Решение

Составим уравнение изгибающих моментов М_х и поперечных сил Q_y

Q_y(z) = Q_y(0) + P ,

М_х(z) = М_х(0) + Q_У(0)z + P(z-l).

Для определения постоянных интегрирования Q_y(0) и М_х(0) для заданных условий закрепления концов стержня граничные условия запишутся в следующем виде:

М_х(0) = 0, М_х(2l) = L.

Из второго условия имеем

Q_У(0)2l + Pl = L.

Откуда

Q_У(0) = L/2l - P/2 = 16/20,5 - 72/2 = -20 кН.

Окончательно получаем

Q_У(z) = -20 + 72,

М_х(z) = -20z + 72(z - 0,5).

Вычисляем значения поперечных сил и изгибающих моментов на границах участков

0  z  l,

Q_y = -20 кН; М_х(0) = 0; М_х(l) = -10 кНм.

l  z  2l,

Q_y = -20 + 72 = 52 кН; М_х(l) = -10 кНм; М_х(2l) = 19 кНм.

По полученным значениям строим эпюры М_х и Q_y (рис. 16 ).

Опасным сечением будет сечение на правой опоре, где М_х = 16 кНм и Q_y = 52 кН.

Условиe прочности при изгибе запишем в виде

_{z max} = M_x/W_х  [].

Откуда

W_х  M_x /[] = 16/16010³ = 100 см³.

Р

l

l

52

Q_y(z)

20

16

M_x(z)

10

Рис. 16

По таблицам «Сортамент прокатной стали» выбираем двутавр, имеющий ближайший больший осевой момент сопротивления. Таковым является двутавр №16, имеющий W_х = 109 см³, и осевой момент инерции

J_х = 873 см⁴.

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений по высоте опасного поперечного сечения. Для этого вычислим величины _z и _zy в следующих трех точках сечения:

Точка 1- крайние точки у = h/2.

В этих точках нормальные напряжения достигают наибольшей величины и равны

_z(1) = M_x/W_х= 16/10910^-6 = 147 МПа.

Касательные напряжения в этих точках равны нулю _zy(1) = 0.

Следовательно, в данной точке имеет место одноосное напряженное состояние, и условие прочности в этой точке выполняется.

_z(1) = 147 МПа  [].

Точка 2 – верхняя точка стенки двутавра (рис.17) с ординатой

у = (h/2-t).

b

Y

1

C₁

t

2

y₁

F₁

C₂

h/2

F₂

y₂

Х

3

d

Рис.17.

Из таблицы сортаментов выписываем значения размеров двутавра №16: h = 160 мм, b = 81 мм, d = 5 мм, t = 7,8 мм.

Нормальное напряжение в этой точке будет:

_z(2) = M_x(h/2 - t)/J_x = 16(80 – 7,8)/87310^-8 = 132 МПа.

В этой же точке будут возникать касательные напряжения, которые при поперечном изгибе можно определить по формуле Журавского:

_zy=Q_yS_x*/J_xb(y).

Отсеченной будет одна из частей сечения, если через точку 2 проведем линию, параллельную оси Х. В данном случае удобней взять верхнюю часть, то есть полку двутавра F₁. Рассматривая ее как прямоугольник, найдем

S_x*=F₁y₁=bt(h/2-t/2)=8,10,78(8-0,39)=48,1 cм³.

Ширину сечения в точке 2, не учитывая закругления, примем

b(y) = d = 0,5 см.

Тогда

_zy(2) = 5248,110⁷/8730,5 = 57 МПа.

Точка 3 - лежит на оси Х.

В этой точке нормальные напряжения равны 0. Отсеченной будет половина поперечного сечения, статический момент ее найдем как сумму статических моментов двух прямоугольников

S_x* = F₁y₁ + F₂y₂ = bt(h/2 - t/2) + (h/2-t) d(h/2 - t)/2 =

= 8,10,78(8 - 0,39) + (8 - 0,78) 0,5(8 - 0,78)/2 = 61 cм³.

Ширина сечения

b(y) = d = 0,5 см.

Касательные напряжения в точке 3

_zy(3) = 526110⁷/8730,5 = 81 МПа.

По найденным значениям _z и _zy строим их эпюры (рис.18)

_z(y) _zy(y)

147

0

57

132

81

0

132

57

147

0

Рис. 18

Проверяем условия прочности в этих точках.

Точка 1. _z = 147 МПа и _zy = 0 МПа.

В рассматриваемой точке будет одноосное напряженное состояние, и условие прочности можно записать в виде

_z  .

В данном случае _z =147 МПа  , следовательно, условие прочности в точке 1 выполняется.

Точка 2. _z = 132 МПа и _zy = 57 МПа.

В данной точке будет иметь место двухосное напряженное состояние ₂ = 0

_1,3 = (_z  = (132  ,

₁ = 153 МПа, ₃ = -11 МПа.

Условие прочности для сложного напряженного состояния

_экв  .

По теории наибольших касательных напряжений

_экв = ₁ - ₃ = 153 + 11 = 164 МПа.

Эквивалентное напряжение в точке получилось несколько выше допускаемого напряжения, но перегрузка составляет

[(164 - 160)/160]% = 2,5 %,

что лежит в допускаемых пределах.

Точка 3. _z = 0, _zy = 81 МПа.

Такой вид напряженного состояния называется чистым сдвигом. Главные напряжения в т.3 будут равны

₁ = _zy = 81 МПа; ₂ = 0; ₃ = -_zy = -81 МПа.

Эквивалентное напряжение будет

_экв = ₁ - ₃ = 81 + 81 = 162 МПа.

Здесь тоже эквивалентное напряжение оказалось выше допускаемого, но это превышение тоже лежит в допускаемых пределах.

Можно сделать заключение, что условие прочности во всех точках опасного сечения выполняется.

П р и м е р 4. Стержень АВ имеет на правом конце кронштейн ВС, в верхней точке которого приложена горизонтальная сила Р.

Р

C

B

l

A

r

4l

Рис. 19

Найти наибольшие напряжения в стержне АВ, если Р = 50 кН,

l = 0,2 м, r = 1 см.

Проверить прочность стержня, приняв допускаемое напряжение

 = 200 МПа.