2. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Как известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда, даже выгодно пользоваться числами, которые описывают случайные величины суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

Математическое ожидание и его свойства

Математическим ожиданием ДСВ X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие вероятности.

.

Математическое ожидание случайной величины — это постоянная величина, которая показывает, какое значение случайной величины можно ожидать в среднем при проведении серии опытов.

Вероятностный смысл математического ожидания

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. (На числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания, то есть математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений.)

Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI–XVIIвв.), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, или, иными словами, математическое ожидание выигрыша.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания .

3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий (две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина) .

Дисперсия и ее свойства

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Для этого вводят новую характеристику называемую дисперсией.

Дисперсией (рассеянием) ДСВXназывается математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

.

На практике для вычисления дисперсии используют следующую теорему: дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат .

3. Дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонениемслучайной величиныX называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

.

Пример. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, определяемой как количество студентов в наугад выбранной группе, используя следующие данные:

X	8	9	10	11	12
P	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

Решение.

;

;

.