Краткие сведения из теории

. Геометрические характеристики плоских фигур.

В теории прямых стержней используются следующие характеристики плоских фигур (поперечных сечений стержней), зависящие как от формы и размеров сечения, так и от его расположения относительно

координатных осей:

а) статические моменты площади:

S_x = ydxdy = ydF; S_y = xdxdy= xdF;

б) осевые моменты инерции:

J_x = y²dxdy = y²dF; J_y = x²dxdy =x²dF;

в) центробежный момент инерции:

J_xy = xydxdy = xydF;

г) полярный момент инерции:

J_ = ²dF = J_x+J_y, (² = x² + y²).

Оси, относительно которых статический момент равен нулю, называются центральными. Главными называются две взаимоперпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент равен нулю. Ось симметрии является и центральной, и главной осью фигуры. Точку пересечения центральных осей называют центром тяжести фигуры.

Если известны статические моменты фигуры относительно некоторых осей XY, то можно определить координаты ее центра тяжести в этой системе координат следующим образом:

x_c = S_y/F, y_c = S_x/F. (1)

Для простых геометрических фигур геометрические характеристики относительно центральных осей и координаты их центров тяжести известны и приведены в справочниках.

Для некоторых прокатных профилей, встречающихся при выполнении работы, размеры и геометрические характеристики приведены в справочниках в зависимости от их номера.

Если известны моменты инерции фигуры относительно центральных осей, то для нахождения геометрических характеристик относительно осей, параллельных им, могут быть использованы следующие соотношения:

J_x = J_xc + a²F; J_y = J_yc + b²F; J_xy = J_xcyc + abF, (2)

где J_xc, J_yc, J_xcyc - моменты инерции относительно центральных осей,

J_x, J_y, J_xy - моменты инерции относительно осей, параллельных

центральным осям,

a, b – соответственно ордината и абсцисса центра тяжести

фигуры в осях ХУ.

Конечной целью изучения интегральных характеристик плоских фигур является нахождение главных центральных моментов инерции, т.е. осевых моментов инерции относительно главных осей, начало которых совпадает с центром тяжести фигуры.

Если известны моменты инерции относительно некоторых центральных осей фигуры, то главные центральные моменты инерции определяются по формуле:

J_1,2 =[ J_хс + J_yc  /2 . (3)

Положение главных осей 1, 2 относительно центральных X_cY_c определяется по формулам:

tg₁ = (J_xc- J₁)/J_xcyc; tg₂ = (J_xc- J₂)/J_xcyc, (4)

где ₁ и ₂ - углы между осью X_c и соответствующей главной осью.

Применительно к правой системе координат положительному значению угла соответствует поворот против часовой стрелки, отрицательному – по часовой стрелке.

В случае, когда поперечное сечение имеет форму сложной фигуры, которую можно представить как совокупность нескольких простых фигур, отыскание главных моментов инерции следует производить в следующем порядке:

1. Разбить поперечное сечение на простые фигуры, для которых известны площадь, положение центра тяжести и моменты инерции относительно их центральных осей.

2. Выбрать вспомогательные оси координат и вычислить координаты центра тяжести поперечного сечения

y_c = F_iy_i/F_i; x_c = F_ix_i/F_i,

где F_i - площадь простой фигуры, x_i, y_i – координаты центра тяжести этой фигуры во вспомогательной системе координат.

3. Вычислить моменты инерции поперечного сечения относительно вспомогательных центральных осей X_c, Y_c

J_xc = (J_xi + a_i² F_i); J_yc = (J_yi+ b_i² F); J_xcyc = (J_xiyi+a_ib_iF_i),

где J_xi, J_yi, J_xiyi – моменты инерции составляющих фигур относительно своих центральных осей.

4. Найти главные центральные моменты инерции по формуле (3).

5. Определить положение главных центральных осей путем поворота осей X_cY_c. Угол поворота определяется по формуле (4).

. Интегральные характеристики напряжений в поперечных сечениях стержней с прямой осью

Y

Под действием внешних сил в поперечных сечениях стержней могут возникать нормальные_zи касательные_zx,_zy напряжения (рис.1).

_zy

_zx

X

dF

Z

_z

y

x

Рис.1

В силу того, что правая часть стержня отброшена, для сохранения равновесия оставшейся части в сечении необходимо приложить систему «внутренних» сил, эквивалентную действию отброшенной части.

Главным вектором сил этой системы будет вектор (Q_x,Q_y,N) и главным моментом(М_x,M_y,M_к). Проекции этих векторов на координатные осиXYZбудем называть интегральными характеристиками напряжений в поперечном сечении стержня (ИХНС). Эти величины выражаются следующими интегралами:

N= _zdF;Q_x = _zxdF;Q_y = _zydF; (5)

M _x=_z ydF ; M_y = -_z xdF; M_к = _zy xdF-_zx ydF,

где N – нормальная (продольная) сила;

Q_x, Q_y– поперечные силы;

М_x, M_y – изгибающие моменты;

М_к – крутящий момент.

Между ИХНС и внешними нагрузками существуют следующие дифференциальные зависимости:

= -q_z(z); = -q_y(z); = -q_x(z); (6)

= Q_y; = -Q_x; = -m_z.

Интегрируя эти зависимости, получают следующие выражения для нахождения интегральных характеристик напряжений в любом сечении стержня:

Q_x(z) = Q_x(0) - _x(z); Q_y(z) = Q_y(0) - _y(z); N(z) = N(0) - (z);

M_x(z) = M_x(0) + Q_y(0)z - Ф_х(z); M_y(z) = M_y(0) - Q_x(0)z - Ф_y(z);

M_к(z) = M_к(0) – Ф_z(z),

где Q_x(0), Q_y(0), N(0), M_x(0), M_y(0), М_к(0) – значения интегральных характеристик напряжений в начальном сечении стержня (при z = 0),

_x(z), _y(z), _z(z), Ф_х(z), Ф_y(z), Ф_z(z) - соответственно интегралы от правых частей зависимостей (6) и являются функциями, зависящими от закона распределения внешних нагрузок по длине стержня. Эти функции в дальнейшем будем называть нагрузочными.

Ниже приведены значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся случаев нагружения.

1. К оси стержня приложены продольные внешние нагрузки

q

P

Z

0

a

b

c

z

Рис.2

_z(z) = q(z-a) - q(z-b) + P(z-c)⁰.

Здесь и далее следует иметь ввиду, что в том случае, когда выражение, стоящее в скобках, отрицательно, то все слагаемое равно нулю независимо от показателя степени. В случае приложения нескольких распределенных и сосредоточенных нагрузок соответствующие слагаемые нужно повторить для всех нагрузок. Все выражения нагрузочных функций записаны для положительных внешних нагрузок.

2. К оси стержня приложены внешние крутящие моменты

Z

0

m_z

a

b

c

z

Рис.3

Ф_z(z) = m_z(z-a) - m_z(z-b) + L_z(z-c)⁰.

3.К оси стержня приложены силы в вертикальной плоскости

P_y

0

q_y

a

b

c

Z

d

z

Рис.4

_y(z) = q_y(z-a) - q_y(z-b) + P_y(z-c)⁰,

Ф_х(z) = q_y(z-a)²/2 - q_y(z-b)²/2 + P_y(z-c) + L_х(z-d)⁰.

4.К оси стержня приложены нагрузки в горизонтальной плоскости (перпендикулярно плоскости чертежа)

P_x

0

q_x

a

b

c

Z

L_y

d

z

Рис.5

_x(z) = q_x(z-a) - q_x(z-b) + P_x(z-c)⁰,

Ф_y(z) = - q_x(z-a)²/2 + q_x(z-b)²/2 - P_x(z-c) - L_y(z-d)⁰.

Постоянные Q_x(0), Q_y(0), N(0), M_x(0), M_y(0), М_к(0) находят из граничных условий, т.е. на основании имеющейся информации об интегральных характеристиках напряжений в каком-либо крайнем сечении стержня.

Так для ненагруженного конца стержня все интегральные характеристики равны нулю.

Z

Z

0

0

l

l

N(0) = 0; Q_x(0) = 0; Q_y(0) = 0; N(l) = 0; Q_x(l) = 0; Q_y(l) = 0;

M_к(0) = 0; M_x(0) = 0; M_y(0) = 0; M_к(l) = 0; M_x(l) = 0; M_y(l) = 0.

Рис.6

Если концы стержня оперты шарнирно шарнирно-подвижная или шарнирно-неподвижная опоры (Рис.7), то граничные условия будут

М_х(0) = 0; М_у(0) = 0; М_х(l) = 0; М_у(l) = 0.

0

Z

Рис.7

В тех случаях, когда на конце стержня приложена сосредоточенная сила P или пара сил L, могут быть приняты, как и выше, однородные граничные условия, т.е. можно считать, что пара сил или сила приложены к оси стержня на некотором малом расстоянии от конца стержня  0, а в концевом сечении все интегральные характеристики напряжений равны нулю. Внешнюю силу Р или пару сил L при этом следует включить в нагрузочную функцию.

В этих же случаях могут быть приняты и неоднородные граничные условия. Для этого сила, приложенная на конце стержня, принимается равной соответственно продольной или поперечной силе, а пара сил – равной изгибающему или крутящему моментам в концевом сечении стержня. Эти силы или пары, естественно, в нагрузочную функцию уже не включают. На рисунке 8 записаны граничные условия для возможных случаев нагружения концевых сечений положительными внешними нагрузками.

0

P

P

L_z

0

N(0) = -P; N(l) = P; M_к(0) = -L; M_к(l) = L;

P

P

0

0

Q_y(0) = -P; Q_y(l) = P; M_x(0) = -L; M_x(l) = L;

M_x(0) = -L; M_x(l) = L.

Рис.8

После записи уравнений интегральных характеристик и вычисления начальных параметров можно построить их графики (эпюры). Эти графики строятся на осях, параллельных оси стержня, по нормали к которым откладываются значения функций. Эпюры позволяют наглядно представить изменение интегральных характеристик напряжений вдоль оси стержня и определить то сечение, где функции достигают наибольшего значения.