Текст

∑ n1 = 0;	– N1 cos β = 0,	cos β ≠ 0,	N1 = 0.
∑ n2 = 0;	– N2 cos α = 0.	cos α ≠ 0,	N2 = 0.

Cледовательно, в двухстержневом незагруженном узле усилия в обоих

стержнях равны нулю.

2. Двухстержневой загруженный узел, в котором внешняя сила направле-

на по оси одного из стержней (рис. 2.34, б).
∑ n1 = 0;	–	N1 cos β = 0, cos β ≠ 0,	N1 = 0 .
∑ n2 = 0;	–	N2 cos α – F cos α = 0, cos α ≠ 0,		N2 = – F.

Cледовательно, в двухстержневом загруженном узле при действии силы по направлению одного из стержней усилие в этом стержне равно внешней силе (с учётом знака), усилие в другом стержне равно нулю.

3.Трёхстержневой незагруженный узел, в котором оси двух подходящих

кнему стержней лежат на одной прямой, а третий стержень – отходящий

(рис. 2.34, в),.
∑Y = 0; N2 cos α = 0. cos α ≠ 0,	N2 = 0.

∑X = 0; – N1 + N3 = 0, N1 = N3 .

Следовательно, усилия в стержнях, лежащих на одной прямой, равны, а

усилие в отходящем стержне равно нулю.

4. Трёхстержневой загруженный узел, в котором оси двух подходящих к нему стержней лежат на одной прямой, третий стержень – отходящий, а

внешняя нагрузка действует по оси последнего (рис.2 .34, г),.

∑Y = 0;	N2cos α – F cos α = 0,	cos α ≠ 0,	N2= F.
∑ n1 = 0;	– N1 cos β + N3cos β = 0,	cos β ≠ 0,	N1 = N3.

Следовательно, усилия в стержнях, лежащих на одной прямой, равны, а

усилие в отходящем стержне равно внешней силе (с учётом знака).

5. Четырёхстержневой незагруженный узел, в котором стержни попар-

но направлены по одной прямой (рис. 2.34, д).

∑ n1	= 0;		N1 cos α – N1 cos α = , cos	α ≠ 0,	N1 = 0.
∑ n2	= 0;	–	N2 cos α =0, cos α ≠ 0,	N2 = 0.

81

Недостатком способа вырезания узлов является его громоздкость и невоз-

можность определения усилий в последующих стержнях, не определив уси-

лия в предыдущих.

2. Способ сечений. Данный способ основан на применении общего мето-

да сечений для расчёта любых расчётных схем. Способ сечений позволяет определять усилия во многих стержнях фермы, независимо от того, известны ли усилия в других стержнях.

Для любой отсечённой части фермы можно составить три уравнения рав-

новесия, что определяет следующее условие применения способа сечений:

проведённое сечение (рассечённая панель) должно содержать не более трёх

неизвестных усилий.

Уравнения выбора уравнений равновесия для отсечённой части фермы следующие.

1. Если стержни рассечённой панели не параллельны и не пересекаются в одной точке, то уравнения принимаются в форме (см. табл. 2.1, п.5), в кото-

рых моментными точками являются точки пересечения осей стержней, т.е. в

этом случае имеем три моментные точки.

2. Если два из трёх стержней рассечённой панели параллельны, а третий имеет точки пересечения оси с первыми двумя стержнями (узлы фермы),

уравнения принимаются в форме (см. табл. 2.1, п. 5), содержащие две мо-

ментные точки и ось, перпендикулярную параллельным стержням.

Рассмотрим использование указанных уравнений равновесия на двух примерах. В качестве первого примера рассмотрим балочную ферму с поли-

гональным верхним поясом и треугольной решёткой, изображённую на рис. 2.35, а. Предположим, что опорные реакции фермы определены, и необходи-

мо определить усилия в стержнях второй панели по нижнему поясу и треть-

ей панели по верхнему поясу, включая восходящий раскос.

Для этого проведём сечение I – I (рис. 2.35 б) и рассмотрим равновесие правой (наиболее удобной) части фермы (рис. 2.35, в).

Моментными точками будут являться:

82

узел 2 (точка пересечения осей стержней 1-2 и 2-4);

узел 4 (точка пересечения осей стержней 4-5 и 2-4);

точка k (точка пересечения осей стержней 4-5 и 1-2).

Относительно этих моментных точек и составим уравнения равновесия

для отсечённой части фермы, предварительно вычислив плечи до усилий в стержнях.

∑ M2	= 0;	F3·0,5d – RB·d – N45·h45 = 0,		N45 = – ( RB·d – F3·0,5d)/ h45.
∑ M4	= 0;	F3·d –	RB·1,5d + N12·h12 = 0,	N12 = (RB·1,5d – F3·d)/ h12.
∑ Mk = 0;		RB·b –	F3·(0,5d + b) + N24·h24 = 0,

N24 = [F3·(0,5d + b) – RB·b]/ h24.

В качестве второго примера рассмотрим балочную ферму с параллельны-

ми поясами и простой раскосной решёткой фермы, изображённую на рис. 2.36, а. Предположим, что опорные реакции фермы определены, и необходи-

мо определить усилия в стержнях второй панели слева, включая нисходящий

раскос.

Для этого проведём сечение I – I (рис. 2.36, б) и рассмотрим равновесие

левой (наиболее удобной) части фермы (рис.2.36, в).

Поскольку стержни 5-6 и 1-2 параллельны (для них моментная точка на-

ходится в бесконечности), то для составления уравнений равновесия необхо-

димо иметь две моментные точки:

узел 5 (точка пересечения осей стержней 5-6 и 2-5);

узел 2 (точка пересечения осей стержней 2-5 и 1-2).

Третьим уравнением равновесия будет ∑ Y = 0 (сумма проекций на верти-

кальную ось, перпендикулярную стержням 5-6 и 1-2).

Составим уравнения равновесия для отсечённой части фермы, предвари-

тельно вычислив плечи до усилий в стержнях (h12 = h56 = h).

∑ M5 = 0;	VA·d – N12·h12 = 0,	N12 = VA·d / h.
∑ M2 = 0; – F1·d + VA·2d + N56·h56 = 0, N56 = – ( VA· 2d– F1· d) / h.
∑ Y = 0;	VA – F1 – N12·cos α = 0,	N12 = (VA– F1) / cos α.

83

Рассмотрим несколько примеров определения усилий в стержнях плоских ферм.

Пример 2.8. Требуется определить усилия во всех стержнях фермы

(рис.2.37, а) способом вырезания узлов. Все раскосы фермы имеют наклон к горизонтали, равный углу α (cos α = 0,8; sin α = 0,6).

Решение. 1. Проверим геометрическую неизменяемость фермы.

Число узлов У = 8, число стержней фермы Сф = 13, число опорных связей Соп = 3. Условие (2.21) выполняется, так как 2·8 = 13 + 3. Ферма прикреплена к основанию тремя непараллельными и не сходящимися в одной точке свя-

зями и имеет простую раскосную решётку. Поэтому условие геометрической неизменяемости (2.21) является достаточным.

2.Определим опорные реакции. Для чего удалим опорные связи

(рис.2.37, б) и заменим их действие реакциями.

Из уравнений равновесия определим значения реакций:

∑ X = 0; – HA + 4 + 4 + 4 = 0,		HA = 12 кН.
∑ MА = 0;	4·3 + 4·6 + 4·9 – RB·4 = 0,	RB = 18 кН.
∑ MB = 0;	4·3 + 4·6 + 4·9 +VA ·4 = 0,	VA = – 18 кН.

Действительные значения опорных реакций показаны на рис. 2.37, в.

3. Определим усилия в стержнях фермы на основании частных случаев

равновесия узлов (по рис. 2.34).

Нулевыми стержнями фермы являются: 2-3, 2-5 и А-В (отмечены пункти-

ром на рис. 2.37, в).

На основании рис. 2.34, в, г для трех стержней можно записать:

N34 = – 4 кН, N16 = – 4 кН, NB6 = – 18 кН (рис.2.37, в). 4. Определим усилия в остальных стержнях фермы.

Узлы рассматриваем в порядке, при котором каждый последующий узел

содержит не более двух неизвестных усилий.

Узел 4 (рис. 2.37, г).
∑ X = 0; 4 – N24·cos α = 0,	N24 = 4 кН.

84

∑ Y = 0; – N24·sin α – N45·cos α = 0, N45 = – 3 кН.

На основании частного случая равновесия (см. рис.2.34, в) для узла 6 за-

пишем N56 = N45 = – 3 кН.
Узел 2 (рис. 2.37, д).
∑ X = 0; 4 + 5·cos α + N26·cos α = 0,	N26	= – 10 кН.
∑ Y = 0; 5·sin α – N26·sin α – N 12 = 0,	N12	= 9 кН.

На основании частного случая равновесия (см. рис.2.34, г) для узла 1 за-

пишем NА1 = N12 = 9 кН.

Узел А (рис. 2.37, е).

∑ X = 0;	– 12 + NА6·cos α = 0, NА6 = 15 кН.
Проверка:
∑ Y = 0;	9 – 18 – NА6·sin α = 9 – 18 + 15·0,6 = 0 .

Эпюра продольных сил по найденным значениям усилий показана на рис. 2.37, ж.

Условия равновесия узла 6, не рассмотренного при определении усилий в стержнях, можно использовать для проверки (рис.2.37, з):

∑X = 0; 10·cos α – 15·cos α + 4 = 10·0,8 – 15·0,8 + 4 = 0.

∑Y = 0; – 3 – 10·sin α – 15·sin α + 18 = – 3 – 10·0,6 – 15·0,6 + 18 = 0 .

Пример 2.9. Требуется определить усилия во всех стержнях фермы (рис.

2.38, а), используя способы сечений и вырезания узлов.

Ферма имеет ломаное очертание верхнего пояса: в первых двух панелях пояса параллельны; в третьей панели верхний пояс имеет наклон в 45º; в чет-

вёртой и пятой панелях наклон верхнего пояса определяет угол α.

Параметры угла α можно определить из 4-10-k (рис. 2.38, б):

	cos α =		8			= 0, 8944; sinα =		4		= 0, 4472 .
			42	+ 82				42 + 82

Наклон всех раскосов (кроме раскоса в четвёртой слева панели c накло-

ном, определяемым углом β) составляет 45º.

Параметры угла β можно определить из 3-9-В (рис. 2.38, б):

85

cos β =			4		= 0, 5547; sinβ =			6		= 0, 8320 .
42			+ 62	42				+ 62

Решение. 1. Проверим геометрическую неизменяемость фермы.

Число узлов У = 12, число стержней фермы СФ = 21, число опорных свя-

зей Соп = 3. Условие (2.21) выполняется, так как 2·12 = 21 + 3. Ферма прикре-

плена к основанию тремя непараллельными и не сходящимися в одной точке связями и имеет простую раскосную решётку. Поэтому условие геометриче-

ской неизменяемости (2.21) является достаточным.

2. Определим опорные реакции, для чего удалим опорные связи (рис.

2.38, б) и заменим их действие реакциями.

Из уравнений равновесия определяем значения реакций:

∑ X = 0; – HA + 16 = 0,		HA = 16 кН.
∑ MА = 0;	16·4 + 16·12 + 16·20 – RB·16 = 0,	RB = 36 кН.
∑ MB = 0;	16·4 – 16·4 + 16·4 + VA ·16 = 0,	VA = – 4 кН.

3. Определим усилия в стержнях фермы на основании частных случаев

равновесия узлов (см. рис.2.34).

Нулевые стержни фермы: А-5, 2-7 и В-4 (отмечены пунктиром на рис. 2.38, в).

На основании рис. 2.34, б, в можно записать:

N56 = – 16 кН, N4,10 = 16 кН (рис. 2.38, в).

4. Определим усилия в остальных стержнях фермы, для чего проведем

пять сечений и рассмотрим равновесие трёх узлов (рис. 2.38, в).

Узел А (рис. 2.39, а):
∑ Y = 0;	– 4 + NА6·sin 45º = 0,		NА6 = 5,66 кН.
∑ X = 0;	–	16 + NА6·cos 45º + NА1= 0,	NА1 = 12 кН.
Сечение I-I		(рис. 2.39, б): рассматриваем равновесие левой отсечённой

части фермы.

Для стержня 6-7 моментной точкой является узел 1, для стержня 1-6 мо-

ментная точка находится в бесконечности.

∑ М1 = 0; 16·4 + N67·4 – 4·4 = 0, N67 = – 12 кН.

86

∑ Y = 0; – 4 – N16 = 0, N16 = – 4 кН.

Сечение II-II (рис. 2.39, в): рассматриваем равновесие левой отсечённой части фермы.

Для стержня 1-2 моментной точкой является узел 6, для стержня 1-7 мо-

ментная точка находится в бесконечности.

∑ М6 = 0;	16·4 – N12·4 – 4·8 = 0,	N12 = 8 кН.
∑ Y = 0;	– 4 – N17·sin 45º = 0,	N17 = 5,66 кН.

Сечение III-III (рис. 2.39, г): рассматриваем равновесие левой отсечённой части фермы.

Для стержня 3-7 моментной точкой является узел 1 (плечо h37 = 5,66 м),

для стержня 7-8 – узел 3 (плечо h78 = 5,66 м), для стержня 2-3 – узел 7 (плечо

h23 = 4,0 м).
∑ М1	= 0;	16·4 – N37· h37	– 4·4 = 0,	N37	= – 8,48	кН.
∑ М3	= 0;	16·4 – N78· h78	– 4·12 = 0,	N78	= – 2,83	кН.
∑ М7	= 0;	16·4 – N24·4 – 4·8 = 0,		N12 = 8 кН.

Сечение IV-IV (рис. 2.39, д): рассматриваем равновесие правой отсечён-

ной части фермы.

Для стержня 3-9 моментной точкой является точка k пересечения осей стержней верхнего и нижнего поясов, находящаяся за пределами схемы фер-

мы на расстоянии b = 8,0 м от узла 4 (плечо h39 = 16·sinβ = 13,313 м), для

стержня 8-9 –		узел 3 (плечо h89 = 8·cosα = 7,155 м), для стержня 3-В – узел 9
(плечо h3В = 6,0 м).
∑ Мk = 0;		36·12 – N39· h39 – 16·8 = 0,	N39 = 22,84 кН.
∑ М3	= 0;	– 36·4 – N89· h89 + 16·8 = 0,	N89 = – 2,24 кН.
∑ М9	= 0;	16·4 – N3В·6 = 0,	N3В = – 10,67 кН.

Сечение V-V (рис. 2.39, е): рассматриваем равновесие правой отсечённой

части фермы.

Для стержня В-9 моментной точкой является уже известная точка k (пле-

чо hB9 = b = = 8,0 м), для стержня 9-10 – узел B (плечо h9,10 = =12·sin α = 5,366

м).

87

∑ Мk = 0;	36·12 – N B9·h B9 – 16·8 = 0,	N B9 = –25,33	кН.
∑ МВ = 0;	16·4 – N9,10· h9,10 = 0,	N9,10 = 11,42 кН.
Узел В (рис. 2.39, ж):
∑ X = 0;	10,67 + NВ10·cos 450= 0,	NВ10 = – 15,08	кН.
Узел 8 (рис. 2.39, з):
∑ Y = 0;	– N38 – 16 + 2,83 ·sin 45 0 + 2,24 ·sin α = 0,		N17 = – 13 кН.

Эпюра продольных сил во стержнях фермы приведены на рис. 2.39. и.

3. Графический способ определения усилий представляет собой графи-

ческую интерпретацию способа вырезания узлов и состоит в разложении си-

лы на два направления или в уравновешивании силы двумя другими, направ-

ления которых известны.

Рассмотрим систему сходящихся сил (узел фермы), в которой силы F1, F2,

F3 известны, а N1 и N2 – подлежат определению (рис. 2.40, а). Приведем к равнодействующей R (рис. 2.40, б) известные силы F1, F2, F3, предварительно выбрав графический масштаб сил. Проведя из начала и конца равнодейст-

вующей R направления сил N1 и N2 (л.д. N1 и л.д. N2 на рис. 2.40, б), получим точку и пересечения; в результате найдем величины сил N1 и N2 , а их на-

правления установим из условия замкнутости построенного многоугольника сил.

Очевидно, для определения усилий во всех стержнях фермы придется сделать столько аналогичных построений, сколько ферма имеет узлов. Реше-

ние получается сложным и не исключающим возможность ошибок, так как найденные ранее величины усилий необходимо переносить в последующие построения. Поэтому на практике для определения усилий в стержнях ферм применяют построение диаграммы усилий (называемой диаграммой Мак-

свелла – Кремоны), объединяющей полстроения силовых многоугольников для всех узлов фермы в один общий чертеж.

При построении диаграммы усилий выполняются следующие условия:

• при построении силового многоугольника внешних сил обход фермы должен производится по часовой стрелке;

88

•каждому узлу фермы соответствует свой замкнутый силовой много-

угольник;

• части плоскости между внешними силами на схеме фермы называют внешними полями, а между стержнями фермы – внутренними; таким обра-

зом, каждая сила на схеме фермы и каждое усилие в стержнях обозначаются двумя соседними полями;

•каждому полю на схеме фермы соответствует точка на диаграмме уси-

лий.

Порядок построения диаграммы усилий рассмотрим на примере фермы,

изображенной на рис. 2.41, а. Предположим, что опорные реакции VA, HA и

VB (рис. 2.41, б) определены аналитически из условий равновесия.

Обозначим на схеме фермы внешние поля буквами a… g, а внутренние

поля цифрами 1… 6, и назначим порядок обхода узлов. Поскольку в основу графического способа определения усилий положен способ вырезания узлов,

каждый последующий узел должен содержать не более двух неизвестных усилий (рис. 2.41, в).

Построим замкнутый многоугольник внешних сил (рис. 2.41, г), обходя ферму по часовой стрелке и выбрав предварительно масштаб сил.

Определение усилий (построение диаграммы) начнем с узла I. Силы, при-

ложенные к этому узлу, т.е. g – a, a – 1, 1 – f и f – g дожны находиться в рав-

новесии. Следовательно, силовой многоугольник ga1f на диаграмме усилий должен быть замкнутым. Из перечисленных вершин силового многоугольни-

ка в начале построения неизвестна лишь точка 1. Для ее нахождения из точки

а на рис. 2.41, г проведем линию параллельную стержню 1 – а на схеме фер-

мы, а из точки f – параллельную f – 1 . На их пересечении получим точку 1.

Переходим к узлу II. Чтобы найти усилия в стержнях 1 – 2 и b – 2 (усилие в стержне a – 1 уже известно), необходимо на диаграмме усилий (см. рис. 2.41, г) провести из точки 1 линию, параллельную стержню 1 – 2, а из точки b

– параллельную 2 – b . На их пересечении получим точку 2. Подобным обра-

зом обойдем все узлы фермы согласно порядка, показанного на рис. 2.41, в.

89

Рассмотрение последнего узла фермы, в данном случае узла VII, является проверкой правильности построения диаграммы усилий. К этому моменту на диаграмме будут найдены все точки, соответствующие полям на схеме фер-

мы. Если при этом прямая, параллельная стержню 6 – f , проведенная из точки

6 на диаграмме, точно придет в точку f, значит диаграмма построена пра-

вильно.

В результате построения на диаграмме мы получили отрезки (стороны многоугольников сил), которые в принятом графическом масштабе выража-

ют величины усилий в каждом стержне фермы. Знаки этих усилий определя-

ются по следующему мнемоническому правилу:

Если при переходе из поля в поле на схеме фермы (при обходе узла по часо-

вой стрелке) соответствующий переход из точки в точку на диаграмме уси-

лий происходит по направлению от узла, то в стержне, обозначенном дан-

ными полями, - растяжение; если к узлу – сжатие.

Для рассматриваемой фермы знаки усилий, полученные по данному пра-

вилу, показаны на рис. 2.41, д.

При построении диаграммы усилий в зависимости от схемы фермы и дей-

ствующей на нее нагрузки могут быть отмечены ниже следующие особенно-

сти.

Так для фермы, имеющей симметричную расчетную схему, при действии на нее симметричной вертикальной нагрузки (рис. 2.42, а,б), диаграмма уси-

лий также будет иметь ось симметрии (линия 1 – i на рис. 2.42, в).

Полям, обозначающим нулевые стержни на схеме фермы (1 – 2 , 9 – 10 на рис. 2.42, б и г), соответствуют совпадающие точки на диаграмме усилий

(рис. 2.42, в).

Диаграмма усилий чрезвычайно удобна для расчета ферм покрытий зда-

ний и часто применяется на практике, так как избавляет от утомительных вычислений, связанных с аналитическими способами расчета.

90