ЭУМК_ТАУ1

(t)

K (t )

t

Рис. 2.75. Весовая функции звена запаздывания

h(t)

K

t

Рис. 2.76. Переходная функции звена запаздывания

2.6.3.6. Идеальное и реальное дифференцирующие звенья

А) Идеальное дифференцирующее звено

W ( p) k p

Весовая, или импульсная переходная функция звена:

	w(t) L 1{W ( p)} L 1{k p} k	(t)	, т.е. весовая функция равна производной от -
		t
	функции Дирака.
		1 W ( p)				1
	Переходная функция звена: h(t)	L	{		}	L {k} k (t)
				p
	Графики функций представлены на рисунках:
	w(t)					h(t)
	k (t)					k (t)

-k (t)	t	t

Рис. 2.77. Весовая и переходная функции идеального дифференцирующего звена

61

б) Реальное дифференцирующее звено

	W ( p)		k	p
		1		pT

Заметим, что степень числителя передаточной функции равна степени знаменателя, откуда следует, что для использования формулы разложения нужно выделить целую часть дробнорационального выражения для W(p), поделив полином числителя на полином знаменателя передаточной функции. Но можно найти первоначально переходную функцию и воспользоваться соотношением между переходной и весовой функциями звеньев, взяв производную от переходной функции звена. Таким образом, переходная функция звена:

1

W ( p)

1

k p

1

k

k

t / T

h(t) L {

} L {

} L {

}

e

1(t)

p

p(1 pT )

(1

pT )

T

Весовая, или импульсная переходная функция звена:

w(t)

h(t)

k

e t / T

1(t)

(t) h(0)

k

e t / T

1(t)

(t)

k

.

2

2

t

T

T

T

Графики функций представлены на рисунках:

h(t)

w(t)

k/T

k/T

(t)

T	t	t

-k/T2

Рис. 2.78. Весовая и переходная функции реального дифференцирующего звена

2.6.3.7. Упругие звенья

	W ( p)	k (1	pT2 )
		1	pT1

Отметим, что степень числителя передаточной функции равна степени знаменателя, откуда следует, что для использования формулы разложения нужно выделить целую часть дробнорационального выражения для W(p), поделив полином числителя на полином знаменателя передаточной функции. Поэтому целесообразнее, воспользовавшись формулой разложения, найти переходную функцию звена,

62

Переходная функция звена:

1 W ( p)

1

k (1

pT2

1 B( p)

1

B(0)

B( p)

1

h(t) L {

} L {

} L {

} L {

}

p

p(1

pT1)

pA( p)

A(0) p

A' ( p)

p1

1

p

T1

B( p)

k (1 pT ); A( p) 1 pT ; A' ( p)

A( p)

T ;

p

1

2

2

p

1

1

T1

Таким образом,

t

t

t

k

k(1 T2 / T1)

T1 T2

h(t) (

e

T

) 1(t)

(k k(1 T / T ) e

T

) 1(t)

k(1

e

T

) 1(t)

1

1

1

1

1

2

1

T1

T1

T1

Весовая, или импульсная переходная функция звена:

t

h(t)

1

T1

T2

(T1

T2 )

kT2

w(t)

k (

)

e

T

1(t)

(t) h(0) k

e

t / T

1(t)

(t)

1

1

t

T1

T1

T 2

T1

1

а) Упругое дифференцирующее звено (T2

T1):

Переходная функция

Весовая функция

kT2/T1

h(t)

w(t)

kT2/T1 (t)

k

T1

t	t

k(T1-T2)/T12

Рис. 2.79. Весовая и переходная функции упругого дифференцирующего звена

Б) Упругое интегрирующее звено (T1>T2):
Переходная функция			Весовая функция
	h(t)		w(t)
	T1
k
kT2/T1			kT2/T1 (t)
			k(T1-T2)/T12
		t
	Рис. 2.79. Весовая и переходная функции упругого интегрирующего звенаT1					t
						63

2.6.3.8. Временные характеристики неустойчивого звена

Запишем передаточную функцию неустойчивого звена:

.

Воспользуемся известным соотношением

,

откуда получаем выражение для весовой функции:

Рис. 2.80. Весовая функции неустойчивого звена

Для определения переходной функции проинтегрируем весовую функцию:

Рис. 2.81. Переходная функции неустойчивого звена

Лекция 10

2.6.4. Временные характеристики динамических звеньев. Лекция 10.

Построим временные характеристики линейного динамического звена с запаздыванием с передаточной функцией:

W ( p)	2 (1	p)	e	0.5 p	W ' ( p)e 0.5 p .
	(1 5 p)(1	2 p)

64

Воспользуемся формулой разложения для звена W ( p)

B( p)

, для которого можно

A( p)

B(0)

n

B( pi )

p

t

записать в общем виде: h(t)

(

e

)1(t) ,

i

A(0)

'

( pi )

i 1 pi A

n

B( pi )

p

t

w(t)

(

e

i

)1(t)

(t) h(0) , где n порядок звена,pi.- полюса передаточной

i 1 A' ( pi )

функции (i=1..n).

Для нашего звена: A( p)

10 p 2

7 p 1;

A' ( p)

20 p 7 ;

p

1

;

p

1

.

2

1

5

2

B( p)

2 p

2 ;

p1

B( p1)

A' ( p)

h(t)

1																				1
																			p2
5
																				2
8
																			B( p1)		1
5
																			A' ( p)
3																					3
						8					t							t								t				t
														1							8						2
						5
(2										e	5						e 2 )1(t) (2								e	5			e	2 )1(t) .
														1
(						1/ 5) 3					(				) (	3)					3						3
														2

Построим переходную функцию без учета запаздывания:

Рис. 2.82. Переходная функции динамического звена

65

Переходную функцию с учетом запаздывания легко получить, сдвинув построенную характеристику вправо на величину запаздывания – 0,5.

Построим весовую функцию без учета запаздывания:

8					t					t					t					t
							1					8					5
	5
w'(t) (				e 5					e	2 ) 1(t) 0 (t) (				e	5				e 2 ) 1(t)
3							3			15							15

Весовую функцию с учетом запаздывания легко получить, сдвинув построенную характеристику вправо на величину запаздывания – 0,5.

Рис. 2.83. Весовая функции динамического звена

3. Структурные схемы систем автоматического управления

Структурная схема – это графическое представление систем в виде соединения динамических звеньев.

3.1.Элементы структурных схем

1.Динамическое звено (рис.3.1)

xBX(t)		xВЫХ(t)
	W(p)
Xвх(p)		Xвых(p)

Рис.3.1. Динамическое звено

66

	W ( p)	X вых ( p)	X вых ( p) W ( p) X вх ( p)
		X вх ( p)

2. Линия связи

X(p)

X(p)

Рис.3.2. Линия связи

W ( p) 1

3. Сумматор

Y ( p) X1( p) X 2 ( p)

Рис.3.3. Сумматор

4. Узел ветвления – это точка, из которой сигнал передается на другие участки схемы

Рис.3.4. Узел ветвления

3.2.Соединение динамических звеньев

1.Последовательное соединение – такое, при котором выходы предыдущих звеньев подаются на входы последующих. Соединение может быть представлено структурной схемой (для простоты изобразим соединение из 3-х звеньев):

	W1(p)		W2(p)		W3(p)
X=X1		Y1=X2		Y2=X3		Y=Y=X2 33

Рис.3.5. Последовательное соединение звеньев

Для получения эквивалентной передаточной функции запишем выражение для выходного сигнала соединения:

Y ( p) W3 ( p)X 3 W3 ( p)W2 ( p) X 2 W3 ( p)W2 ( p)W1( p)X1 W3 ( p)W2 ( p)W1( p)X

67

n

Wэкв ( p) Wi ( p) , i 1

Где n число последовательно соединенных динамических звеньев.

Правило: При последовательном соединении передаточные функции перемножаются.

2.Параллельное соединение – такое, при котором на входы динамических звеньев поступает один и тот же входной сигнал, а выходы звеньев суммируются. Соединение может быть представлено структурной схемой (для простоты изобразим соединение из 3-х звеньев):

				Y1
		W1(p)
X				Y2	Y
		W2(p)

Y3

W3(p)

Рис.3.6. Параллельное соединение звеньев

	n		n		n
Y ( p)	Wi ( p) X ( p)	X ( p)	Wi ( p)	Wэкв( p)	Wi ( p)
i	1	i	1	i	1

Правило: При параллельном соединении передаточные функции складываются.

3. Соединение с обратной связью

Xвх(p)	Xo(p)		ПС		Xвых(p)		ПС – прямая связь от входа к выходу по
							направлению передачи сигнала;
			W1(p)
							ОС – обратная связь от выхода ко входу по
							линии передачи (по стрелке).
							Для определения эквивалентной передаточной
			W2(p)
							функции запишем соотношения, связывающие
							сигналы в схеме.
			ОС
Рис.3.7. Соединение с обратной связью
Сумматор: X o			X вх Z
Динамическое звено W1( p) :					X вых W1( p) X o
Динамическое звено W2 ( p) :					Z W2 ( p) X вых

68

Подставляя первое и последнее выражение во второе, получим:

X вых W1( p)(Xвх Z) W1( p)(X вх W2 ( p)Xвых )

Из соотношения следует X вых (1 W1( p)W2 ( p)) W1( p) X вх , откуда

Wэкв( p)		W1( p)	.
		W1( p)W2 ( p)
1

Таким образом, эквивалентная передаточная функция соединения с обратной связью равна дроби, в числителе которой записывается передаточная функция прямой связи, а в знаменателе 1 произведение передаточных функций в контуре обратной связи.

Для приведенной схемы, воспользовавшись правилом, запишем передаточную функцию от сигнала ошибки (или отклонения) системы ко входному сигналу, учитывая, что в прямой цепи лежит линия связи с передаточной функцией 1, в контуре обратной связи оказываются два

	последовательно соединенных звена. Таким образом, Wo ( p)	X o ( p)			1	.
		X вх ( p) 1			W1( p)W2 ( p)

При этом знак «плюс» в знаменателе соответствует отрицательной обратной связи, а «минус» - положительной обратной связи.

Пример построения структурной схемы Построим структурную схему генератора постоянного тока, описываемого системой дифференциальных уравнений:

	1')	eB (t)	RB	iB (t)	B	d ФВ (t)
						dt
	2’)	ФВ	а iB ;
	3’)	еГ (t)	CГ	ФВ (t)

Преобразуя уравнения по Лапласу, получим:

Eв ( p) Rв Iв ( p) wв pФв ( p)

Фв ( p) aIв ( p)

Eг ( p) cФв ( p)

Проходя от входного сигнала ко входному, построим структурную схему:

	EВ		IВ		ФВ		EГ
		1/Rв		a		C
	-

wвp

wВpФВ

Рис.3.8. Структурная схема ГПТ

69

Записывая эквивалентные передаточные функции, получаем:

	WГПТ ( p)	a / Rв				k	, где k a / Rв , T a / Rв	wв .
		1 a / Rв	wв	p	1 pT

3.3.Правила преобразования структурных схем

Предназначены для упрощения сложных многосвязных структурных схем к простым одноконтурным, для которых легко записать передаточные функции, связывающие выходные и входные сигналы системы. Критерием правильности переноса является неизменность входных и выходных сигналов схемы.

1. Перенос динамического звена через узел может производиться По и Против направления

передачи сигнала:

Y

а)

Y

W(p)

Y

W(p)

=

W(p)

X

Y

X

По

X

б)

W

-1

(p)

X

Y

W(p)

=

W(p)

X

Y

X

Против

Рис.3.9. Пример переноса динамического звена через узел

Правило: при переносе динамического звена через узел По/Против направления передачи сигнала в отходящую от узла ветвь следует добавить динамическое звено с Прямой/Обратной передаточной функцией переносимого динамического звена.

2. Перенос динамического звена через сумматор По/Против направления передачи сигнала:

X2

а)

X2

Y

W(p)

W(p)

=

Y

W(p)

X1

Против

X1

X2

X2

б)

X1

Y

W-1(p)

W(p)

=

X1

Y

W(p)

По Рис.3.10. Пример переноса динамического звена через сумматор

70