- •Лекции по курсу «сопротивление материалов» Основные понятия и определения
- •Физическая и математическая модель
- •Геометрические характеристики сечения
- •Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе координатных осей
- •Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей
- •Геометрические характеристики сложных сечений
- •Метод сечений. Внутренние силы
- •Напряжение. Напряженное состояние в точке тела
- •Интегральные характеристики напряжений в точке
- •Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения
- •Закон парности касательных напряжений
- •Напряжения на наклонных площадках
- •Главные площадки и главные напряжения
- •Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора
- •Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения
- •Математическая модель механики твердо деформируемого тела
- •Деформированное состояние тела
- •Касательные напряжения при кручении
- •Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского
- •Теории (гипотезы) прочности
- •Растяжение (сжатие) стержней
- •Кручение стержней
- •Изгиб стержней.
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Оглавление
- •Литература
Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора
Возьмем в теле произвольную точку А (х, у, z). Через эту точку можно провести бесконечное множество площадок. Очевидно, что на одной из площадок нормальное напряжение достигнет наибольшего для данной точки значения, а на другой касательное напряжение примет свое максимальное значение.
Пусть для точки А известно положение главных осей напряженного состояния. Если их принять за систему координат (рис.23), то в наклонной площадке с вектором нормали (l,m,n) возникают нормальные и касательные напряжения Р(,). Определим эти напряжения и исследуем их экстремальные свойства.
Рис.23
Нормальные напряжения в любой наклонной площадке выражаются основной квадратичной формой (33). Запишем её с учетом того, что в качестве системы координат приняты главные оси:
=1l2+2m2+3n2 (38)
Найдем квадрат полного напряжения на наклонной площадке как сумму квадратов его проекций, выражения для которых были найдены ранее (32):
Р2=Pх2+Pу2 +Pz2 =12l2+22m2 +32n2 (39)
Также полное напряжение на наклонной площадке можно представить как сумму нормального и касательного напряжений (17).
Таким образом, мы имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными - l2,m2, n2:
=1l2+2m2+3n2
2+2=12l2+22m2 +32n2(40)
1 = l2 +m2 +n2
Умножим каждое уравнение на произвольные множители a,b,cи сложим, сгруппировав при этом слагаемые по направляющим косинусам
а+b(2+2) + с =
= l2(а1 +b12+ с) +m 2(а2 +b22+ с) +n 2(а3 +b32+ с) (41)
Для определения величины l2подберем коэффициентыa,b,cтаким образом, чтобы вторая и третья скобки в правой части уравнения (41) обнулились:
а2 +b22+ с = 0,
а3 +b32+ с = 0,
получаем
b= 1, а = -(2 +3), с =23.
Подставляя полученные коэффициенты в уравнение (41), находим величину l2:
l2=. (42)
Аналогично находим квадраты двух других направляющих косинусов
m 2=,
(43)
n 2=.
В уравнениях (42) и (43) дроби должны быть больше нуля, так как в левых частях стоят квадраты величин. Проанализируем знаменатели дробей на основе неравенства 1 2 3:
0,
0, (44)
0.
На основе неравенств (44) можно сделать вывод о знаке числителя:
0,
0, (45)
0.
Сделав ряд математических преобразований, можно показать, что неравенства (45) представляют собой области, ограниченные окружностями. Рассмотрим третье неравенство и представим его решение графически (рис.24):
(46)
Представим решение системы (45) графически (рис.25). Эта диаграмма называется круговой диаграммой Мора. Круговая диаграмма позволяет установить экстремальные свойства нормальных и касательных напряжений.
Рис.24
1- максимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;
3- минимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;
max=- максимальное касательное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке, действует на площадках наклоненных к главным на угол 45.
Рис.25