, рис.5.6, г) и внешней нагрузки

(состояние F, рис.5.6, д).

Во всех перечисленных состояниях точки А и B вследствие деформаций основной системы получат перемещения по направлению удалённых связей,

сумма которых по каждому из указанных направлений даст полные переме-

щения

A =	11	+	12	+	1F;
B =	21	+	22	+	2F .

Чтобы основная система соответствовала по своим деформациям заданной

расчётной схеме, очевидно, необходимо выполнения условий
	A = 0;	B = 0
или	11 +	12 +	1F = 0;	(5.5)
	21 +	22 +	2F = 0 .

202

Для выражения перемещений, входящих в (5.5) воспользуемся зависи-

мостью (4.1) и запишем

11 = δ11X1; 12 = δ12X2;	21 = δ21X1; 22 = δ22X2.
Подставив эти выражения в (13.5), получим
δ11X1 + δ12X2 +	1F = 0;
	(5.6)
δ21X1 + δ22X2 +	2F = 0.

Уравнения (5.6) называют системой канонических уравнений метода сил.

Как и (5.5), система канонических уравнений имеет следующий гео-

метрический смысл: сумма перемещений по направлению удалённых связей

от действия реакций в этих связях и внешнего воздействия равна нулю.

Приведённый вывод системы канонических уравнений справедлив для любой расчётной схемы с любой степенью статической неопределимости.

Поэтому, если степень статической неопределимости nc = n, то система кано-

нических уравнений будет иметь вид:
δ11X1 + δ12X2 + …+ δ1iXi +… + δ1nXn + 1F = 0;
δ21X1 + δ22X2 + …+ δ2iXi +… + δ2nXn + 2F = 0;	(5.7)
……………………………………………….
δn1X1 + δn2X2 + …+ δniXi +… + δnnXn + nF = 0.

Всистеме канонических уравнений (5.7) коэффициенты при неизвестных

содинаковыми индексами называются главными коэффициентами по-

датливости, и они всегда положительны δii > 0. Остальные коэффициенты называются побочными, и для них выполняется теорема о взаимности воз-

можных перемещений δik = δki.

Любой коэффициент системы канонических уравнений δik, согласно

(4.18), есть возможное перемещение по направлению удалённой связи i от действия единичной безразмерной силы, приложенной по направлению уда-

лённой связи k.

Размерности коэффициентов при неизвестных и свободных членов сис-

темы канонических уравнений легко определяются на основании их гео-

метрического смысла, сформулированного выше.

203

Так, для неразрезной балки, использованной при выводе системы кано-

нических уравнений (см. рис. 5,6, а), неизвестными метода сил являются со-

средоточенные силы (единицы измерения – кН). Перемещения по направ-

лению этих сил будут линейными (единицы измерения – м). Следовательно,

свободные члены системы уравнений, являющиеся перемещениями в стати-

чески определимой основной системе, будут измеряться в м, а все коэффици-

енты при неизвестных – в м/кН.

Если бы для той же балки была выбрана другая основная система, напри-

мер показанная на рис.5.7, в которой удалена одна линейная связь, а вторая – угловая, то, рассуждая аналогично получим нижеследующее.

В направлении первого неизвестного отрицается сумма линейных пере-

мещений, измеряемых в м. Так как X1 измеряется в кН, а X2 – в кН·м, то еди-

ницами измерения коэффициентов при неизвестных первого уравнения бу-

дут: для δ11 – м/кН, для δ12 – м/кН·м (1/кН), а для свободного члена 1F – м.

Аналогично, второе уравнение отрицает в направлении второго неиз-

вестного сумму угловых перемещений, измеряемых в рад. Значит, для второ-

го уравнения единицами измерения коэффициентов при неизвестных будут:

для δ21 – рад/кН, для δ22 – рад/кН·м, а для 2F – рад.

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канони-

ческих уравнений определяются как перемещения в статически определи-

мых системах в зависимости от типа расчётной схемы по формулам (4.27),

(4.28) или (4.29).

Для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений в основной системе метода сил необхо-

димо определить усилия от единичных сил, последовательно приклады-

ваемых по направлению удалённых связей (по направлению неизвестных),

т.е. построить эпюры усилий M i0 – при расчёте балок и рам, Ni0 – при расчёте

ферм и M i0 , Ni0 – при расчёте комбинированных систем (при i = 1… n=nc), а

также построить, соответственно, эпюры усилий от действующих нагрузок –

M F0 , NF0 .

204

П р и м е ч а н и е. Здесь и далее верхним индексом «0» будем обозначать эпюры уси-

лий в основной системе.

Так как δik = δki матрица коэффициентов при неизвестных получается сим-

метричной, является положительно определённой, и её определитель не ра-

вен нулю. Следовательно, система уравнений для каждого варианта загруже-

ния имеет одно единственное решение, которое по правилу Г.Крамера можно получить в виде

X i = − Di ,

D

где Xi – искомое неизвестное; D – определитель матрицы коэффициентов при неизвестных; Di – тот же определитель, в котором i – й столбец заменён столбцом свободных членов.

После определения неизвестных Xi задачу можно считать решённой. Ис-

пользуя эпюры усилий от единичных сил, приложенных в основной системе на стадии получения системы канонических уравнений, на основании прин-

ципа независимости действия сил можно определить усилия заданной рас-

чётной схеме как сумму усилий от Xi и внешней нагрузки:

∙ для балок и рам

	= M10 X1 + M 20 X 2 + ... + M n0 X n + M F0		n
M F			= ∑ M i0 X i + M F0 ;		(5.8)
			i =1
∙ для ферм
	= N10 X1 + N20 X 2 + ... + Nn0 X n + NF0		n	+ NF0 ;
NF		= ∑ Ni0 X i			(5.9)
			i =1
∙ для комбинированных систем
	= M10 X1 + M 20 X 2 + ... + M n0 X n + M F0		n
M F			= ∑ M i0 X i + M F0 ;		(5.10)
			i =1
	= N10 X1 + N20 X 2 + ... + Nn0 X n + NF0		n	+ NF0 .
NF		= ∑ Ni0 X i

i =1

205

5.3. Выбор основных систем метода сил. Общая последовательность расчёта

Как было отмечено в предыдущем параграфе, основной системой метода сил будем называть геометрически неизменяемую статически определимую систему, полученную из заданной статически неопределимой путём удаления избыточных связей.

При получении основной системы могут удаляться как внешние связи, так и внутренние, или их комбинации. Получение основной системы метода сил предполагает многовариантность, так как для любой статически неопредели-

мой системы можно, в принципе, предложить сколь угодно много основных систем. Поэтому неизбежно встаёт вопрос о выборе основной системы с точ-

ки зрения её рациональности для данной расчётной схемы и действующей на неё нагрузкой.

Рациональность выбора предполагает следующие требования к основной системе:

1.Основная система должна быть проста для расчёта.

2.Коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений ме-

тода сил и свободные члены, полученные на основе выбранной основной системы должны быть, по возможности, одного порядка. Различие ко-

эффициентов системы алгебраических уравнений на несколько порядков обычно приводит к ухудшению её обусловленности и, как следствие, к

ошибочным результатам расчёта.

3. Выбранная основная система должна давать возможность получить как можно больше нулевых значений побочных коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы уравнений. Это позволяет упростить решение этой системы и получить более точный результат.

Естественно, эти требования относятся, главным образом, к системе с большой степенью статической неопределимости. При nc ≤ 3 наиболее важ-

ным является первое требование.

206

Рассмотрим несколько примеров выбора основных систем для плоских стержневых систем.

1. Для статически неопределимых однопролётных балок (рис. 5.8, а и 5.9,

а) основная система может быть выбрана путём удаления линейных связей на одной из опор, т.е. основная система будет представлять собой консоль-

ную балку (рис. 5.8, в и 5.9, в), или удалением связей, препятствующих по-

вороту в защемлениях (рис.5.8, б и 5.9, б). Второй вариант предпочтительнее,

так как в грузовом состоянии основной системы эпюры изгибающих момен-

тов по концам балок будут иметь нулевые значения, что облегчает расчёт.

2. Для неразрезной балки (рис. 5.10, а) основная система может быть по-

лучена удалением промежуточных опор балки (рис.5.10, б), удалением угло-

вых связей (врезкой шарниров) над каждой промежуточной опорой (рис.5.10,

в) и комбинацией этих двух приёмов (рис. 5.10, г). Рациональным для нераз-

резной балки является вариант, изображённый на рис.5.10, в. В этом случае каждый пролёт балки в основной системе работает как простая балка и неза-

висимо от других пролётов, что приводит к простым эпюрам изгибающих моментов и простоте вычисления как коэффициентов при неизвестных, так и свободных членов. Кроме того, при любом количестве неизвестных метода сил каждое из уравнений системы будет содержать не более тёх неизвестных из-за равенства нулю побочных коэффициентов.

3. Для П- образной рамы (рис. 5.11, а), трижды статически неопредели-

мой, шесть вариантов основной системы показаны на рис. 5.11, б – ж, из ко-

торых наиболее рациональными являются основные системы, изображённые на рис. 5.11, е и ж. В первом из этих случаев основная система после удале-

ния связей превращена в трёхшарнирную раму, а во втором – в балочную систему, в которой два стержня (левая стойка и ригель рамы) при отсутствии поперечных нагрузок будут нулевыми, а при их наличии будут работать как простые балки.

Основные системы, приведённые на рис. 5.11, и и з, являются примерами неправильного удаления связей.

207

В основной системе, показанной на рис. 5.11, з удалены три угловые свя-

зи в сечениях ригеля рамы, в результате чего все три врезанных шарнира ока-

зались расположены на одной прямой.

В основной системе, показанной на рис. 5.11, и удалены угловая связь в правой опоре (получили шарнирно неподвижную опору), а в правой опоре – угловая и вертикальная линейная связи. В результате оставшиеся линейные связи (две в левой опоре и одна горизонтальная в правой) имеют общую точ-

ку пересечения – мгновенный центр вращения, вокруг которого и произойдёт бесконечно малый поворот расчётной схемы.

4. Для двухпролётной одноэтажной рамы (рис.5.12, а) показаны два воз-

можных варианта основной системы (рис. 5. 12, б и в) и изменяемая основная система, имеющая мгновенный центр вращения (точку О) – на рис. 5.12, г.

5. Для рамы с несмещающимися узлами (несвободной) (рис. 5.13, а) три варианта основной системы показаны на рис. 5.13, б – г, из которых вторая является наиболее рациональной. Эта основная система получена врезкой сквозных шарниров во все узлы рамы, в результате чего заданная расчётная схема превращена в шарнирную (ферму), в которой каждый стержень рабо-

тает как простая балка. На рис. 5.13, д показана основная система с неприем-

лемым вариантом удаления связей: в левом защемлении кроме угловой связи удалена горизонтальная линейная связь, а в стойке удалена угловая связь в верхнем её сечении, в результате чего вся стойка, из-за наличия опорного шарнира стала представлять собой вертикальную линейную связь, а верхний диск (ригель) оказался прикреплённым к основанию тремя параллельными вертикальными связями, что недопустимо.

6. Для однопролётной рамы с затяжкой (рис. 5.14, а) основная система может быть получена: удалением горизонтальной связи в одной из опор ра-

мы и затяжки, результат – балка с осью ломаного очертания (рис. 5.14, б);

врезкой шарнира в ригеле и удалением затяжки, результат – трёхшарнирная рама (рис. 5.14, в); удалением горизонтальной связи в одной из опор и врез-

кой шарнира в ригеле, результат – распорная рама с затяжкой (рис. 5.14, г).

208

Недопустимый вариант показан на рис. 5.14, д, где удалена горизонтальная линейная связь в правой опоре, а шарнир врезан в узел на уровне затяжки. В

результате имеющийся в расчётной схеме замкнутый контур остался стати-

чески неопределимым (в контуре по его обходу всего два шарнира вместо необходимых трёх), а стойка рамы ниже врезанного шарнира стала геомет-

рически изменяемой частью схемы (три шарнира на одной прямой).

7. Для балочного замкнутого контура (рис. 5.15, а), расчётная схема ко-

торого имеет внутреннюю статическую неопределимость, основная система может быть получена удалением только внутренних связей (рис. 5.15, б – г).

В случае удаления хотя бы одной внешней связи (рис. 5.15, д) схема превра-

щается в механизм.

8. Для балочной фермы (рис. 5.16, а), которая также, как и предыдущая расчётная схема, является внутренне статически неопределимой (nc =1) из-за наличия избыточного стержня во второй панели, основная система может быть получена удалением одного из стержней именно в этой панели (рис. 5.16, б и в). Недопустимость удаления других стержней фермы показа на рис. 5.16, г; в этом случае вторая панель остаётся статически неопределимой ча-

стью расчётной схемы, а вся схема превращается в механизм.

9. Для двухпролетной балочной фермы (5.17, а) основная система может быть выбрана как удалением одной из вертикальных опорных связей (рис. 5.17, б), так и удалением стержня фермы (рис. 5.17, в). Второй вариант пред-

почтительнее, так как в этом случае основная система представляет собой две отдельно работающие балочные фермы, и при загружении одной из них,

в стержнях второй фермы не будет возникать никаких усилий.

Приведённые выше примеры не исчерпывают всего многообразия приё-

мов при выборе основных систем метода сил для различных статически не-

определимых расчётных схем, они лишь позволяют представить, каким обра-

зом могут быть удалены избыточные связи, и как получить наиболее рацио-

нальную основную систему.

Общая последовательность расчёта методом сил приведена в таблице 5.1.

209

Таблица 5.1

Последовательность расчёта методом сил

Балки и рамы

Комбинированные системы

Фермы

1.

Определить степень статической неопределимости

nc = 3К – Ш

nc = 3К – Ш

nc = C – 2 У

2.

Записать систему канонических уравнений в общем виде

3.

Выбрать основную систему метода сил

4.

Построить эпюры усилий в основной системе от последовательного

приложения единичных сил по направлению удалённых связей

M i0 (при i = 1… n)

M i0 ,

Ni0 (при i = 1…

n)

Ni0 (при i = 1…

n)

5.

Построить эпюры усилий в основной системе от заданной нагрузки

M F0

M F0 , NF0

NF0

6.

Определить коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений

δik = ∑∫

Mi0Mk0

dx

δik = ∑∫

Mi0Mk0

dx + ∑

Ni0 Nk0

l

δik = ∑

Ni0 Nk0

l

EI

m

EI

m

СФ

EA

СФ

EA

7.

Определить свободные члены системы канонических уравнений

iF = ∑∫

Mi0 M F0

iF = ∑ ∫

M 0 M

0

dx +

∑

N 0 N

0

iF = ∑

N0 N0

dx

i

F

i

F

i

F

l

EI

EA

m

EI

m

СФ

СФ

EA

8.

Записать систему канонических уравнений и из её решения определить

значения неизвестных

Xi.

9.

Построить эпюры усилий в заданной расчётной схеме

MF = ∑Mi0 Xi +MF0

MF = ∑Mi0 Xi + MF0 ;

NF = ∑ Ni0 X i + NF0

NF = ∑Ni0 Xi + NF0

210