Конспект_ИЭЭ_14

110

Таблица 13.1

Явления переноса

Диффузия

Теплопроводность

Вязкость

(внутреннее трение)

выравнивание концен-

выравнивание

скоростей

траций

(плотности) в выравнивание

темпера-

смеси нескольких ветур, обусловленное теп-

упорядоченного

движения

слоёв жидкости или газа, обу-

ществ,

обусловленное ловым движением моле-

словленное тепловым движе-

тепловым

движением кул

нием молекул

молекул

– перенос массы

– перенос энергии

– перенос импульса

z

S

S

S

ρ1

ρ2

T1

T2

z

z

x

(ρ2 > ρ1)

(T2 > T1)

(u2 > u1)

m – масса, переноси-

Q – энергия, переноси-

fx – модуль силы, с которой

мая через площадку S;

мая через площадку S;

один слой площадью S дей-

m~S ,

Q ~ S ,

ствует на другой;

m~

t

,

Q ~

t

,

fx ~ S ,

t – время;

Q ~ gradT

;

fx

~ gradu

;

m~ gradρ

;

m D

ρ

S

t

Q æ

T

S

t

f

η

u

S

z

z

x

z

– закон Фика.

– закон Фурье.

– закон Ньютона.

Знак

«–» означает, что

Знак «–» означает, что по-

перенос

массы

проис-

ток тепла идёт в сторону

ходит

в

сторону

уменьшения

температу-

уменьшения плотности

ры.

(концентрации).

D

–

коэффициент æ – коэффициент теп-

диффузии;

лопроводности;

η – коэффициент вязкости;

2

Вт

η

Па с

.

D мс .

æ м К .

Для идеального газа:

D 1

v λ

æ 1c ρ v λ

η

1

ρ v λ

3

3 V

3

		111
			Таблица 13.1 (продолжение)
	Диффузия	Теплопроводность	Вязкость
			(внутреннее трение)
		Численная оценка

λ

7	м
2 10

;

v

3 м
1 10	с

;

ρ 1

кг м3

;

2	кг
μ 2,8 10	моль

	2				2
D		4	5		м
	3	10	7 10		с

æ	1		5		8,31 103 2 10 7						1
																Па с
					2,8 10			2		η		103		7 10
	3		2								3		2 10 7		5
							Вт
				5 10 2
							м К

Демонстрации: 1) Теплопроводность твёрдых тел 2) Внутреннее трение в газах

112

Лекция 14

2.9.3. Молекулярно-кинетическая теория явлений переноса (на примере внутреннего трения)

Рассмотрим два слоя газа, расстояние меж-

ду которыми равно 2 λ		, движущихся па-
раллельно друг другу со скоростями u1			и u2
u1 ,u2	v (РИС. 14.1).

Благодаря тепловому движению молекулы переходят из одного слоя в другой, соударяются друг с другом и обмениваются им-

пульсами (см. «АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР»), в

т. ч. компонентами импульса, соответствующими упорядоченному движению, поэтому импульсы упорядоченного движения слоёв выравниваются.

Среднее расстояние между точками, в кото-

z

S

z

Рис. 14.1

рых происходят последовательные столкновения молекулы, равно

положим u u z	λ , u	u z	λ	.
1	2

x

λ

. Поэтому

Потери импульса слоя 1 за время t

p
1

N m u
12	0	1

,

где m0 – масса молекулы, N12 – число молекул, перешедших из слоя 1 в слой 2; импульс, приобретённый слоем 1,

p 1

N m u
21	0	2

,

где N21 – число молекул, перешедших из слоя 2 в слой 1. Изменение импульса слоя 1

p		N	m u
1			12	0	1

N m u
21	0	2

.

Найдём N12 и N21:

N		n	S	v	t	N
12		6				21

(ср. 2.2.3), n – концентрация газа,

p1

так как m0n = ρ – плотность газа,

f	x

z 2λ , поэтому

N = const. Изменение импульса слоя 1

	m n			S		v u2 u1 ;
		0
		6
p			1	S		v ρ u2 u1 ;
1
t			6
u u							u	z ,
	2		1				z

fx 16 ρ vλ uz S .

По закону Ньютона

fx

η u S

z

113

,отсюда

η1 ρ vλ

3

.

1. Механика38

1.11. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея

Принцип относительности Галилея: все инерциальные системы отсчёта эквивалентны. Никакими опытами, поставленными внутри ИСО, нельзя определить, движется ли она или покоится.

1.11.1. Преобразования Галилея

y		y′	t′
		t
			K′
	K	O′	x′
O			x

Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′. Система K′ движется относи-

тельно системы K со скоростью v (РИС. 14.2).

Зная координаты и время в системе отсчёта K, найдём координаты и время в системе K′ и наоборот, т. е. найдём связь между x, y, z, t и x′, y′, z′, t′ (ТАБЛ. 14.1).

В классической механике время во всех системах отсчёта течёт одинаково.

Рис. 14.2		Таблица 14.1
	Преобразования Галилея
K′ → K		K → K′
x x vt		x x vt
y y		y y
z z		z z
t t		t t

1.11.2. Следствия из преобразований Галилея

Инвариант преобразований – физическая величина, которая не изменяется при переходе из одной системы отсчёта к другой, т. е. величина, значения которой одинаковы во всех системах отсчёта.

1. Абсолютность одновременности

События, одновременные в одной системе отсчёта, одновременны и в другой:

		t1 t2	.
t1	t2

Это следует из того, что время является инвариантом преобразований Галилея:

38 Материал параграфов 1.11-1.14 выносится на конец I семестра.

114

2. Инвариантность длины отрезка

y

y′

Пусть отрезок

1-2

покоится относи-

t

t′

тельно системы отсчёта K′

(РИС. 14.3).

2

l′

Его длина в этой системе отсчёта равна

1

l′. Выразим l′ через координаты концов

отрезка в системе K′:

.

2

1

2

2

1

2

l

x

x

y y

K′

Свяжем координаты концов стержня в

O′

x′

K

системе отсчёта K′

с координатами в

системе отсчёта K через преобразова-

O

x1

x2

x

ния Галилея:

l x

vt x

2

y

2

Рис. 14.3

2

1

vt

y

2

1

x

x

2

y

2

l

2

1

y

2

1

– длина отрезка в системе отсчёта K. Это означает, что длина отрезка – инвариант преобразований Галилея:

l l inv .

3. Инвариантность интервала времени

Пусть интервал времени между двумя событиями 1 и 2 в системе отсчёта K′

t t 2

t 1

.

Интервал времени между теми же событиями в системе отсчёта K

Так как

t	1	t
		1

и

t2

t 2

t

,

t

t2 t

t . 1

inv

.

4. Классический закон сложения скоростей

Пусть материальная точка движется со скоростью счёта K′. Тогда её скорость в системе отсчёта K

	u u v		.
Доказательство
По определению скорости
ux	dx		dx	.
	dt	, ux	dt

u

относительно системы от-

Выразим ux через координату и время в системе отсчёта K′:

ux	dx vdt		dx
	dt		dt		v ux v .
Аналогично получим
uy	dy , uy dy				uy uy ;
	dt	dt
				.
	uz uz

115

5. Инвариантность ускорения

По определению, ускорение материальной точки в системе отсчёта K′

a dudt ,

в системе отсчёта K

	a	du
		dt

(здесь мы используем те же обозначения, что в ПРЕДЫДУЩЕМ ПОДРАЗДЕЛЕ). Воспользуемся классическим законом сложения скоростей:

				d u v			du	a ;
u	u v , a			dt			dt
		a a inv			.

6. Инвариантность массы и силы

Постулируется, что масса и сила – инварианты преобразований Галилея:

	m m inv			,	F F		inv	.
II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея:
	F			F ma .
			ma

1.12. Специальная теория относительности

1.12.1. 4-пространство

Время относительно, как и пространство. Введём 4-пространство – линейное риманово (неевклидово) пространство координат и времени.

4-радиус-вектор:

	ict
		x
r				,
		y
		z

здесь c – константа, имеющая размерность скорости; i – мнимая единица. Модуль 4-радиуса-вектора

r x2 y2 z2 c2t2 inv

(доказательство см. «ИНВАРИАНТНОСТЬ ИНТЕРВАЛА»).

Мировая точка – точка в 4-пространстве. Мировая линия – кривая в 4-пространстве.

116

ПРИМЕР

Материальная точка покоится в 3-пространстве. Мировая линия – траектория этой материальной точки в 4-пространстве (вернее, двумерная её проекция) – изображена на РИС. 14.4.

x

0

ict

Рис. 14.4

1.12.2. Преобразования Лоренца

II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея, а уравнения Максвелла (см. 3.1.6) – нет. Надо получить другие преобразования, опираясь на свойства симметрии пространства-времени39 (см. 1.1.2).

Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′. Система K′ движется

относительно системы K со скоростью v (РИС. 14.2). В момент совмещения начал координат часы синхронизированы: x = x′ = y = y′ = z = z′, t = t′.

Искомые преобразования должны иметь вид

x f xt g x,

где f и g – функции, которые нужно найти.

При сдвиге координаты в системе отсчёта щие сдвиги в системе K′

,t,v , t,v ,

K на x и времени на t соответствую-

	x f x
	t g x

Это возможно только тогда, когда f и

xt

x,t	t,v f x,t,v ,
x,t	t,v g x,t,v .

g – линейные функции x и t:

a1x a2vt ,

a3 x a4t. v

Коэффициенты a1, a2, a3, a4 безразмерны. Их можно найти с помощью элементарных преобразований. В результате получаются преобразования Лоренца, приведённые в ТАБЛИЦЕ 14.2.

39 Полностью данный вывод приведён в ПРИЛОЖЕНИИ. Делать его на лекции не рекомендуется изза громоздкости элементарных алгебраических преобразований.

K′ → K

x	x vt
			2
	1	v
		c	2

yy

zz

	t	v		x
		c	2
	t
				2
	1		v
			c	2

117

Таблица 14.2

Преобразования Лоренца

K → K′

x		x vt
								2
		1				v
						c		2
	y y
	z z
		t	v				x
t			c	2
							2
		1			v
					c		2

Здесь c = const. Видно, что v < c, т. е. c – предельная скорость. Из опыта известно, что c – скорость света в вакууме.

При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Подчеркнём, что преобразования Лоренца выводятся из свойств симметрии про- странства-времени и не требуют других допущений. Однако, во многих учебниках (например, [1]) преобразования Лоренца выводятся другим способом – через постулаты Эйнштейна.

Постулаты Эйнштейна

1.ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

2.Скорость распространения взаимодействий инвариантна относительно преобразований.

118

Лекция 15

1.12.3. Следствия из преобразований Лоренца

1. Инвариантность интервала
Интервал между событиями 1 и 2											S12:
	S		c		t		t		2	x			x		2	y	y	2	z		z	2
		2		2																			.
		12				2		1				2		1		2	1			2	1

Интервал – инвариант преобразований Лоренца:

S12 inv .

Доказательство

Докажем, что малый интервал – дифференциал интервала dS12 образований Лоренца:

	2	2	2	dx	2	2	dz	2	2	2	2	dx	2	dy	2
	dS12	c dt				dy			, dS12	c dt
	через время и координаты в системе отсчёта K:
Выразим dS12

– инвариант пре-

dz	2	.

	dt	v		dx
		c	2
	dt
					2
			v
	1
			c	2

, dx

	dx vdt
			2
		v
	1
		c	2

,

dy dy

,

dz dz

;

		2 2				v2					2							2		2	2
			c dt						dx			2vdxdt dx							v dt			2vdxdt				dy2 dz2
	dS 2					c2
12													1	v2
														c2
					2
	c2 v2 dt2						v			1		dx2
							2
					c										2				2	2 2				2			2		2	2
													dy			dz				c dt			dx		dy			dz		dS12	,
			1		v2
					c2

ч. т. д.

2. Сокращение длины движущегося отрезка (лоренцево сокращение)

y	t	y′	t′

l0

1 2

	K′
	O′		x′
	K
O	x1	x2	x
	Рис. 15.1

Пусть отрезок 1-2 покоится относительно системы отсчёта K′; для простоты расположим его вдоль оси x′ (РИС. 15.1). Длина отрезка в системе отсчёта, в которой он покоится, – соб-

ственная длина отрезка l0 l .

Выразим длину отрезка в системах отсчёта K′ и K через координаты его концов:

l x x ,

0 2 1

l x2 x1.

Выразим l0 через координаты и время в системе отсчёта K:

119

l		x	2	vt				x	1	vt
0					v	2					v	2
		1						1
					c	2					c	2

	x	2	x		1
				v		2
	1
				c	2

	l
			2
		v
	1
		c	2

,

время t в обоих слагаемых этой формулы одно и то же, так как измерение координат x1 и x2 проводится одновременно. Получается, что

		v	2
l l	1
			2
0		c

,

l < l0 – длина движущегося отрезка меньше длины покоящегося.

3. Замедление хода движущихся часов

y

y′

Имеются часы с пружинным (или дру-

t

t′

гим) маятником, точка подвеса которо-

го покоится относительно системы от-

счёта K′ (РИС. 15.2). Период колебаний

маятника в системе отсчёта, относи-

тельно которой точка подвеса маятни-

ка покоится

период соб-

K′

( x1 x2 ), –

ственных колебаний

K

O′

x′

T0

T

,

x

T t

t [события 1 и 2 – два последо-

O

2

1

вательных

прохождения

маятником

Рис. 15.2

положения

равновесия

(или любой

другой фазы колебаний)]. В системе отсчёта K события 1 и 2 происходят в точках с разными координатами x1 и x2, период колебаний маятника

T

t2

t1

.

Выразим эту величину через координаты и время в системе отсчёта K′:

t

v

x

t

v

x

t

t

T

2

c

2

2

1

c

2

1

2

1

,

1

v2

1

v2

1

v2

c2

c2

c2

T

T0

1

v2

c2

T > T0 – ход движущихся часов замедляется.

4. Относительность одновременности

Если события 1 и 2 в системе отсчёта K′ происходят в одно и то же время (t

t ),

2

1

но в разных местах (

x 2

x 1

), то t2 ≠ t1 – эти события не одновременны в системе

отсчёта K. Это следует из преобразований Лоренца.

При t	t	и x	x	возможно t2 < t1. Однако, если между событиями 1 и 2 имеется
2	1	2	1

причинно-следственная связь, то она не нарушается и t2 > t1.