MMP_5

или, в матричной записи,

x Ax y ,

(3)

где

a

a

a

x1

y1

11

12

1n

a21

a22

a2n1

A . . . . . .

. . . . . . ,

x

x2

,

y

y2

.

a

a

a

n1

n2

nn

xn

yn

Вектор x называется вектором валового выпуска, вектор y - вектором конечного потребления, а матрица А - матрицей прямых затрат.

Соотношение (3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов x и y

это соотношение называют также моделью Леонтьева.

Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для плановых расчетов:

- задавая для каждой отрасли i валовой выпуск продукции xi можно определить объемы конечного потребления каждой отрасли yi :

y E A x ,

где Е – единичная матрица;

- задавая величины конечного потребления каждой отрасли yi можно определить величины валового выпуска продукции xi :

x E A 1 y ,

где E A 1 – матрица, обратная к матрице E A , ее элементы

называют коэффициентами полных материальных затрат.

Отметим особенности системы (3): все компоненты матрицы А, а также векторов x и y неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А,

x и y ). Для краткости будем записывать это так: A 0, x 0, y 0 .

10

Таким образом, плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять при соблюдении следующего условия продуктивности:

матрица A 0 называется продуктивной, если для любого вектора y 0 существует решение x 0 уравнения (3).

В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.

Сформулируем критерии продуктивности матрицы A 0 .

Критерий I. Матрица A 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица E A 1 существует и неотрицательна.

Критерий II. Матрица A 0 продуктивна тогда и только тогда,

когда имеет место разложение матрицы E A 1 в матричный ряд

E A 1 E A A2 A3 An . (4)

В соотношении (4) матрицы A2 , A3 , , An , называются матрицами коэффициентов косвенных затрат 2-го, 3-го и т.д. порядков. Их сумма образует матрицу коэффициентов косвенных затрат

B A2 A3 An .

(5)

Суть косвенных затрат поясним на примере производства двигателей.

На их изготовление в виде прямых затрат расходуется сталь, чугун и т.д. Но для производства стали также нужен чугун. Следовательно, производство двигателей включает как прямые, так и косвенные затраты чугуна.

Таким образом, из соотношений (4) и (5) имеем

E A 1 E A B ,

(6)

т.е. матрица коэффициентов полных материальных затрат включает в себя матрицы коэффициентов прямых и косвенных затрат.

Рассмотрим примеры.

11

Пример 1. Исследовать на продуктивность матрицу

								0,05	0,45		0,4
							A	0,1	0,2		0,5
								0,2	0,3		0,1
Решение. Сначала найдем матрицу E A:
	1		0	0			0,05	0,45	0,4			0,95		0,45	0,4
E A	0		1	0			0,1	0,2	0,5				0,1	0,8	0,5
	0		0	1			0,2	0,3	0,1				0,2	0,3	0,9

Затем найдем		E A 1 .		С этой		целью	по	известным из			линейной
алгебры правилам вычислим определитель
		0,45	0,4		0,95	0,45	0,4		0,95	0,85	0,4
	0,95
det E A	0,1	0,8	0,5		0,1	0,8	0,5		0,1	0,3	0,5
	0,2	0,3	0,9		0	1,9	1,9		0	0	1,9

1,9 0,95 0,85 1,9 0,285 0,085 0,38;

0,1 0,3

алгебраические дополнения для элементов матрицы E A

						0,5																	0,1	0,5
1 1 1					0,8									0,57	;		1 1 2													0,1;
					0,3	0,9																	0,2	0,9
1 1 3			0,1			0,8				0,19 ;							1 2 1			0,45				0,4						0,525;
		0,2				0,3																0,3		0,9
1 2 2			0,95			0,4				0,775					;		1 2 3			0,95				0,45						0,375	;
			0,2			0,9														0,2				0,3
1 3 1				0,45		0,4								0,545		;	1 3 2					0,95		0,4			0,515 ;
				0,8		0,5																0,1		0,5

12

							0,45
				1 3 3		0,95				0,805 .
						0,1	0,8
	Тогда
					0,57	0,525	0,545							57	52,5	54,5
	1		1									1
	E A				0,1	0,775	0,515							10	77,5	51,5
			0,38									38
					0,19	0,375	0,805							19	37,5	80,5

Полученная матрица неотрицательна и по Критерию I исходная матрица А продуктивная.

Пример 2. Для матрицы А коэффициентов прямых затрат из примера 1

и вектора конечного потребления

152

y 114

190

найти: а) вектор валового выпуска; б) матрицу косвенных затрат; в)

изменение вектора валового выпуска при увеличении вектора конечного потребления на величину

76y 3838

Решение.

а) Вектор валового выпуска x вычислим по формуле

x E A 1 y .

Имеем

13

			57	52,5		54,5		152			57			52,5		54,5				4			658
	1
x			10	77,5		51,5		114			10			77,5		51,5				3			530
	38
			19	37,5		80,5					19			37,5		80,5				5
								190															591
б) Матрицу косвенных затрат В найдем из соотношения (2.6):
							57	52,5	54,5					1	0	0			0,05			0,45		0,4
	1				1
B E A		E		A			10	77,5		51,5				0	1	0			0,1			0,2		0,5
					38
							19	37,5	80,5					0	0	1			0,2			0,3		0,1

				17,1	35,4	39,3
		1		6,2	31,9	32,5
		38
					26,1	38,7
			11,4

						57	52,5	54,5		76		221
		1		1
	в)	x E A	y		10		77,5	51,5		38		149
				38
						19	37,5	80,5		38
												156

Таким образом, при увеличении вектора конечного потребления на

	76		221
y	38		вектор валового выпуска увеличится на x 149	.
	38
			156

14

ЛЕКЦИЯ 3,4,5

Задачи математического и линейного программирования. Модели линейного программирования.

Нередко экономические задачи имеют не единственное решение и требуется выбрать лучшее – оптимальное из них. Моделирование таких задач сводится к задачам математического программирования (ЗМП).

Математическое программирование – область математики, изучающая оптимизационные процессы посредством поиска экстремума функции при заданных ограничениях.

Сформулируем в общем виде ЗМП:

f x1, x2 , , xn max min

(7)

при условиях

g1 x1, x2 , , xn bi , g1 x1, x2 , , xn bi , g1 x1, x2 , , xn bi ,

i 1, 2, , k,
		(8)
i k 1, , l,
i l 1, , m,

	x1 0, x2 0, , xn 0,			(9)
где f x1, x2 , , xn – целевая			функция,	условия (8) – специальные
ограничения, условия (9) – общие ограничения ЗМП.
Точку	x1, x2 , , xn ,	координаты		которой	удовлетворяют
ограничениям (8) и (9), называют допустимым решением ЗМП.
Множество всех допустимых решений ЗМП называют допустимым
множеством.
Допустимое решение x * , x * , , x * , удовлетворяющее соотношению
	1	2	n

(7), называют оптимальным решением ЗМП.

15

Если в	ЗМП	целевая	функция	f x1, x2 , , xn и функции
g1 x1, x2 , , xn ,	i 1,	2, , m , –	линейные,	то имеем общую задачу

линейного программирования (ЗЛП):

c1x1 c2 x2 cn xn F max min (10)

ai1x1 ai 2 ai1x1 ai 2 ai1x1 ai 2

x2 ain xn bi , x2 ain xn bi , x2 ain xn bi ,

x1 0, x2 0, , xn

i 1, 2, , k,
		(11)
i k 1, , l,
i l 1, , m,
0,		(12)

В зависимости от вида специальных ограничений различают

следующие ЗЛП:

- каноническая ЗЛП, включающая в качестве ограничений (11) только

уравнения, т. е.

ai1x1 ai2 x2 ain xn bi ,	i 1, 2, , m ;
- стандартная ЗЛП, включающая в качестве ограничений (11) только
неравенства, т. е.
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi ,	i 1, 2, , l,
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi ,	i l 1, , m.

Рассмотрим следующие примеры моделей, приводимых к ЗЛП.

Пример 1. Экономико-математическая модель задачи о планировании производства.

На заводе имеются запасы трех видов сырья: S1 , S2 и S3 , из которого можно наладить производство двух видов товаров: T1 и T2 . Запасы сырья,

норма его расхода на производство единицы товаров, а также прибыль от реализации единицы каждого товара приведены в таблице 1 (цифры условные).

16

	Таблица 1
	Сырье	S1	S2	S3	Прибыль
	Товары
	T1	3	1	1	25
	T2	3	2	4	34
	Запасы	126	48	72

Необходимо составить такой план производства товаров, при котором

прибыль от их реализации будет максимальной.
Решение.
План производства зададим числами x1						и x2 , где xi – количество
единиц товара Ti ,	которое следует произвести i 1, 2 . Неизвестные x1 и
x2 должны удовлетворять условиям
3x1 3x2 126					x1 x2			42
	2x2 48							48 , (13)
x1				или	x1 2x2
x 4x		2	72		x 4x		2	72
1					1

x1 0, x2 0

(14)

Поясним смысл первого неравенства системы (13). В левой части

записано количество сырья S1 , которое расходуется на выпуск x1 единиц товара T1 и x2 единиц товара T2 . Это количество не должно превышать

имеющегося запаса сырья S1 , т. е.	126 единиц.	Аналогичный смысл
имеют второе и третье неравенства системы (13).
Прибыль, предприятия от реализации плана ( x1 , x2 ) производства
товаров, очевидно, составит
F 25x1	34x2 .	(15)

Винтересах предприятия максимизировать эту прибыль.

Следовательно, чтобы составить план производства товаров, при котором

прибыль от их реализации будет максимальной нужно решить стандартную ЗЛП: F 25x1 34x2 max при условиях (13) и (14):

17

x1 x2 42x1 2x2 48x1 4x2 72x1 0, x2 0

Пример 2. Экономико-математическая модель задачи о диете.

Имеются два вида продуктов: P1 и P2 . Содержание в 1 кг питательных веществ A, B и C, ежесуточные потребности организма V в них и стоимость S

1 кг продуктов приведены в таблице 2

	Таблица 2
	Витамины	A	B	C	S
	Продукты
	P1	1	3	1	8
	P2	3	1	8	16
	V	6	9	8

Составить такую ежесуточную диету, которая обеспечивает необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах на продукты.

Решение.

Пусть x1 и x2 – искомые количества продуктов P1 и P2

соответственно. Их стоимость составляет

f 8x1 16x2

Общее количество питательного вещества A в обоих видах продуктов равно x1 3x2 . Оно должно быть не меньше 6 единиц: x1 3x2 6 .

Аналогичные неравенства составим для питательных веществ B и C: 3x1 x2 9 и x1 8x2 8.

Очевидно, x1 0 и x2 0 .

Таким образом, получим следующую стандартную ЗЛП:

18

f 9x1 12x2 min

(16)

при условиях

x1		3x2			6
3x1		x2		9		(17)
x	8x			8
1			2
	0, x2				0
x1

Геометрический метод решения задач линейного программирования.

Геометрический метод решения ЗЛП – простой и наглядный способ решения стандартных ЗЛП с двумя переменными:

F c1x1 c2 x2 max min (18)

при условиях

ai1x1 ai2 x2 bi , ai1x1 ai2 x2 bi , x1 0, x2 0,

i 1, , l,

i l 1, , m, (19)

Рассмотрим следующие геометрические объекты.

Выпуклые множества и их свойства.

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с произвольными двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки.

Справедливо утверждение: пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Каждое неравенство системы ограничений (19) геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой ai1x1 ai2 x2 bi , i 1, , m , или x1 0 , или x2 0.

Поясним сказанное. Рассмотрим, например, неравенство 3x1 4x2 12 .

19