13. Распределение Ферми-Дирака. Энергия Ферми.

Энергия Ферми - максимальная энергия электронов при температуре в 0 К. Энергия Ферми растет с увеличением количества электронов в квантовой системе и, соответственно, уменьшается с уменьшением количества электронов (фермионов). Это обусловливается возникающим интенсивным обменным и электростатическим взаимодействием в области перекрытия зарядовых плотностей волновых функций электронов при росте количества электронов. 

Уровень Ферми в полупроводниках различных типов проводимости  Следует заметить, что в любом полупроводнике при стремлении температуры к абсолютному нулю уровень Ферми находится посередине запрещенной зоны. Но при повышении температуры в примесных полупроводниках он смещается либо вверх, либо вниз. Причина этого - в переходе электронов с валентной зоны в зону проводимости или наоборот, что обусловливает изменение энергии зоны проводимости и последующее смещение уровня Ферми (что Вас, собственно, и интересует).  В случае с беспримесными полупроводниками, уровень Ферми при любой температуре проходит по середине запрещенной зоны. 

В случае с n-полупроводниками, количество электронов в зоне проводимости больше, чем у беспримесных полупроводников, поэтому средняя энергия электронов в зоне проводимости, в силу того же роста суммарной энергии системы при увеличении количества фермионов, повышается. Из-за этого, чтобы покинуть валентную зону и перейти в зону проводимости, электрону в n-полупроводнике требуется больше энергии, чем электрону из беспримесного полупроводника. Потому уровень Ферми находится выше средины запрещенной зоны. Формально, уровень Ферми в n-полупроводниках лежит посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем.  В случае с p--полупроводниками, наблюдается обратная ситуация: чем большая концентрация акцепторов (например, атомов In), тем меньшая средняя плотность энергии электронов в зоне проводимости полупроводника, тем меньше средняя энергия на один электрон, и тем меньшая энергия требуется электрону, чтобы перейти в зону проводимости. Потому уровень Ферми находится ниже средины запрещенной зоны.

14. Энергетические зоны в кристаллах.

15. Математическая модель электрических зон Кронига – Петти.

16. Зоны Бриллюэна.

Первая зона Бриллюэна (часто называемая просто зоной Бриллюэна) может быть построена как объём, ограниченный плоскостями, которые отстоят на равные расстояния от рассматриваемого узла обратной решётки до соседних узлов. Альтернативное определение следующее: зона Бриллюэна — множество точек в обратном пространстве, которых можно достигнуть из данного узла, не пересекая ни одной брэгговской плоскости.

Аналогичным образом можно получить вторую, третью и последующие зоны Бриллюэна. n-я зона Бриллюэна — это множество точек, которые можно достигнуть из данного узла, пересекая n-1 брэгговскую плоскость.

17. Динамика электронов в кристаллической решетки. Эффективная масса электронов в кристалле.

Вследствие того что в кристалле на электрон действует периодическое поле решетки, он приобретает некоторые свойства, в корне отличающие его от классической частицы [60, 82].

Пусть на вещество наложено внешнее электрическое поле E, тогда сила, действующая на электрон, . Скорость движения электрона равна групповой скорости распространения волн

,

(9.33)

т. к. .

За время dt внешняя сила F совершает работу по перемещению электрона

.

(9.34)

Отсюда

.

(9.35)

Продифференцируем выражение (9.33) для групповой скорости  по времени и определим ускорение электрона:

.

(9.36)

Подставим сюда из формулы (9.35) , тогда

.

(9.37)

Эта формула выражает второй закон Ньютона. Под действием внешней силы F, возникающей при наложении поля, электрон движется в среднем так, как двигался бы под действием этой силы свободный электрон некоторой массы , определяемой соотношением

.

(9.38)

Значение массы  носит название эффективной массы электрона в решетке.

Для свободного электрона, энергия которого определяется как, эффективная масса  принимает значение массы покоя электрона m.

Эффективная масса не является массой в ее обычном понимании. Она не определяет ни гравитационных, ни инерционных свойств электрона. По величине она может быть как больше, так и меньше массы свободного электрона, а по знаку – как положительной, так и отрицательной.

Рассмотрим следующий пример. Пусть в первой зоне Бриллюэна находится один свободный электрон, который в отсутствие внешнего поля располагается на дне зоны. Приложим к кристаллу внешнее поле , под действием которого электрон будет ускоряться, его кинетическая энергия будет расти, что приведет к его переходу на более высокие энергетические уровни зоны.

При небольших значениях волнового числа k, пока кривая  остается параболой (рис.9.14),  и скорость движения электрона  линейно растет с ростом k, а эффективная масса  остается практически постоянной и равной массе покоя электрона. По мере удаления от нуля кривая  отходит от параболы, нарастание скорости с увеличением k замедляется, а следовательно, увеличивается эффективная масса . В точке А (точка перегиба) первая производная энергии по волновому числу  максимальна, а вторая производная  обращается в нуль.

Поэтому при значении волнового числа , соответствующего точке перегиба зависимости , скорость движения электрона максимальна, а эффективная масса  обращается в бесконечность. При значениях  эффективная масса электрона  меняет знак и становится отрицательной. Скорость движения электрона при  уменьшается, хотя направление внешней силы сохраняется. В точке В ( − граница зоны Бриллюэна) электрон испытывает брэгговское отражение и появляется в точке . В интервале  он ускоряется в направлении, противоположном действию внешней силы, и его скорость меняется от нуля до максимального значения, а эффективная масса – от массы покоя до . В точке  знак эффективной массы меняется на положительный, и в интервале  электрон ускоряется в направлении действия внешней силы.

 

Рис. 9.14. Зависимость от волнового числа: а – энергии, б – скорости, в – эффективной массы электрона (пунктир соответствует зависимости энергии от волнового числа для свободного электрона)

 

Наличие анизотропии кристаллов обуславливает анизотропию динамических свойств электронов при их движении. Вследствие этого эффективная масса является величиной тензорной. Чаще всего анизотропия проявляется в двух направлениях, и поверхности постоянной энергии имеют вид эллипсоидов вращения. В этом случае эффективная масса подразделяется на эффективную массу в продольном направлении  и эффективную массу в поперечном направлении . При отсутствии анизотропии  поверхность постоянной энергии имеет вид сферы и эффективная масса является величиной скалярной.