Полосовые фильтры

При создании активных полосовых (Рис. 7.1) фильтров (пропускающих (ПП) и заграждающих (ПЗ)) в качестве цепи ОС используют частотно-зависимые цепи, имеющие на определенной частоте максимум, либо минимум пропускания. Это и создает изменение глубины ОС с частотой и формирует полосовую АЧХ усилителя. Наиболее часто в качестве частотно-зависимого звена ОС используют такие цепи, как Т-мост, мост Вина, 2Т-мост (см. табл.7.1).

Расмотрим ПФ с симметричным 2Т-мостом (табл.7.3, строка 1). Для такого моста (табл. 7.1, строка 2) в идеальном случае должны соблюдаться условия:

R₁=R₂=R, R₃=R/2, C₁=C₂=C, C₃=2C.

Коэффициент передачи моста по напряжению между точками 1-3 (точка 2 заземлена) описывается выражением

К_1-3= u₃/u₁= jx / (4+jx),

а между точками 2-3 (точка 1 заземлена) – выражением

К_2-3 = u₃/u₂ = 4 / (4+jx).

Здесь x = (w/w₀ – w₀/w) является относительной расстройкой.

Если использовать параметр Р=jw/w₀, то

К_1-3 = (Р²+1) / (Р²+4Р+1), и К_2-3 = 4P / (P²+4P+1).

Как видно, цепь ОС является фильтром II порядка. На частоте w = w₀ = = 1/RC при включении точками 1-3 фильтр имеет минимум пропускания (К_1-3= 0).

В схеме АФ 2Т-мост точками 1, 3 включается в качестве цепи ООС. Источник сигнала подключается к неинвертирующему входу ОУ (табл. 7.3, сх. № 1). Возможно включение источника сигнала в точку 2 моста. В последнем случае требуется малое выходное сопротивление источника сигнала.

Поскольку на частоте w₀ отрицательная ОС отсутствует (К_ОС = К_1-3 = 0), то усилитель на данной частоте имеет максимальный коэффициент усиления К_U = К_U⁰. При отклонении частоты сигнала от w₀ как в область верхних, так и нижних частот К_ОС увеличивается, ООС усиливается и коэффициент усиления всего усилителя падает. Так формируется полосовая пропускающая частотная характеристика активного фильтра.

Расчет АЧХ проводим при тех же условиях, что и ранее. Поскольку ООС последовательная, то можно записать

е_Г = u_ВХ + u_ОС = u_ВЫХ / K_U⁰ + u_ВЫХ K_ОС.

После преобразований получаем

К_U = К_U⁰ / (1+ jx K_U⁰ / (4+jx)) , или

K_U = (K_U⁰ / (1+K_U⁰)) · ((P²+4P+1) / (P²+(1/Q_P) P+1)).

Эти две записи эквивалентны. Как видно, АФ является фильтром второго порядка, имеет два комплексно-сопряженных корня (полюса) в знаменателе. Их собственная частота и добротность соответственно равны

w₀=1/RC, Q_P = (K_U⁰+1) / 4.

Имеются два действительных корня в числителе (нули), которые определяют частоты перегибов АЧХ. Численной подстановкой Р=jw/w₀ можно вычислить модуль | К_U |(w) и построить АЧХ фильтра, либо j(w) – построить ФЧХ фильтра. Активный фильтр имеет К_U = К_U⁰ при w = w₀ = = 1/RC, а при w®0 или w®¥ – К_U ®1. Вид АЧХ (ФЧХ) АФ приведен в Табл.7.3.

Важным параметром полосового фильтра является его полоса пропускания (П_d = w_В – w_Н) при заданном ослаблении сигнала (d). Обычно принято ослабление 3 дБ (К_U(w_В) = К_U(w_Н) = К_U(w₀)/) и полоса обозначается как П. По аналогии с LC цепями фильтр принято характеризовать добротностью

Q = w₀ / П,

что позволяет определять полосу пропускания фильтра. Математически добротность фильтра оценивается по величине коэффициента перед членом Р¹ в знаменателе уравнения фильтра. Для АФ с 2Т-мостом добротность Q_P = (К_U⁰+1)/4, т.е., чем выше усиление исходного усилителя, тем уже полоса пропускания ПФ.

2Т-мост критичен к подбору своих элементов. Отклонение в номиналах резисторов и конденсаторов от идеала приводит к неполному подавлению сигнала на частоте w₀. Это можно показать в первом приближении, анализируя мост с использованием круговых диаграмм (рис. 7.2). Вектор выходного напряжения в точке 3 моста конечен и может принимать различное положение. На частоте w₀ вектор U₃ может быть как в фазе, так и в противофазе с напряжением U₁. Это ведет к возникновению положительной, либо отрицательной обратной связи в АФ.

Рис. 7.2. а – 2Т-мост; б – векторная диаграмма моста

Подбором резистора R₃ в определенных пределах удается компенсировать

Таблица 7.3
АЧХ и ФЧХ полосовых пропускающих фильтров
№ сх	Фильтр	Схема активного фильтра	Передаточная характеристика	АЧХ и ФЧХ фильтров
1	2Т-мост ПФ-ПП
2	Мост Вина ПФ-ПП
3	Т-мост ПФ-ПП
Принято: p=j, P=j/0 ; Ku оу =KU^0, r вх оу, r вых оу 0.

Окончание таблицы 7.3
АЧХ и ФЧХ полосовых заграждающих фильтров
№ сх	Фильтр	Схема фильтра	Передаточная характеристика	АЧХ и ФЧХ фильтров
4	2Т - мост ПФ-ПЗ
5	Мост Вина ПФ-ПЗ
6	Т-мост ПФ-ПЗ
Принято: p=j, P=j/0 ; Ku оу =KU^0, r вх оу, r вых оу 0.

разбаланс моста. При R₃>R/2 на выходе моста формируется сигнал противофазный входному и возможно возникновение положительной обратной связи. При R₃<R/2 преобладает отрицательная обратная связь. Регулируя R₃, можно изменять К_U(w) и добротность всего ПФ. Надо иметь в виду, что при изменении резисторов (и емкостей) моста изменяется его частота резонанса w₀. При значительной положительной ОС в схеме возникают гармонические колебания на частоте близкой к w₀. Усилитель превратится в генератор!!!

На основе 2Т-моста можно построить полосовой заграждающий АФ-ПЗ-фильтр – режектор для частот в окрестности w₀ (табл. 7.3, сх. № 4). Схема фильтра построена на усилителе с К_U ~ 1. 2Т-мост включен последовательно в цепь сигнала и на частоте w₀ имеет нулевой коэффициент передачи сигнала. Коэффициент передачи такого АФ определяется уравнением

Т = К (P²+1) / (P²+(1/Q_P) P+1).

Видно, что добротность корня числителя (нуля) равна бесконечности. Варьируя положение (g) движка резистора R, мы изменяем глубину положительной ОС и таким образом изменяем добротность полюса. Это определяет глубину подавления сигнала на частоте w₀ и узость полосы режекции. Вид АЧХ представлен в табл. 7.3. Реально (в зависимости от настройки) удается ослабить сигнал на частоте w₀ приблизительно на 40 дБ.

Рассмотрим активный ПФ на основе моста Вина (табл.7.3, сх. № 2). В схеме ПФ-ПП усилителя частотно-зависимое плечо моста Вина включено в цепь положительной ОС. Данная цепь является слабо избирательной и имеет коэффициент передачи (табл.7.1, сх.№ 3)

К_1-3 = К_ОС = 1 / (3+jx), или К_ОС= P / (P²+3P+1).

На частоте w₀ = 1/RC цепь положительной ОС имеет максимум К_ОС=1/3 при фазовом сдвиге равном нулю, т.е. на этой частоте мост проявляет себя как чисто омический делитель.

Во избежание генерации усилитель имеет цепь последовательной отрицательной ОС (ООС) – второе плечо моста Вина, коэффициент передачи которой (К_ООС =R₂ / (R₁+R₂)) не зависит от частоты в рабочем диапазоне частот. На частоте настройки w₀ глубина отрицательной ОС выбирается равной глубине положительной ОС, и усиление АФ максимально. При отклонении частоты сигнала, как в область нижних, так и верхних частот, глубина положительной ОС уменьшается, и в схеме преобладает отрицательная ОС, что ведет к уменьшению коэффициента передачи усилителя. Так формируется АЧХ полосового фильтра (табл. 7.3).

Расчет уравнения АЧХ фильтра проводится так же, и с теми же предположениями, что и в предыдущих случаях. Записываются условия на

входе усилителя:

(e_Г – j_п) / Z₂ = (j_п – u_ВЫХ) / Z₁,

j_о = u_ВЫХ R₂ / (R₁ +R₂),

j_п – j_о = u_ВХ = u_ВЫХ / K_U⁰ ,

где Z₁ =R +1/pC, Z₂ = R / (1+pCR).

Решение системы уравнений с подстановкой P=jw/w₀ дает

К_U = u_ВЫХ / e_Г= (K_U⁰/ (1+K_U⁰ K_ООС)) (P²+2P+1) / (P²+(3 – K) P+1),

где K = K_U⁰ K_ООС / (1+K_U⁰ K_ООС).

Как видно, АФ – полосовой усилитель. Он имеет два комплексно-сопряженных корня (полюса) с собственной частотой w₀ = 1/RC и два действительных корня – (нуля). Добротность полюса, а следовательно, и ПФ (Q_P = 1/(3–К)) зависит от величины К, т.е. от глубины ООС. Если К_ООС = 1/3 и К_U⁰ К_ООС > 1, то Q_P = К_U⁰ / 9, К_U(w₀) = 2К_U⁰/3.

Если К  3, то усилитель превращается в генератор колебаний близких к гармоническим на частоте w₀. В таком качестве схема весьма популярна как генератор, частоту колебаний которого легко перестраивать в значительных пределах, изменяя одновременно и в одинаковых пределах величины резисторов R, либо конденсаторов C.

Заграждающий АФ – полосовой фильтр на основе моста Вина можно осуществить по схеме (табл. 7.3, сх. № 5). Сигнал (e_Г – u_ВЫХ) подается одновременно на оба плеча моста – частотно-зависимое и частотно-независимое. Коэффициент передачи частотно-зависимого плеча от точки 2 к точке 3 (K_2-3) имеет неярко выраженный минимум K_2-3 = 2/3 на частоте резонанса w₀ при фазовом сдвиге равном нулю (см. табл. 7.1). Можно подобрать частотно-независимый делитель R₄–R₅ (см. табл. 7.3, сх. № 5) так, что на частоте w₀ на инвертирующий и неинвертирующий входы операционного усилителя будут приходить сигналы равные по амплитуде и по фазе. Результирующий сигнал на выходе усилителя будет существенно ослаблен (К_Uсинф !) и стремится к нулю.

При отклонении частоты от резонанса сигнал на неинвертирующем входе ОУ будет возрастать по сравнению с сигналом на инвертирующем входе. Это вызовет увеличение напряжения на выходе ОУ. Благодаря действию положительной ОС слабо выраженный минимум исходной АЧХ моста Вина превращается в достаточно узкий минимум АЧХ всего АФ.

Математическое описание АФ-ПЗ представлено в табл. 7.3, а способ решения аналогичен ранее примененному. Данный фильтр является фильтром II порядка с бесконечной добротностью нуля. Реальное ослабление сигнала достигает 40 дБ.

Для построения полосовых фильтров очень часто используют Т-мост (табл. 7.1, cх. № 4), при этом удобно выбирать С₁ = С₂. На частоте w₀ = = 1/(R₁R₂C₁C₂)^0.5 мост имеет максимум коэффициента передачи сигнала К_2-3 = u₃/u₂, одновременно К_1-3 = u₃/u₁ на этой частоте имеет минимум. При организации АФ-ПП (табл. 7.3, сх. № 3) Т-мост точками 1, 3 включается в цепь отрицательной обратной связи, в точку 2 включен источник сигнала. В цепи положительной обратной связи используется частотно-независимое звено – делитель R₅–R₆. Варьируя глубину положительной ОС с помощью делителя R₅–R₆ можно изменять коэффициент усиления АФ и его добротность. АФ с Т-мостом является фильтром II порядка. Его АЧХ представлена в табл. 7.3.

Заграждающий полосовой фильтр на основе Т-моста (см. табл. 7.3, сх. № 6) строят по аналогии с ПЗ активным фильтром на основе моста Вина путем подачи сигнала через частотно-зависимое и частотно-независимое плечи на неинвертирующий и инвертирующий входы ОУ. На частоте резонанса w₀ сигналы на обоих входах ОУ идентичны, что и приводит к существенному ослаблению сигнала на выходе усилителя. Ослабление может достигать 40 дБ. Варьируя с помощью делителя R₅–R₆ глубину положительной обратной связи, можно изменять ширину полосы заграждения и степень подавления сигнала. Фильтр является фильтром II порядка, его уравнение приведено в табл. 7.3.