ЭУМК_ТАУ1

Лекция 11

Правило: при переносе динамического звена через сумматор Против/По направлению передачи сигнала в подходящую к сумматору ветвь следует добавит звено с передаточной функцией Прямой/Обратной передаточной функции переносимого динамического звена

3.	Перенос сумматора через узел:		Y		X2
а)
		Y
		X2
	X1	Y	X1			Y
		По
б)	X1					X1
		X2		X2
	X1	Y		X1
		Против				Y
	Рис.3.11. Пример переноса сумматора через узел

Правило: При переносе сумматора через узел По/Против направления передачи сигнала в подходящую к сумматору ветвь следует добавить сумматор со знаком, Совпадающим/Несовпадающим со знаком переносимого сумматора.

3.4.Пример преобразования структурной схемы. Лекция 11.

Заданы дифференциальные уравнения, описывающие систему:

1. X 0 X вх X вых

2. T1	dX1	X1 k1	dX 0
	dt		dt

3.

T 2

d 2 X 2

2 T

dX 2

X

k

X

2

dt 2

2

dt

2

2

0

4.

X 4

k4 ( X1

X 2

X5

X В )

5.

T3

dX 3

X 3

k3 (

dX1

X1)

dt

dt

6.

dX вых

k6 ( X 3

X 4 )

dt

7.

X5

k5 X вых

Имея в виду, что дифференциальные уравнения описаны таким образом, что в левой их части записываются выходные сигналы элементов схем, а в правой части – входные сигналы, преобразуем дифференциальные уравнения по Лапласу и найдем передаточные функции.

1) –ое уравнение соответствует сумматору;

71

2) (T1 p 1) X1

k1X 0

W1( p)

X1

k1

X 0

T1 p

1

3) (T 2 p2

2 T 1)X

2

k

2

X

0

W ( p)

X 2

k2

2

2

2

X0

T 2 p2

2 T

1

2

2

4) W4

( p)

X 4

X1

X 2

X 5

5) (T3 p 1) X 3

k3 ( p 1) X1

W3

( p)

X 3

k3( p

1)

X1

T3 p

1

6) pX вх

k6 ( X 3

X 4 )

W6 ( p)

X вых

k6

X 3

X 4

p

7) X 5

k5 X вых

W5

( p)

X 5

k5 .

X вых

Построим структурную схему, соответствующую найденным передаточным функциям:

X0

Xв

Xвых

Xвх

X2

W4(p)

X4

W6(p)

W2(p)

-

X1

X5

W5(p)

Xвых

W1(p)

W3(p)

1

X3

Рис.3.12. Исходная структурная схема системы

Для преобразования схемы произведем ряд действий:

А) перенесем звено W1( p) через 1 по направлению передачи сигнала, при этом в отходящую от узла ветвь добавляем звено с передаточной функцией W1( p) ;

	X0					Xв
Xвх				X2
			W2(p)
				X1		-
			W1(p)				X3
			W1(p)			W3(p)

Рис.3.13а. Преобразованная часть структурной схемы

Б) Заменяем параллельно соединенные звенья с передаточными функциями W1( p) и

W2 ( p) эквивалентным звеном с передаточной функцией W1( p) W2 ( p) ;

72

В) Заменяем последовательно соединенные звенья с передаточными функциями W1( p) и
W3 ( p) эквивалентным звеном с передаточной функцией W1( p)					W3( p) ;
В результате этого получим структурную схему в виде:
	X0	Xв	1		Xвых
Xвх
	W1(p)+ W2(p)	W4(p)	X4	W6(p)
			X5	W5(p)
Xвых	W1(p) W3(p)
Рис.3.13б. Преобразованная структурная схема

Г) Перенесем динамическое звено W ( p) через сумматор	1	по направлению передачи сигнала
4
и, следовательно добавим к ветви, подходящей к сумматору звено с обратной передаточной
функций переносимого звена W4 ( p) , т.е. получим схему, представленную ниже:

		X0	Xв	Xвых
	Xвх
			W4(p)	W6(p)
		W1(p)+ W2(p)
			X5	W5(p)
	Xвых	W1(p) W3(p)	1/W4(p)
	Рис.3.13в. Преобразованная структурная схема

Д) Объединяем сумматоры, заменяем последовательно соединенные звенья
W4 ( p) иW6 ( p) эквивалентным звеном с передаточной функцией W4 ( p)					W6 ( p) ; заменяем
последовательно соединенные звенья с передаточными функциями W1( p)					W3( p) и
1	эквивалентным звеном с передаточной функцией		W1( p)W3( p)	;
W4 ( p)			W4 ( p)
При этом получаем структурную схему в виде:
	Xв
Xвх	X0	W4(p) W6(p)	Xвых
	W1(p)+ W2(p)
		X5	W5(p)
Xвых	W1(p) W3(p)/W4(p)
Рис.3.13г. Преобразованная структурная схема

73

W4 ( p)

ж) Заменяем параллельно соединенные звенья с передаточными функциями W1( p) W2 ( p) и

W1( p)W3( p) эквивалентным звеном с передаточной функцией

W4 ( p)

WI ( p) W1( p) W2 ( p) + W1( p)W3( p) ;

з) Заменяем соединение с обратной связью звеньев с передаточными функциями:

	W4 ( p)	W6 ( p) и W5 ( p) эквивалентным звеном с передаточной функцией
	WII ( p)		W4 ( p) W6 ( p)	.
		1 W4 ( p) W6 ( p) W5 ( p)

Таким образом, в результате получаем структурную схему:

		X0(p)		XВ(p)
	Xвх(p)					Xвых(p)
			WI(p)		WII(p)

Рис.3.13д. Преобразованная структурная схема

Приведенная выше структурная схема является типовой схемой системы автоматического управления.

3.5.Передаточные функции разомкнутых и замкнутых САУ

Приведем еще раз типовую структурную схему систем автоматического управления и запишем передаточные функции, связывающие ее входные и выходные сигналы.

		X0(p)		XВ(p)
	XУ(p)					XР(p)
			WI(p)		WII(p)

Рис.3.14. типовая структурная схема системы автоматического регулирования

На схеме: X p - регулируемая величина;

X y - управляющее воздействие;

X o - сигнал ошибки, или отклонения;

X в - возмущающее воздействие.

Представленная типовая система является линейной, для которой выполняется принцип суперпозиции, означающей, что реакция на сумму входных сигналов является суммой реакций на каждое входное воздействие, т.е.

74

X p ( p) X py ( p) X вp ( p) ,

X py ( p) - реакция системы на управляющее воздействие;

X вp ( p) - реакция системы на возмущающее воздействие.

X o ( p) X oy ( p) X oв ( p) , где

Xoy ( p) - ошибка при воздействии на входе управляющего воздействия;

X oв ( p) - ошибка при воздействии на входе возмущающего воздействия.

Передаточная функция разомкнутой системы по управляющему воздействию :

W y ( p)	X p	W ( p) W ( p)
p	X o	I	II

Передаточная функция разомкнутой системы по возмущающему воздействию:

W в ( p)	X p	W ( p) ;
p	Xв	II

Передаточная функция замкнутой системы по управляющему воздействию:

y		X py		WI ( p) WII ( p)		Wpy ( p)
Wз	( p)
		X y	1 WI ( p) WII ( p)		1 W y ( p)
						p

Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию:

в		X вp		WII ( p)		Wpв ( p)
Wз	( p)
		X в	1 WI ( p) WII ( p)		1 W y ( p)
						p

Передаточная функция ошибки по управлению (для замкнутой системы):

W y ( p)	X oy	1			1
o	X y	1 WI ( p)		WII ( p)	1 W y ( p)
						p

Передаточная функция ошибки по возмущению (для замкнутой системы):

W в ( p)	X oв		WII ( p)		WII ( p)
o	X в	1 WI ( p) WII ( p)		1 W y ( p)
					p

Поскольку для выходного сигнала справедливо соотношение X p ( p) X py ( p) X вp ( p) , то

можно записать X	p	( p)	W y ( p)X	y	( p)	W в ( p)X	в	( p) , т.е.
			з			з

75

	X p ( p)	WI ( p) WII ( p)			X y ( p)		WII ( p)		X в ( p) , откуда можно получить
		1 WI ( p) WII ( p)				1 WI ( p) WII ( p)
	выходной сигнал замкнутой системы x p (t) L 1{X p ( p)}.
	Аналогично, для сигнала ошибки:
		y	в	( p) X o ( p)		1			X y ( p)	WII ( p)	X в ( p) и для
	X o ( p) X o ( p)		X o
						1 WI ( p) WII ( p)				1 W y ( p)
										p
	сигнала ошибки: xo (t)			L 1{X o ( p)}.						Лекция 12

4.Устойчивость систем автоматического управления

4.1.Понятие устойчивости систем. Лекция 12.

Устойчивой называется система, которая возвращается в исходное положение после снятия кратковременного воздействия.

Система называется нейтрально устойчивой, если после снятия кратковременного воздействия она занимает новое положение равновесия.

Система неустойчивая, если после снятия кратковременного воздействия она уходит от положения равновесия.

Это можно продемонстрировать на примере механической системы: шарика на поверхностях разного профиля.

Устойчивая система

Нейтральная система

Неустойчивая система

Рис.4.1. Понятие устойчивости механической системы

Устойчивость системы – необходимое условие для качественной работы автоматической системы.

Кратковременным воздействие можно считать -функцию Дирака, реакцией на которую является весовая функция системы . Таким образом, по поведению весовой функции можно судить об устойчивости системы. Продемонстрируем это на примерах поведения весовых функций систем

76

Устойчивая система

Нейтрально устойчивая

Неустойчивая система

Рис.4.2. Понятие устойчивости на примере поведения весовых функций САУ

4.2. Необходимые и достаточные условия устойчивости систем

Рассмотрим необходимые и достаточные условия устойчивости системы, описываемой передаточной функцией: , весовая функция которой имеет вид:

Из формулы разложения для весовой функции видно, что устойчивость зависит от положения корней характеристического полинома A(p), которое, в общем виде, можно представить в виде диаграммы:

Рис.4.3. Возможное расположение полюсов передаточной функции САУ

Представив весовую функцию в виде суммы весовых функций, определяемых корнями различного вида:

Рассмотрим вклад 7-го и 8-го корня в весовую функцию системы, поскольку это расположение является наиболее общим и из него можно получить все остальные составляющие приравниванием нулю тех или других параметров корней:

77

p7,8	j . Следует отметить, что коэффициенты с7,8 являются комплексно
сопряженными, которые в общем виде можно представить в виде:		j . Тогда

1.

2,3.

4. ;

5,6. ;

7,8.

9.

Представим вклад каждой составляющей весовой функции в весовую функцию системы в целом (рис.4.4):

Рис. 4.4а. Устойчивые и нейтральные составляющие весовой функции

Таким образом, 1,2,3 составляющие являются устойчивыми;

4,5,6 – нейтральными.

78

Из рисунка видно, что

для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни её характеристического полинома лежали в левой части комплексной плоскости.

Система является чисто нейтральной, если корни её характеристического полинома лежат на мнимой оси.

Система является нейтрально устойчивой, если корни её характеристического полинома лежат в левой части комплексной плоскости на мнимой оси.

Рис. 4.4б. Неустойчивые составляющие весовой функции

Из рисунка видно, что система неустойчива, если хотя бы один корень характеристического полинома лежит в правой части комплексной плоскости.

4.3. Критерии устойчивости

Критерии позволяют исследовать устойчивость системы по её некоторым характеристикам.

Известны алгебраические и частотные критерии устойчивости.

1)Алгебраические (Гурвица, Рауса, D-разбиения).

2)Частотные (Михайлова, Найквиста, логарифмический

4.3.1. Критерий устойчивости Гурвица.

Позволяет следить за устойчивостью системы по коэффициентам её характеристического полинома.

79

По главной диагонали записываются коэффициенты характеристического полинома,

начиная с . Выше главной диагонали коэффициенты увеличиваются, ниже – уменьшаются.

Коэффициенты с несуществующими индексами записываются как – “0”. Из главного определителя формируются определители меньшего порядка выделением строк и столбцов в левом верхнем углу главного определителя Гурвица, а именно:

Последний определитель можно найти разложением главного определителя Гурвица по последнему столбцу:

Сформулируем критерий устойчивости Гурвица:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы и были одного и того же знака (i=1÷n) (для определённости >0).

Система неустойчива, если хотя бы один определитель Гурвица <0.

Система нейтральна, если последний определитель = 0, что может произойти при двух условиях: при . В первом случае говорят, что система находится на границе апериодической устойчивости, а во втором – колебательной.

Частные случаи (1-й, 2-й и 3-й порядки).

1.n=1

2.n=2

80