5. Контрольные вопросы

5.1. Объяснить причины возникновения переходных процессов.

5.2. Сформулировать законы коммутации.

5.3. В чем суть классического метода расчета переходных процессов?

5.4. Дать определение зависимых начальных условий.

5.5. Как по графикам определить постоянную времени? Каков её физический смысл?

5.6. Как составляется характеристическое уравнение и для чего оно необходимо?

5.7. От чего зависит порядок электрической цепи?

5.8. Записать решение для тока в общем виде для цепи рис.1 и решение для напряжения на емкости для цепи рис. 6 при решении задачи классическим методом.

5.9. Определить длительность переходного процесса для цепи рис. 1, если R = 1 Ом, L = 1 Гн и для цепи рис. 6, если R = 10 кОм, C = 1 мкФ.

Лабораторная работа №6

Исследование переходных процессов в rlc-цепях

1. Цель работы

Экспериментальные и теоретические исследования переходных процессов в линейных электрических цепях второго порядка с двумя реактивными элементами.

2. Краткая теория

Рассмотрим переходный процесс в электрической цепи при периодическом подключении её с помощью ключа K (см. рис. 1) к источнику ЭДС. Это позволяет вырабатывать прямоугольные импульсы напряжения, действующие на R, L, C-цепь. Воздействие импульса длительностью, превышающей время переходного процесса электрической цепи, можно рассматривать как воздействие на цепь постоянной ЭДС Е. После окончания действия импульса, во время паузы, напряжение отсутствует, и этот режим работы цепи будет соответствовать мгновенному переключению ключа K из положения 1 в положение 2. При этом заряженный конденсатор будет разряжаться. Таким образом, переходные процессы в рассматриваемой R, L, C-цепи при воздействии прямоугольных импульсов следует рассматривать в двух режимах:

- включение электрической цепи под действие постоянного напряжения (рис. 1);

- разряд заряженного до напряжения E конденсатора через цепь R, L (рис. 5).

За счет применения электронного ключа и периодического переключения его из положения 1 в положение 2 и наоборот, появляется возможность наблюдать на экране осциллографа неподвижные осциллограммы для этих режимов.

1. . Включение последовательного RLC-контура на постоянное напряжение

Переходный процесс, протекающий при включении RLC-цепи к источнику постоянного напряжения Е (рис. 1), описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, составленным по второму закону Кирхгофа

, где. (1)

Рис. 1 Рис. 2

Объединив два соотношения (1) в одно, получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка для напряжения на ёмкости

. (2)

Для решения (2) составим характеристическое уравнение. Для чего в нём заменяется , а правую составляющую уравнения примем равной нулю

. (3)

Характер свободной составляющей переходного процесса для всех токов и напряжений одной и той же цепи одинаков, зависит только от параметров R, L и C определяется корнями характеристического уравнения (4):

. (4)

В зависимости от знака подкоренного выражения D решение для свободной составляющей напряжения на емкости имеет три вида:

1. , два действительных отрицательных корня р₁ и р₂, процесс апериодический

; (5)

2. , два комплексно сопряженных корня,процесс колебательный

; (6)

3. , два равных действительных отрицательных корня,процесс критический

. (7)

В (5)…(7) ,,и- постоянные интегрирования,- коэффициент затухания колебательного процесса,- частота собственных затухающих или свободных колебаний цепи.

Для исследуемой схемы можно найти из (4) значение сопротивления R, при котором значение . Такое сопротивление называется критическимR_кр и определяется выражением

. (8)

Для колебательного процесса коэффициенты исвязаны между собой, а также с параметрами цепи следующими соотношениями:

; (9)

, (10)

где - резонансная угловая частота последовательного колебательного контура.

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий для искомого тока или напряжения. Так, для напряжения на емкости в колебательном режиме получаем систему из двух уравнений:

. (11)

Положим, что к моменту подключения напряжения Е в схеме (рис. 1) нулевые начальные условия и. Для определения начального значения производной напряжения записывается уравнение по второму закону Кирхгофа для момента времени:

(12)

Из (12) следует, что

; ;

и.

Подставив начальные значения в систему уравнений (11) и с учетом ,, получим постоянные интегрированияА и

и . (13)

На рис. 2…4 изображены графики переходных процессов для напряжения на ёмкости , напряжения на индуктивностии тока в цепи, где кривые 1 соответствуют апериодическому переходному процессу, кривые 2 соответствуют колебательному переходному процессу, кривые 3 соответствуют критическому переходному процессу. Эти кривые соответственно возникают при переключении ключаK из положения 2 в положение 1.

Рис. 3 Рис. 4

На рис. 4. проведены графики тока в цепи и показано как по графику, соответствующему колебательному процессу (кривая 2), можно определить составляющие корней характеристического уравнения: коэффициент затухания, где- постоянная времени, равная длине подкасательной к огибающей кривой свободных колебаний; частота свободных затухающих колебаний тока или напряжения, гдеТ_св - период колебаний. Для оценки скорости затухания процесса вводится декремент колебания , равный отношению свободной составляющей переходной величины в моменты времени, отличающиеся на периодТ_св.

(14)

При этом - называется логарифмическим декрементом колебания, из чего можно определить коэффициент затухания:

. (15)

2. Разряд конденсатора через R, L – цепь

Рис. 5

Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения , при переключении ключаK из положения 1 в положение 2 разряжается на L и R (рис. 5). Переходный процесс описывается дифференциальным уравнением

(16)

Значения принужденных составляющих:

; ; .

Характер свободной составляющей зависит от значения корней характеристического уравнения и рассмотрен в п.2.1. (см. выражения 5, 6, 7).

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий:

;;. (17)

Решение для колебательного переходного процесса будет иметь вид:

, (18)

где ;.

Решение для критического переходного процесса:

. (19)

Решение для апериодического переходного процесса:

.(20)

Решения для тока i, напряжения на индуктивности и на активном сопротивлении легко получить, используя выражения

; ;.

Графики переходных процессов для всех режимов приведены на рис. 2.

Для колебательного переходного процесса осциллограмма будет иметь следующий вид: