Конспект_ИЭЭ_14
.pdf220
(относительная магнитная проницаемость неферромагнитной среды µ ≈ 1, см.
3.11.6).
Энергия неоднородного магнитного поля в области пространства объёмом V
W wdV |
BH |
dV |
||
2 |
||||
V |
V |
|
||
|
|
|||
|
|
|
|
.
В общем случае объёмная плотность энергии электромагнитного поля
здесь
D
|
w |
DE |
|
BH |
, |
|
2 |
2 |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
– электрическое смещение, E |
– напряжённость электрического поля. |
3.11. Магнитное поле в веществе
3.11.1. Макротоки и микротоки. Намагниченность
Макротоки – упорядоченное движение заряженных частиц, при котором частицы перемещаются на расстояния, много большие межмолекулярных.
Микротоки – движение заряженных частиц внутри атомов и молекул.
Магнитное поле в веществе определяется полем макротоков и усреднённым полем микротоков:
B B0 B .
поле макротоков |
поле микротоков |
|
Каждый электрон в атоме (молекуле), двигаясь вокруг ядра, создаёт микроток и собственное магнитное поле; это движение характеризуется микротоком i и маг-
нитным моментом pm
магнитные моменты
ТАБЛ. 27.1).
. В отсутствие внешнего магнитного поля (макротоков) все
атомов ориентированы разнонаправленно и |
B |
|
0 |
(см. |
|
|
|
|
221 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 27.1 |
|
|
|
Процесс намагничивания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B 0 |
|
|
B 0 |
64 |
|||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
0 |
||
p |
0 |
|
|
p |
|||
B 0 |
|
|
|
i |
|||
|
|
B |
|
B 0 |
|||
|
|
|
|
Вещество намагничивается, т. е. приобрета- |
|||
|
|
|
|
ет отличный от нуля магнитный момент. |
Намагниченность – векторная характеристика магнитного поля в веществе, равная дипольному моменту вещества, занимающего единичный объём:
|
m |
|
|
|
J |
|
p |
|
, |
|
V |
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
J |
А |
. |
|
|
м |
|
|||
|
|
|
|
3.11.2. Теорема о циркуляции намагниченности, магнитной индукции и напряжённости магнитного поля
1. Теорема о циркуляции
B
Циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков и микротоков, сцепленных с этим контуром:
|
0 |
|
L |
|
Bdl μ |
I |
|
L |
|
|
|
μ0
i |
L |
|
.
(27.3)
Здесь и далее в этом параграфе I – макроток, i – микроток65.
Вторая сумма в правой части этого равенства не поддаётся прямому вычислению, так как распределение микротоков заранее не известно.
2. Теорема о циркуляции J
Проведём внутри вещества (магнетика) замкнутый контур L (РИС. 27.1А)и подсчитаем сумму микротоков, сцепленных с этим контуром.
64На рисунке в этой колонке показано, что магнитные моменты молекул выстраиваются вдоль поля макротоков. Так происходит, если вещество парамагнитно (см. РАЗДЕЛ 3.11.8). У диамагнетиков (РАЗДЕЛ 3.11.7) магнитные моменты молекул выстраиваются, наоборот, против внешнего поля.
65В «живой» лекции можно обозначать Iмакро, iмикро или другим образом.
|
|
|
222 |
|
|
i |
V |
i |
|
|
|
i |
|
α |
|
|
|
||
|
|
L |
|
|
|
|
|
i |
|
|
L |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
а |
|
б |
Рис. 27.1
Рассмотрим элемент контура L длиной l (РИС. 27.1Б). Центры микротоков, сцепленных с участком l, находятся внутри цилиндра длиной l и площади основания, равной площади S микротоков. Объём этого цилиндра
V S lcosα . |
|
Число микротоков, сцепленных с участком |
l, |
N n V nS |
lcosα |
,
где n – концентрация магнетика – число микротоков (молекул), находящихся в
веществе единичного объёма. Сумма микротоков, сцепленных с участком |
l, |
||
i |
l |
i N inS lcosα npm lcosα npm l J l , |
|
|
|
|
|
pm – магнитный момент молекулы. Просуммируем эти выражения при |
l 0 , |
||
т. е. проинтегрируем по всему контуру L: |
|
Jdl i L
L
(27.4)
– теорема о циркуляции намагниченности: циркуляция вектора намагничен-
ности по произвольному замкнутому контуру равна сумме микротоков, сцепленных с этим контуром.
3. Теорема о циркуляции |
H |
Преобразуем выражение теоремы о циркуляции B (27.3), подставив циркуляцию
J (27.4):
Bdl μ0 I L μ0 |
Jdl |
B μ0 J dl μ0 I L , |
||||
L |
|
L |
|
L |
||
|
B |
|
|
|
||
|
|
J dl I L . |
||||
μ |
||||||
L |
|
0 |
|
|
|
Обозначим
B J H
μ0
– напряжённость магнитного поля – вспомогательная силовая характеристика магнитного поля.
Теорема о циркуляции напряжённости магнитного поля: циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков, сцепленных с этим контуром:
223
|
|
|
|
|
. |
|
Hdl |
|
I |
|
|
|
|
|
|
L |
|
L |
|
|
|
|
|
Напряжённость магнитного поля определяется только макротоками.
(27.5)
3.11.3. Связь магнитной индукции, намагниченности и напряжённости магнитного поля
1) В любом случае
B μ0 H μ0 J . |
|
|
||||
2) Для изотропных магнетиков, неферромагнетиков |
J |
H , J ~ H; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J χH |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ – магнитная восприимчивость вещества. |
|
|
||||
Подставим (27.7) в (27.6): |
|
|
||||
B μ0 H μ0 χH μ0 1 χ H . |
|
|||||
Обозначим |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ 1 χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– относительная магнитная проницаемость вещества.
С учётом определения (27.8) получим
B μ0μH .
(27.6)
(27.7)
(27.8)
(27.9)
Эта формула связи кууме µ = 1.
B
и
H
справедлива только для изотропных магнетиков. В ва-
В отсутствие магнетиков индукция магнитного поля макротоков
B0 μ0 H . |
||
При наличии изотропного магнетика B μ0μH |
||
B |
μ . |
|
B |
||
|
||
0 |
|
. Отсюда следует, что
Магнитная индукция при наличии магнетика отличается от индукции магнитного поля при том же распределении макротоков в µ раз. Возможно µ 1 (см. РАЗДЕЛ
3.11.6).
3) Для ферромагнетиков зависимость B(H) и µ(H) нелинейная (см. 3.11.9).
3.11.4. Условия на границе раздела двух магнетиков
Проанализируем, как изменяется магнитное поле при переходе из одной среды (магнетика) в другую.
Пусть имеются два изотропных магнетика (относительные магнитные проницаемости µ1 и µ2), граничащие друг с другом (РИС. 27.2). В среде с µ1 существует маг-
нитное поле с индукцией B1 и напряжённостью H1 . Макротоки на границе разде-
ла сред отсутствуют. Найдём векторные характеристики поля в среде с µ2 – |
B2 |
и |
H2 (в проекциях на нормаль n и касательную τ к поверхности раздела сред). |
|
|
224
µ1 |
µ1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
µ2 |
µ2 |
4 |
3 |
|
S |
|
|
|
L |
а |
|
|
|
б |
|
Рис. 27.2 |
|
|
1) Bn
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для
BdS 0 .
S
B
Выберем поверхность интегрирования S в виде цилиндра, основания которого параллельны границе раздела сред, а высота мала (РИС. 27.2А). Магнитный поток
S
BdS B |
S |
торц |
|
|
1n |
|
|
||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
бок |
BdS B |
S |
торц |
|||
|
|
2n |
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
B |
B |
|
|
|
|
2n |
|
1n |
|
B |
B |
S |
торц |
2n |
1n |
|
0
;
(27.10)
– нормальная составляющая вектора магнитной индукции не претерпевает скачка на границе раздела магнетиков.
2) Hn
Связь B и H в изотропном магнетике
B
Поэтому, с учётом условия (27.10),
μ0μH
,
μ μ |
H |
1n |
μ μ H |
2n |
0 1 |
|
0 2 |
|
H |
|
μ |
|
|
2n |
1 |
||
|
||||
H |
|
μ |
||
|
|
|||
|
1n |
|
2 |
(27.11)
– нормальная составляющая напряжённости магнитного поля претерпевает скачок на границе раздела магнетиков.
3) Hτ
Воспользуемся теоремой о циркуляции H
Hdl I L .
L
Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна пара сторон которого параллельная границе раздела сред (стороны 1-2 и 3-4 на РИС. 27.2Б), а дру-
гая мала (стороны 2-3 и 4-1). Циркуляция H по контуру L
|
3 |
|
1 |
|
Hdl H1τl12 Hdl H2τl34 |
Hdl H1τ H2τ l12 0, |
|||
L |
2 |
0 |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
225 |
|
|
|
|
|
|
так как макротоки на границе раздела сред отсутствуют и I |
L |
0 |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
2τ |
H |
1τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(27.12)
– тангенциальная составляющая напряжённости магнитного поля не претерпевает скачка на границе раздела магнетиков.
4) Bτ
Из связи
B
и
H
(27.9) и условия (27.12) получим
B |
|
|
B |
|
|
B |
|
μ |
1τ |
2τ |
|
2τ |
2 |
||||
|
|
|
|
|
||||
μ μ |
|
μ μ |
|
B |
|
μ |
||
|
|
1τ |
|
1 |
||||
0 |
1 |
|
0 |
2 |
|
|
(27.13)
– тангенциальная составляющая магнитной индукции претерпевает скачок на границе раздела магнетиков.
226
Лекция 2866
3.11.5. Магнитный момент атома. Спин
i
Рис. 28.1
момент импульса
Электрон, движущийся по орбите вокруг ядра67, представляет собой микроток (РИС. 28.1). Так как заряд электрона отрицательный, сила тока i
|
направлена против скорости |
v , а магнитный мо- |
||||||||
|
мент электрона pm – против момента импульса L . |
|||||||||
|
Модуль магнитного момента электрона |
|||||||||
|
pm iS , |
|
|
|
|
(28.1) |
||||
|
где S = πr2 (r – радиус орбиты) – площадь орбиты; |
|||||||||
|
сила тока |
|
|
|
|
|
|
|||
|
i |
q |
|
e |
|
ev |
, |
(28.2) |
||
|
t |
T |
2πr |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
где T – период обращения электрона по орбите; |
|||||||||
|
L me |
|
vr |
|
L me vr , |
(28.3) |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где me – масса электрона. Подставив (28.2) в (28.1) и сравнив с (28.3), получим
p |
|
ev |
πr |
2 |
|
evr |
p |
|
eL |
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
m |
|
2πr |
|
|
|
2 |
m |
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
p |
|
e |
|
||
m |
|
2m |
|
|
|
|
|
e |
L
.
Гиромагнитное отношение орбитальных моментов
g |
p |
|
e |
m |
|
||
|
|
|
|
|
L |
|
2m |
|
|
|
e |
не зависит от r, v и т. п., а является характерной константой.
(28.4)
Помимо момента импульса и магнитного момента, описывающих орбитальное движение, электрон обладает ещё и собственным моментом импульса и магнитным моментом – спином. Спин – квантовый релятивистский эффект, не объяснимый с точки зрения классической теории.
Гиромагнитное отношение спиновых моментов
gs |
e |
|
; |
(28.5) |
|
me |
|||||
|
|
|
модуль собственного магнитного момента
66Данная лекция представлена в дополнительных материалах настоящего ЭУМК в форме презентации.
67С точки зрения современных – квантовых – представлений данная картина некорректна. Тем не менее сейчас, работая в рамках классической физики, мы представляем электрон как материальную точку, движущуюся по определённой (а именно круговой) траектории. Даже из таких пред-
ставлений мы получим результаты, согласующиеся с экспериментом.
227
p |
|
e |
μ |
24 |
Дж |
, |
|
9,27 10 |
|
||||
m |
|
2m |
Б |
|
Тл |
|
s |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
(28.6)
µБ – магнетон Бора, ħ – постоянная Планка. Модуль собственного момента импульса
L 3 68. (28.7)
s |
2 |
|
3.11.6. Классификация магнетиков
Магнетики
слабомагнитные вещества |
сильномагнитные вещества |
парамагнетики |
диамагнетики |
ферромагнетики |
|
|
Fe, Co, Ni |
Al, Mg, Pt |
H2O, Zn, Cu, Au |
|
|
В отсутствие магнитного поля |
|
Демонстрация: Ориентация парамагнитного и диамагнитного стержня в магнитном поле
3.11.7. Диамагнетизм
Рассмотрим атом (один электрон, обращающийся вокруг ядра), находящийся во
внешнем магнитном поле с индукцией
B
. Магнитный момент
pm
и момент им-
пульса
L
электрона направлены под углом α к вектору магнитной индукции
(РИС. 28.2). Магнитное поле действует на электрон с моментом сил |
M |
(см. 3.8.3), |
вследствие этого изменяется момент импульса электрона. Изменение момента импульса за время dt
dL Mdt ,
так как M = pmB sin α,
dL pmBsinα dt .
68 Формулы (28.5), (28.6), (28.7) – экспериментальные результаты, обоснованные квантовой реля-
тивистской теорией. Обратим внимание на то, что gs pms .
Ls
α
|
i |
|
|
dθ
Рис. 28.2
228
За время dt плоскость, в которой лежат |
pm |
и |
L , т. е. |
плоскость нормали к орбите электрона, повернётся вокруг направления B на угол
dθ |
dL |
|
p Bsinαdt |
|
p B |
dt ; |
|
m |
m |
||||
|
|
|
|
|
||
|
Lsinα |
|
Lsinα |
|
L |
|
угловая скорость этого вращения |
|
|
|
ωL |
dθ |
|
p B |
|
eB |
. |
|
m |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
L |
|
2m |
|
|
|
|
|
|
e |
|
[здесь мы использовали гиромагнитное отношение орбитальных моментов (28.4)].
Вращение направлений магнитного момента и момента импульса электрона в атоме, находящемся в магнитном поле, вокруг направления вектора магнитной индукции называется ларморовой прецессией.
Угловая скорость ларморовой прецессии
ω |
|
eB |
. |
|
|||
L |
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
При ларморовой прецессии атом приобретает добавочный магнитный момент
|
, направленный против |
pm |
янным, то
[ср. вывод формулы (28.4)].
B ; если считать орбиту круговой и её радиус r посто- |
|||||
|
eω r |
2 |
2 |
Br |
2 |
|
|
e |
|
||
L |
|
|
(28.8) |
||
pm |
2 |
4m |
|||
|
|
|
|
e |
|
Получается, что все электроны в атомах вещества, магнитные моменты которых ориентированы беспорядочно, если поместить это вещество в магнитное поле, приобретут дополнительные магнитные моменты, направленные одинаково – против поля. Соответственно вещество намагнитится против внешнего магнитного поля. Этот эффект называется диамагнитным и присущ все веществам без исключения.
Намагниченность
J Znp
m
,
где Z – число электронов в атоме, n – концентрация вещества; с учётом (28.8)
|
|
|
|
J |
Zne2B r2 |
|
Ze2n S |
B , |
|
|
|
|
4m |
4πm |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
где |
r |
2 |
– средний радиуса, а |
S |
– средняя площадь орбиты электрона. |
|||
|
Найдём магнитную восприимчивость диамагнетика. Так как µ ≈ 1, B μ0 H ; для
изотропных слабомагнитных веществ J χH ; |
|
|
|||
J |
Ze2n S |
μ0 H χ |
Ze2μ n S |
|
|
|
0 |
. |
|||
4πme |
4πme |
||||
|
|
|
229
3.11.8. Парамагнетизм
Парамагнетиками являются вещества, для которых магнитные моменты атомов (т. е. суммарные магнитные моменты всех электронов, входящих в атом) в отсутствие внешнего магнитного поля отличны от нуля.
В магнитном поле магнитные моменты атомов ориентируются вдоль вектор намагниченности сонаправлен вектору магнитной индукции и магнетик усиливает внешнее магнитное поле.
B
χ
, поэтому > 0. Пара-
Парамагнитный эффект на несколько порядков сильнее диамагнитного и «перебивает» последний.
Зависимость магнитной восприимчивости парамагнетика от абсолютной температуры
χC T
– закон Кюри-Вейсса (опытный закон); C – константа – характеристика конкретного вещества. Качественное объяснение: с ростом температуры магнитная восприимчивость падает из-за усиления теплового движения молекул. Можно показать, что
χ |
μ np |
2 |
||
|
||||
0 |
m |
|||
|
||||
|
3kT |
.
3.11.9. Ферромагнетизм
1. Свойства ферромагнетиков
1.µ >> 1
2.Нелинейная и неоднозначная зависимость
(РИС. 28.3)
J
H
,
B H
– гистерезис
3.Нелинейная зависимость μ H
4.Остаточное намагничивание: вещество сохраняет намагниченность при отключении внешнего магнитного поля.
5.Зависимость µ(T): при T > TК (точка Кюри) ферромагнетик теряет ферромагнитные свойства и превращается в парамагнетик.
2. Кривые гистерезиса
На РИС. 28.3А показана зависимость проекции намагниченности на какое-либо направление от проекции напряжённости магнитного поля на это направление. На РИС. 28.3Б показана зависимость проекции магнитной индукции внутри ферромагнетика на какое-либо направление от проекции напряжённости магнитного поля на это направление. На РИС. 28.3Б изображён полный цикл (максимальная петля гистерезиса) – зависимость Bz(Hz) в случае, если в ходе процесса намагничивания намагниченность образца достигает насыщения, а также один из бесконечного множества возможных частных циклов – зависимость Bz(Hz) в случае, если насыщение не достигается.
Кривая 0-1 на РИС. 28.3Б – кривая первичного намагничивания – зависимость B(H)
при увеличении напряжённости магнитного поля от нуля в случае, если образец до этого не был намагничен.