3 Замечание.

Векторное УГ для потенциала A распадается на три независимых уравнения для

компонент A_i, i=x,y,z, только в декартовой системе координат. В других ортогональных криволинейных системах координат для перехода от векторного УГ к скалярным уравнениям необходимо использовать представление (3.2), при этом в общем случае получают три взаимосвязанных скалярных уравнения. Так, в цилиндрической системе координат (r,φ,z) компоненты А_r и А_φ удовлетворяют системе двух связанных уравнений, а компонента А_z – уравнению (3.29). В сферической системе координат (R, θ, φ) все компоненты А_R, А_θ, А_φ удовлетворяют системе из трех связанных уравнений (см. задачи на стр. 41-43 в [1]).

4 замечание. Вы можете меня спросить, а какому уравнению удовлетворяет скалярный потенциал ^e (^m) и нельзя ли вместо решения уравнения для векторного потенциала А^e (А^m ) решать совместно уравнения для А^e и ^e (А^m и ^m)?

Уравнения для скалярного потенциала легко получить. Покажем на примере ^e . Воспользуемся 3-м УМ (3.1), перейдем к комплексным амплитудам и подставим в (3.1) представление Е^e из (3.19). Получим

divgrad ^e + i_adiv А^e =  ^es_а.

Воспользовавшись условием калибровки (3.20), исключим div А^э . Получим

^e + k²^e =  ^es_а. (3.34)

В (3.34) учтено, что div grad = . Таким образом, скалярный электрический потенциал удовлетворяет неоднородному скалярному УГ.

Можно решить вначале неоднородное уравнение для скалярного потенциала (3.34), затем подставить^e в неоднородное УГ для А^e, которое можно получить для гармонических полей из (3.11). Тогда уравнение (3.11) примет вид (3.16)

,

Решив последнее уравнение, находим по известным ^e и А^e значения полей Е^e и Н^e. Окончательный результат совпадает с вычислением Е^e и Н^e только через векторный потенциал А^e .

5-е замечание касается вихревого и потенциального характера полей.

Как было сказано в начале лекции, в стационарном случае поле Н является чисто вихревым, а поле Е – в статике – чисто потенциальным. Зададим вопрос: что представляет собой переменное электромагнитное поле, удовлетворяющее УМ? Может ли оно быть представлено в виде суммы вихревого и потенциального полей?

Вопрос очень не простой.

Рассмотрим УМ со сторонними электрическими токами и зарядами (3.1). Казалось бы, из вида УМ (3.1) можно сделать следующий вывод: магнитное поле Н – вихревое, т.к. div Н= 0, а электрическое поле E – потенциально, т.к. div E  0. Однако это утверждение по отношению к электрическому полю неверно. Строго представить поля E и Н как суперпозицию вихревого поля Н и потенциального поля E нельзя. Это видно из представлений (3.15), (3.18) электрического поля через векторный А^e и скалярный ^e потенциалы: электрическое поле содержит как вихревую, так и потенциальную составляющую. Таким образом, можно предположить, что поле Н – вихревое, а поле E – суперпозиция вихревого и потенциального полей. Если бы последнее утверждение относительно E было верно, то согласно теореме Гельмгольца отыскание поля E можно было бы свести к решению независимых векторного и скалярного уравнений Пуассона для некоторых потенциалов А и . Однако это не так. А и  удовлетворяют не уравнениям Пуассона, а уравнениям Гельмгольца. Остается предположить, что переменное электромагнитное поле представляет собой более сложный объект, не представимый суперпозицией вихревого и потенциального полей, а «сочетающий признаки вихревого и потенциального полей».

В дальнейшем понимание этого утверждения мы углубим, анализируя структуру электромагнитное поля простейшей антенны – электрического диполя – в различные моменты времени.

6-е замечание. Мы можем определять физическое поле либо через электрическое (E) и магнитное (Н) поля, либо через векторный (А) и скалярный () потенциалы (для определенности все рассуждения ведем относительно полей, создаваемых электрическими зарядами и токами). Что физичнее или фундаментальнее: пара E, Н или А, ? Вопрос нетривиальный и ответ на него многоплановый.

С позиций физического наблюдения существенно, что на макроуровне измеряют поля E и Н. Так что можно утверждать, что на макроуровне физический смысл имеют именно E и Н. С другой стороны, если бы между E и Н, с одной стороны, и А и , с другой, имелось взаимно однозначное соответствие, с таким же основанием мы могли бы говорить об измерении А и . Однако мы знаем, что потенциалы А и  вводятся неоднозначным образом. Неоднозначность введения А и  и независимость от этой неоднозначности полей E и Н часто рассматривают как аргумент в пользу того, что А и  – вспомогательные величины, не имеющие прямого физического смысла.

Тем не менее есть основания утверждать, что на микроуровне векторный потенциал является более фундаментальной величиной, чем E и Н. Этот вопрос обсуждается в курсе Фейнмановских лекций по физике [2], т.6, гл.15. В 1956-м году американские физики Ааронов и Бом предложили поставить эксперимент, указывающий на прямое физическое доказательство фундаментальной роли векторного потенциала.

Экран

Соленоид

Металлическая пластина

Щели

Электрон

Рис.3.1

Известен эксперимент по дифракции электронов на двух щелях, когда на экране наблюдается интерференционная картина. Интерпретацию этого эксперимента в классической теории дать нельзя, его объясняет только квантовая механика. Ааронов и Бом предложили модифицировать этот эксперимент следующим образом: поставить в тени за щелями бесконечный соленоид (рис. 3.1). Известно, что внутри соленоида магнитная индукция В  0, а вне соленоида В = 0. Однако векторный потенциал вне соленоида не равен нулю, т.к. из условия В = rot A = 0 еще не следует А = 0. Если результат интерференции при дифракции электронов на щелях будет зависеть от того, включено магнитное поле в соленоиде или нет, это будет означать влияние векторного потенциала А на дифракцию. Были проведены эксперименты в предложенной постановке и предположение Ааронова и Бома о влиянии векторного потенциала А на дифракцию электронов подтвердилось (см. [2]). Это означает, что поле А действительно реально и, более того, действует на электроны там, где электромагнитное поле равно нулю. Таким образом, на квантовом уровне векторный потенциал является фундаментальной величиной, а не электромагнитное поле.

Литература к лекции 3.

Метод векторных потенциалов изложен по кн.

1. Марков Г.Т., Петров Б.М., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн. М. 1979. (стр. 35-40)

Обсуждение фундаментальной роли векторного потенциала см. в

2. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.. Фейнмановские лекции по физике, т. 6, Электродинамика. -М.: МИР, 1966, (стр. 17-26).

10