- •Лекции по курсу «сопротивление материалов» Основные понятия и определения
- •Физическая и математическая модель
- •Геометрические характеристики сечения
- •Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе координатных осей
- •Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей
- •Геометрические характеристики сложных сечений
- •Метод сечений. Внутренние силы
- •Напряжение. Напряженное состояние в точке тела
- •Интегральные характеристики напряжений в точке
- •Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения
- •Закон парности касательных напряжений
- •Напряжения на наклонных площадках
- •Главные площадки и главные напряжения
- •Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора
- •Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения
- •Математическая модель механики твердо деформируемого тела
- •Деформированное состояние тела
- •Касательные напряжения при кручении
- •Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского
- •Теории (гипотезы) прочности
- •Растяжение (сжатие) стержней
- •Кручение стержней
- •Изгиб стержней.
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Оглавление
- •Литература
Главные площадки и главные напряжения
Нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке зависят от ее положения, то есть от направляющих косинусов l,m,n.
Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю и действуют только нормальные напряжения, называются главными. Нормальные напряжения на этих площадках называютсяглавными напряжениями.
Предположим, что наклонная площадка с направляющими косинусами l,m,nявляется главной, то есть вектор нормали к наклонной площадке совпадает с вектором полного напряжения. Тогда нормальное напряжение на этой площадке равно полному напряжению, а касательное напряжение равно нулю (рис.22). Проекции полного напряжения на координатные оси равны:
Px =l,Pу =m,Pz =n.
Рис.22
Используя выражения, полученные для наклонной площадки, - (31) и (32), имеем:
Px = xl + yxm + zxn = l,
Pу = xyl + ym + zyn = m,
Pz = xzl + yzm + zn = n.
В данных уравнениях четыре неизвестных (направляющие косинусы l,m,nи главное напряжение), поэтому необходимо четвертое уравнение:
(x - )l + yxm + zxn = 0
xyl + (y - )m + zyn = 0 (35)
xzl + yzm + (z - )n = 0
l2 + m2 + n2 = 1
Система уравнений имеет ненулевое решение (нулевое не устраивает из-за четвертого уравнения системы), когда равен нулю главный определитель системы:
x - yx zx
xy y - zy = 0 (36)
xz yz z -
Раскроем определитель
(x - )(y - )(z - ) + yxzyxz + xyyzzx - xz(y - )zx - xyyx(z - ) -
- yzzy(x - ) = 0.
xyz - yz - xz + 2z - xу + 2у + 2х - 3 + 2xyyzzx –
- yxz2 + xz2 - zxу2 + xу2 - хуz2 + уz2 = 0.
Сгруппируем слагаемые по степеням главного напряжения
- 3+2(x +y +z) -(yz+xz+xу -xz2 -xу2 -уz2) +
+ (xyz + 2xyyzzx -yxz2 -zxу2 -хуz2)= 0.
Запишем это уравнение в более компактной форме
3 – I12 + I2 – I3 = 0 (37)
где I1 = x + y + z,
I2 = yz + xz + xу - xz2 - xу2 - уz2,
I3 = xyz + 2xyyzzx - yxz2 - zxу2 - хуz2 .
Введенные обозначения называются инвариантами напряженного состояния. Так как главные напряжения в точке являются физической характеристикой, то они не зависят от выбора системы координат, а, следовательно, и значения инвариантов также не зависят от выбора системы координат.
Решая кубическое уравнение (37), получим три вещественных корня – три главных напряжения, которые нумеруются в порядке убывания: 1 2 3. Подставляя величину главного напряжения в систему (35), можно определить положение главной площадки, т.е. определить ее направляющие косинусы. Три главных площадки в точке взаимно перпендикулярны.