Конспект_ИЭЭ_14

140

II семестр

Лекция 18

3. Электродинамика

3.1. Электромагнитное поле

3.1.1. Поле

Поле – любая изменяющаяся в пространстве физическая величина.

	Поле
скалярное	векторное
температурное поле T(x, y, z)	гравитационное поле
изображается изолиниями	изображается силовыми линиями

Силовые линии изображают так, чтобы их густота была пропорциональна модулю векторного поля.

3.1.2. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда

Электрический заряд – квантовое число, характеризующее частицу как источник электромагнитного взаимодействия (см. 0.3 и 7.4.2).

В классической физике электрический заряд – скалярная алгебраическая величина – характеристика электрически заряженного тела, т. е. тела, на которое действует электромагнитное поле (см. 3.1.3);

[q] = Кл (кулон).

Также электрическим зарядом часто называют саму заряженную частицу (тело).

Элементарный заряд – минимальный (по модулю) электрический заряд частиц, наблюдаемых в свободном состоянии43;

e = 1,60·10–19 Кл.

Электрически изолированная система – система тел, для которой сумма элек-

трических зарядов частиц, появившихся в этой системе, равна нулю.

Закон сохранения электрического заряда: суммарный электрический заряд любой электрически изолированной системы не изменяется в любых процессах, происходящих в этой системе:

qi

const

.

Линейная плотность электрического заряда – заряд, приходящийся на еди-

ничный участок протяжённого заряженного тела:

43 Кварки, электрический заряд которых по модулю равен	1e	и	2e	(см. 7.5.1), в свободном со-
	3		3

стоянии не наблюдаются.

141

	τ	dq
		dl

;

	τ	Кл
		м

.

Поверхностная плотность электрического заряда – заряд, приходящийся на единичный участок поверхности заряженного тела:

	σ	dq	; σ	Кл
		dS		2 .
				м

Объёмная плотность электрического заряда – заряд, приходящийся на уча-

сток заряженного тела единичного объёма:

	ρ	dq
		dV

;

ρ

Кл м3

.

Электрический заряд тела выражается через плотности заряда следующим образом:

q τdl σdS
l	S

ρdV V

,

здесь l, S, V – соответственно длина, площадь поверхности и объём заряженного тела.

Электрический ток – упорядоченное движение электрически заряженных частиц.

3.1.3. Электромагнитное поле

Электромагнитное поле – физический объект – действует на электрически заряженные частицы.

Для того чтобы охарактеризовать электромагнитное поле в какой-либо точке пространства, мысленно вносим в эту точку пробный заряд.

Пробный заряд – материальная точка, имеющая положительный электрический заряд, настолько малый, чтобы не искажать электромагнитное поле, т. е. не изменять расположение заряженных тел, создающих это поле.

На частицу с зарядом q0 (пробным зарядом), движущуюся со скоростью	v , элек-
тромагнитное поле действует с силой
F F1 q0 , поле F2 q0 ,v, поле .

Здесь F1 – составляющая силы, которая не зависит от скорости пробного заряда, а F2 зависит в т. ч. от скорости пробного заряда.

Попробуем ввести характеристики, которые определяли бы поле и не зависели бы от свойств заряженного тела, помещённого в это поле. Для этого рассмотрим две

ситуации, в одной из которых

F2

0

, в другой

F	0
1

(ТАБЛ. 18.1).

142

F2 0

Все заряды неподвижны:

F 0	, F F	q	, поле .
2	1	0

Рассмотрим отношение F1 q0 . Оно опре-

деляется только величиной поля и является одной из характеристик поля:

	E	F
		1
		q
		0

– напряжённость электрического поля (электрическая компонента электромагнитного поля).

Демонстрации: 1) Султаны

2) Силовые линии электрического поля44

Сила, с которой электромагнитное поле действует на неподвижный пробный заряд

F1 q0 E .

Таблица 18.1

F1 0

Создадим такие условия, при которых поле действует только на движущийся заряд:

F1 0	, F F2 q0 ,v, поле .

Из опыта:
1) F2	~ q0;
2) F2	~ v;
3) F2 зависит от направления		v	и изме-
няется от 0 до Fmax;
4) F2	~ полю.

Отношение максимальной силы, с которой поле действует на пробный заряд, к величине этого заряда и модулю его скорости – характеристика только поля:

		B	F
			2max	,
			q v
			0
B	– индукция магнитного поля (маг-

нитная компонента электромагнитного поля).

Направление B совпадает с ориентацией магнитной стрелки, помещённой в данную точку пространства:

S N

Демонстрации: 1) Опыт Эрстеда

2) Силовые линии магнитного поля

Обратная задача: найти F2 .

Зная B , можно найти силу, с которой электромагнитное поле действует на движущийся пробный заряд. Оказыва-

ется, что F2 v , F2 B .

44 Демонстрации «Силовые линии электрического поля» и «Силовые линии магнитного поля» рекомендуется показывать последовательно одну за другой.

143

q0 +

q0 + α

F2 ~ sinα

F2 q0 vB

Общий случай:
		F q	,v q E q		vB
		0	0	0
– формула Лоренца, F	– сила Лоренца ( F1 0			и		F2 0).

3.1.4. Силовые характеристики электромагнитного поля

,

Для того чтобы охарактеризовать электромагнитное поле как единый объект, нужно ввести два вектора – E и B .

Основные силовые характеристики электромагнитного поля

Напряжённость электрического поля	Индукция магнитного поля
	,

144

Вспомогательные силовые характеристики электромагнитного поля

Электрическое смещение

Напряжённость магнитного поля

(в вакууме)

(в вакууме)

– электрическая постоянная – магнитная постоянная

Электрическая и магнитная постоянные не имеют физического смысла, они – константы СИ. Физический смысл имеет величина

1
ε μ
0	0

c2

, c	1			3,00 108 м
	ε0μ0			с

– скорость электромагнитных волн в вакууме.

Вспомогательные силовые характеристики нужны для описания электромагнитного поля в веществе (см. 3.3.3 и 3.11.2).

3.1.5. Принцип суперпозиции полей

Этот принцип следует из опыта.

Принцип суперпозиции полей:

напряжённость электрического

индукция магнитного поля

поля

, создавае-

мого системой

заряженных частиц

движущихся заряженных частиц

токов

,

равна сумме

напряжённостей

индукций

полей, создаваемых каждым из этих

зарядов

токов

в отдельности.

зарядов

Для дискретного распределения

токов

E Ei ,

B Bi .

Для непрерывного распределения

зарядов

токов

E dE ,

B dB.

Рис. 18.1

145

3.1.6. Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла постулируются. Они – обобщение опытных фактов – законов электродинамики. Мы рассмотрим каждый из этих законов в дальнейшем.

L

II.
	L
III.
	S
IV.
	S

Уравнения Максвелла в интегральной форме45

Edl	B	dS
	t
S
		D
Hdl j		t	dS
S
DdS ρdV
V
BdS 0

Здесь

	j	dI
		dS

n

	ρ –		объёмная плотность заряда;
		dq	n – плотность тока (см. РИС. 18.1).
		dtdS

I

Имеются в виду свободные заряды – заряды, нарушающие электронейтральность вещества, и макротоки – упорядоченное движение заряжен-

ных частиц на расстояния, много большие межмолекулярных расстояний.

Вуравнениях I, II L – произвольная замкнутая кривая, S – произвольная поверхность, ограниченная этой кривой.

Вуравнениях III, IV S – произвольная замкнутая поверхность, V – объём, ограниченный этой поверхностью.

3.1.7. Материальные уравнения

Материальные уравнения – уравнения, связывающие основные и вспомога-

тельные характеристики электромагнитного поля: E и D , B и H . Их вид зависит от природы вещества, в котором существует электромагнитное поле.

Вещество состоит из молекул, в которых заряженные частицы (связанные заряды) движутся друг относительно друга (микротоки) и создают собственное электромагнитное поле, которое накладывается на поле свободных зарядов и макротоков.

Для изотропных диэлектриков, несегнетоэлектриков46

D ε0εE ,

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость вещества. В вакууме ε = 1.

Для изотропных магнетиков, неферромагнетиков

	H	B
		μ μ
		0

,

где µ – относительная магнитная проницаемость вещества. В вакууме µ = 1.

45Более подробно об уравнениях Максвелла – в ПАРАГРАФЕ 3.12. Элементы векторного анализа, использующиеся в уравнениях Максвелла, рассмотрим в течение семестра.

46Сведения о сегнетоэлектриках см., например, в книге [4].

146

3.2. Постоянное электрическое поле в вакууме

3.2.1. Электростатическое поле в вакууме

	В этом случае			B 0	,	E	0
						t
	Уравнения Максвелла:
	I.	Edl 0
		L
			Q
	III.	EdS		ρdV QS
			S
		S	ε	S
			0

	E	F
		1
		q
		0

.

147

Лекция 19

3.2.2. Закон Кулона. Расчёт напряжённости электрического поля методом суперпозиции

Закон Кулона: сила взаимодействия двух точечных зарядов

F12		q q		r12
		1	2
		4πε		r	3
			0	12

(см. РИС. 19.1; на этом рисунке заряды q1 и q2 одного знака).

q1
	q2				q

Рис. 19.1

Рис. 19.2

Напряжённость электрического поля точечного заряда

	E	q	r
		4πε	r	3
		0

.

Силовые линии электрического поля точечного заряда представлены на РИС. 19.2.

Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды (или заряды другой формы, поле которых легко рассчитать) и затем просуммировать (проинтегрировать) напряжённости полей этих зарядов.

ПРИМЕРЫ

1) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого кольца

По тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0 (РИС. 19.3). Найти E z (z – ось кольца).

Находим напряжённость электрического поля в точке A на оси кольца (OA = z). Разобьём кольцо на точечные заряды dq (на РИС. 19.3 показаны два малых заряда dq и dq′, равные по модулю и расположенные диаметрально противоположно). По принципу суперпозиции полей

	E		dE ,
dE	– напряжённость электрического поля малого заряда dq.

Векторы напряжённости электрического поля каждого из этих зарядов одинаковы по модулю (если одинаковы по модулю все заряды dq) и направлены так, что концы этих векторов образуют конус с вершиной в точке A (на РИС. 19.3 штриховой линией показано основание этого конуса). Про-

z

A

θ

Q dq′

R

O

dq

Рис. 19.3

148

екции этих векторов на плоскость кольца компенсируются, поэтому суммарный вектор E направлен вдоль оси z:

E Ez (при z > 0).

Вычислим Ez. Напряжённость поля точечного заряда

dE

dE

dq
4πε r	2
0

		dq
		4πε
		0

, dE	z

	r		;
	r	3

dq
4πε r	2
0

cosθ

,

угол θ показан на РИС. 19.3. Величины r и θ одинаковы для всех элементов dq:

		r		R	z				,
				2				2
cosθ			z					z			.
			r		R				z
							2				2
Подставим эти формулы в выражение для dEz:
dE				dq z								.
	z		0
						2	z			2	3 2
		4πε			R

В этом выражении все величины – постоянные, кроме dq. Проинтегрируем по q:

	Q		dq	z						Qz
Ez																.
	0														2
								0
				2	z	2	3 2				2	z	2	3
	0 4πε		R					4πε		R

Предельные случаи

а) z = 0 E = 0.

б) z → ∞ E = 0.

	в) z >> R E			Qz
		z		4πε z	3
				0

		Q
		4πε z	2
		0

– поле точечного заряда.

2) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого прямого стержня

Тонкий стержень длиной AB = l имеет заряд Q > 0, равномерно распределённый по длине стержня. Найти напряжённость электрического поля в точке, находящейся на перпендикуляре к стержню, проходящем через его середину, на расстоянии b (точка C на РИС. 19.4).

Разобьём стержень на малые отрезки, имеющие малый заряд dq. Напряжённость поля точечного заряда

dE 4dqπε0

по принципу суперпозиции полей

E dE

r r3 ,

.

149

A

O ·		α	α0
			x
dq	dα		dα
dy
		rdα

B	Рис. 19.4

Суммарный вектор напряжённости электрического поля будет направлен перпендикулярно стержню, так как вследствие симметрии распределения заряда

проекции

dE

на направление стержня компенсируют друг друга. Поэтому

			E Ex .
	Найдём Ex:
	dE		dE cosα	dq cosα	,
		x		4πε r2
			0

угол α показан на РИС. 19.4. Это выражение нельзя интегрировать, так как в нём присутствуют три зависящих друг от друга переменные: q, r, α. Свяжем их друг с другом; для интегрирования будет удобнее всё выразить через α.

Расстояние от элемента dq до точки C

r cosb α .

Выразим заряд dq. Этот заряд занимает участок стержня длиной dy;

dq

τdy

,

τ – линейная плотность заряда стержня. Так как стержень заряжен равномерно,

τ Ql .

Выразим длину элементарного отрезка dy через угол dα, под которым этот отрезок виден из точки C:

dy	rdα		bdα	.
	cosα
			cos2 α