Введение векторных и скалярных потенциалов в случае монохроматических электромагнитных полей.

1. Определение с помощью потенциалов монохроматических полей возбуждаемых сторонними электрическими токами.

Для анализа монохроматических полей необходимо от полученных представлений (3.12), (3.5), (3.14) перейти к соответствующим представлениям для комплексных амплитуд A^e (r,ω), H^e (r,ω), E^e (r,ω). При этом операторы дифференцирования и интегрирования по времени соответственно заменяются на

С учетом этого соотношения (3.13), (3.7), (3.15) приводятся к виду

, (3.16)

Н^e = rot A^e, (3.17)

. (3.18)

Здесь (3.16) – УГ для векторного электрического потенциала.

Соотношения (3.16)-(3.18) сохраняют смысл при переходе к средам с проводимостью, для этого достаточно заменить в них на

, при этом . Отметим также, что связь электрического поля с потенциалами и условие калибровки Лоренца в случае гармонических полей принимают вид

(3.19)

. (3.20)

2. Определение с помощью потенциалов гармонических полей возбуждаемых сторонними магнитными токами.

Аналогично можно рассмотреть УМ со сторонним магнитным током, которые определяют поля E^m , H^m

(3.21)

В случае возбуждения полей магнитным сторонним током определим связь электрического поля с векторным магнитным потенциалом соотношением

. (3.22)

Далее воспользуемся принципом перестановочной двойственности, дополнив его соотношением

,

вытекающим из сопоставления (3.17) и (3.22).

В результате из (3.18) получим, что поле Н^m , создаваемое сторонним магнитным током, определяются через векторный магнитный потенциал А^m как

. (3.23)

а из (3.16), что векторный магнитный потенциал А^m удовлетворяет УГ

. (3.24)

3) Определение с помощью векторных потенциалов электромагнитного поля, возбуждаемого суперпозицией сторонних электрических и магнитных токов.

Полное электромагнитное поле, возбуждаемое суперпозицией электрических и магнитных сторонних токов, определяется суперпозицией полей

. (3.25)

где в соответствии с (3.17), (3.18), (3.22), (3.23)

, (3.26)

, (3.27)

а векторные потенциалы А^e и А^m удовлетворяют уравнениям (3.16) и (3.24).

Таким образом, мы получили выражения для электрических и магнитных полей через векторные потенциалы.

Ещё раз подчеркнем, что анализ и решение уравнений для А^e и А^m существенно упрощаются благодаря тому, что правые части (3.16) и (3.24) – это сторонние токи j^e и j^m. В частности, из уравнений видно, что в декартовой системе координат вектор А^e (А^m), удовлетворяющий неоднородному УГ, параллелен создающему его стороннему току. Действительно, разложим векторы A и j по единичным ортам в декартовой системе координат e_i, i=x,y,z: A = A_xe_x + A_ye_y + A_ze_z, j = j_xe_x + j_ye_y + j_ze_z . Тогда УГ для вектора A в декартовой системе координат распадается на 3 независимых скалярных УГ

A_i+k²A_i =  j_i, i=x,y,z, (3.28)

то - есть x-овая (y-овая, z-овая ) компоненты потенциала определяются соответствующими компонентами стороннего тока. Если мы ищем, например, поле излучения тока, направленного вдоль оси z декартовой системы координат , то j_x=j_y=0 и решения однородных УГ для A_x и A_y мы вправе положить равными нулю. Таким образом, задача анализа поля излучения тока j_z сводится к решению скалярного УГ

A_z+k²A_z =  j_z. (3.29)

Это очень полезное свойство векторных потенциалов будет использовано ниже при анализе излучения элементарных источников (диполей).

Таким образом, после долгих преобразований мы добрались до уравнений, удобных для решения.

Нужно сделать еще несколько замечаний.

Замечание 1.

В УМ (3.1) не были учтены токи проводимости. С введением потенциалов для УМ при учете токов проводимости можно ознакомиться по [1], п.1.9.

Замечание 2. О других калибровках и калибровочной инвариантности

В выборе связи между div А^э и ^э имеется произвол. Обсудим этот вопрос на примере гармонических полей.

Соотношениям (3.17) и (3.18) при калибровке (3.20) удовлетворяет бесконечное множество векторных и скалярных потенциалов. Действительно, введем вместо векторного потенциала А^e потенциал

А'^e= А^e + grad , (3.30)

где  - некоторое скалярное поле. Магнитное поле, как следует из (3.17), при такой замене остается неизменным. Далее аналогично (3.19) можно положить

,

где ^e - новый скалярный потенциал. Для того, чтобы электрическое поле осталось при такой замене неизменным, должна выполняться следующая связь между ^e и ^e

^э = '^э +i_a. (3.31)

Далее аналогично предыдущему получим, что векторный потенциал А'^e удовлетворяет уравнению вида (3.16), если А'^e и ^e удовлетворяют условию калибровки

. (3.32)

Подставляя в (3.32) соотношения (3.31) и (3.30) и учитывая условие (3.20), получим, что скалярный потенциал  должен удовлетворять однородному скалярному УГ

k². (3.33)

Таким образом, используя различные частные решения (3.33), можно построить бесконечное множество векторных и скалярных электрических потенциалов, оставляющих неизменными электрическое и магнитное поля.

Свойство неизменности значений электрического и магнитного полей при введении различных векторных (А^e) и скалярных (^e) потенциалов называется калибровочной инвариантностью.

Помимо условия Лоренца возможно наложение других условий на выбор связи. Например, в теории поля используется так называемая кулоновская калибровка, при которой требуют выполнение условия div А^e = 0.