lektsii_sopromat_1-5

J x1 bh3 /12 .

Изменение моментов инерции сечений при параллельном переносе осей

Пусть статические моменты и моменты инерции сечения относительно системы координат O1 x1 y известны. Вычислим моменты инерции относительно

системы координат O2 x2 y2 , оси которой параллельны исходной системе координат и смещены на величину a относительно сои O1 y1 и на величину b относительно оси O1 x1 .

J x2 y22 dF ( y1 b)2 dF ( y12 dF 2 y1b b2 )dF J x1 bS x1 b2 F

F	F
J y 2 x22 dF (x1 a)2 dF (x12 dF 2x1b a2 )dF J y1 aS y1 a2 F
F	F
J xy 2 x22 y 2 dF (x1 a)2 dF J xy1 aS x1 bS y1 abF
F	F
Пусть исходная система O1 x1 y совпадает с центром тяжести сечения. То-
гда Sx1 0 и S y1	0 . В том случае
	J x2 J x1 b2 F

J y 2 J y1 a2 F J xy 2 J xy1 abF

Из этих выражений видно, что моменты инерции сечения минимальны относительно центральных осей и увеличиваются относительно осей параллельных центральным.

Пример 3. Для прямоугольника момент инерции сечения относительно центральной оси равен

Вычислим момент инерции сечения относительно оси x2 .

Пример 4. Вычислить центральные моменты инерции сечения

Ось Оу является осью симметрии, поэтому она является центральной и главной; центр тяжести сечения лежит на оси симметрии.

Для вычисления центра тяжести выберем начальную систему координат O1 xнач yнач : вертикальная ось ее совпадает с осью симметрии сечения, а горизон-

тальную ость совместим с центральной осью швеллера.

Вычислим расстояние до центра сечения от выбранной начальной системы координат

2

Fk yck

14.2 (5 1.65) 15.7 0

y

k 1

3.16 см

c

2

14.2 15.7

Fk

k 1

Вычислим расстояния от найденной центральной оси yc до центров тяже-

сти двутавра b1

и швеллера b2

b

10

1.65 3.16 3.5

см,

b

y

.

c

1

2

2

Вычислим моменты инерции сечения относительно центральных осей

J

xc

(J (дв) b2

F

) (J (шв )

b2

F

) (244 3.52 14.2) (45.1 3.162 15.7) 619.7

x1

1

дв

x2

2

шв

J yc (J y(дв) J y(шв )

35.3 489 524.3

Главные оси и главные моменты инерции сечения

Пусть момент инерции сечения относительно системы координат Ox y известны. Вычислим момент инерции сечения относительно системы координат Ouv , оси которой повернуты относительно исходной на угол α.

Перепишем последние выражения в виде

u	cos( )	sin( ) x
		.
v	sin( )	cos( ) y

Вычислим моменты инерции сечения в системе координат Ouv .

Ju v2 dF J x cos 2 ( ) J y sin 2 ( ) J xy sin(2 )

F

J v u 2 dF J x sin 2 ( ) J y cos 2 ( ) J xy sin(2 )

F
J uv u v dF J xy cos(2 )	J x	J y	sin(2 )
		2
F

(4.1)

(4.2)

При некотором значении угла α0 центробежный момент инерции будет равен нулю. Это имеет место при

	tg (	0 )	2 J xy		,	(4.3)
			J y	J x

что следует из выражения (4.2).

При этом один из осевых моментом инерции принимает максимальное, другой – минимальное значение.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными. Если эти оси являются к тому же центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции сечения относительно главных осей называются главными моментами инерции сечения, которые, что следует из (4.1) и (4.3), определяются по формулам

J J

J

J

2

max

x

y

y

x

2

J min

J xy .

2

2

Замечание. Для сечений, не имеющих осей симметрии, изгиб происходит относительно главных осей, даже если направление нагрузки не совпадает с направление главных осей.

Пример 5. Вычислить центр тяжести сечения и главные центральные моменты инерции сечения.

Вычислим положение центра тяжести, для чего разобьем сечение на три части как показано на рисунке, при этом F1 = 10, F2 = 7, F3 = 5 (см2). За начальную систему координат примем оси, совпадающие с центральными осями перво-

го элемента. В этом случае расстояния до центральных осей элементов равны

(см)

х1= 0, х2 = 4, х3 = -3, y1 = 0, у2 = -4.5, у3 = 4.5.

Вычисляем положение центра тяжести сечения (см)

		3					3
			Fk xk					Fk	yk
x			k 1	0.59	, y			k 1		4.41 .
	c					c
		3					3
			Fk					Fk
			k 1					k 1

Вычислим расстояния (cм) от центральных осей сечения до центральных осей элементов сечения

a1 = -0.59, a2 = 3.41, a3 = -3.59, b1 = 0.41, b2 = -4.09, b3 = 4.91.

Осевые моменты инерции каждого элемента относительно собственных центральных осей вычисляются по формулам

J x(k )	s	h3	, J y(k )	s3	h
		k k		k	k	,	J x(ky)	0 , к = 1,2,3
		12		12
k			k				k	k

где sk– размер k - го элемента по горизонтали, hk – размер k - го элемента по вертикали

J x 83.3 , J x	0.58 ,	J x 0.416 ,	J y 0.83, J y	28.6 ,	J y	10.4 .
1	2	3	1	2		3

Вычислим осевые и центробежный моменты инерции сечения.

3							3
(k )			2	Fk ) 322 ,		J yc	(k )	2	Fk ) 189.1
J xc (J xk		bk					(J yk	ak
k 1							k 1
				3
	J xyc			(k )	ak	bk	Fk ) 186
			(J xyk
				k 1

Вычислим положение главных осей сечения

tg (	0 )	2 J xy		c		2.8 ,	0	35.25 – градусов.
		(J y	J x		)
			c		c

Вычислим главные моменты инерции сечения (см4)

J x J y

J x

J y

2

max J

J xyc 449 ,

J u

c

c

c

c

2

2

2

J x J y

J x

J y

2

min J

J xyc 55

J v

c

c

c

c

2

2

2

Вопросы к лекции

1.Статические моменты сечения.

2.Центр тяжести сечения

3.Моменты инерции сечения.

4.Изменение моментов инерции сечений при параллельном переносе осей.

5.Главные оси и главные моменты инерции сечения.

Лекция 5

Растяжение и сжатие стержней

Растяжением (сжатием) называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникает лишь один внутренний силовой фактор — продольная сила Nz.

Продольная сила (в произвольном сечении) с одной стороны равна сумме внешних сил, действующих слева или справа от рассматриваемого сечения.

	отс	отс
Nz |	прz Pk | |	прz Pj | ,
	k Kп р а в	j J лев

где Kправ и J лев означают множество внешних сил, расположенных справа или

слева от рассматриваемого сечения соответственно; С другой стороны, продольная сила определяется как сумма проекций

всех внутренних сил, действующих в сечении

N z dF

F

где σ – неизвестное пока распределение внутренних напряжений в сечении. Это соотношение является уравнением равновесия статики, связывающим продольную силу Nz, и нормальное напряжение σ, которое в общем случае является функцией координат х и у и поэтому не может быть найдено из одного лишь уравнения статики.

Правило знаков для продольной силы: продольная сила считается положительной Nz > 0, если вызывает растяжение элемента

и отрицательна Nz < 0, если вызывает сжатие .

Напряжением (которое обозначается как σ) называется величина

lim N z

F 0 F

продольной силы, приходящейся на единицу площади.

Для оценки напряженного состояния и расчета на прочность и жесткость определим модели материала, нагружения и разрушения при растяжении прямолинейных стержней.

Основные гипотезы

1. Гипотеза Сен-Венана: особенности приложения внешних сил проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих размеры поперечного сечения стержня.

Это означает, что достаточно принимать во внимание только равнодействующую внутренних сил, не интересуясь особенностями приложения нагрузки, исключая часть стержня, расположенную в зоне приложения нагрузки. Значит, в стержне имеет место однородное напряженное состояние по длине стержня. То есть принимается модель материала в виде однородного поля.

2. Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Поперечные сечения стержня плоские и нормальные к оси стержня до деформации остаются плоскими и нормальными к оси стержня и после деформации.

Представим себе, что на боковую поверхность стержня нанесена система продольных и поперечных рисок.

Эта система рисок остается таковой и после приложения растягивающей нагрузки. То есть деформация растяжения стержня сводится к одноосному растяжению его продольных волокон. Ортогональность продольных и поперечных рисок свидетельствует также об отсутствии сдвигов, а, следовательно, и связанных с ними касательных напряжений, то есть в поперечных сечениях стержня имеют место только нормальные напряжения. Из гипотезы Бернулли (так как все волокна одинаково удлиняются) следует равномерность распределения напряжений по сечению, то есть const . Тогда

N z dF dF F .

F F

Отсюда

N z

F

Принято считать, что знак напряжений совпадает со знаком продольной

силы.

3. Физическая гипотеза (закон Гука). При небольших деформациях материл стержня (сталь, чугун и другие) считается идеально упругим, то есть напряжения прямо пропорциональны деформациям

E .

Величина Е называется модулем упругости первого рода (или модулем упругости Юнга).

Закон Гука можно записать и в виде E .

Ниже приведены значения модуля Юнга для некоторых конструкционных материалов

					Сосна
Материал	Алмаз	Сталь	Чугун	Алюминий	(вдоль воКаучук
					локон)

Модуль	12 105	2 105	1,2 105	0,7 105	0,1 105	7 10
Юнга, МПа

Во многих случаях возникает необходимость учитывать деформации, связанные с температурным воздействием. Используя принцип независимости действия сил, закон Гука принимает вид

	E T ,
где α – температурный коэффициент расширения материала,		Т – разность тем-
ператур.
Температурный коэффициент расширения для стали равен ст		12,5 10 6 1/град;
для меди медь	25 10 6 1/град.

Деформации и перемещения

Определим упругие деформации стержня.

Изменение длины при растяжении l, называется абсолютной продольной деформацией или удлинением. По аналогии с продольной деформацией изменение размеров поперечного сечения называется абсолютной поперечной деформацией.

Величина называется относительной продольной деформацией,

а величина – относительной поперечной деформацией. Относительные продольная и поперечная деформации имеют противоположные знаки.

Величина		'	называется коэффициентом Пуассона. Доказано, что коэффи-

циент Пуассона изменяется в пределах 0 12 .

Коэффициент Пуассона и модуль Юнга являются основными прочностными характеристиками изотропного материала.

Используя формулы l l , E , NFz , получим формулу для вычис-

ления абсолютного удлинения стержня

l NE zFl .

Произведение EF принято называть жесткостью поперечного сечения Эта формула применима только в случае, когда на длине стержня жест-

кость поперечного сечения и продольная сила не изменяются (EF=const,

Nz =const). Если стержень имеет ступенчатое изменение жесткости или продольной силы, то удлинение стержня определяется как сумма удлинений n отрезков

стержня длиной l (k ) , в пределах которых (EF)(к)			и N z(k ) постоянны
n	(k )		(k )
l	N z	l		.
	(EF )		(k )
k 1
Эту же задачу можно решить, используя принцип независимости действия
сил
l l (ст) (P ) l (ст) (P ) l (ст) (P ) ,
1	2			n

где l (ст) (Pk ) – удлинение всего стержня от действия одной силы.

Если Nz и EF меняются по длине стержня l непрерывно, то удлинение стержня вычисляется по

Перемещение сечения вычисляется относительно какого-либо начала отсчета. Если один конец стержня закреплен, то перемещение другого конца численно равно полному удлинению стержня. Перемещение промежуточного сечения стержня численно равно абсолютному удлинению той части стержня, которая находится между сечением и закрепленным концом стержня. Взаимное перемещение двух сечений численно равно абсолютному удлинению части стержня, заключенной между этими сечениями.

Пример. Спроектировать стержень с одинаковым по длине напряжением σ0.

На расстоянии z от верхнего конца стержня вес его равен

z

G(z) V (z) F (t)dt ,

0

z

а продольная сила равна N z (z) P G(z) P F (t)dt .

0

С другой стороны продольная сила по условию задачи должна быть равна N z (z) 0 F(z) , поэтому имеем

z

0 F (z) P F (t)dt .

0

Продифференцируем это соотношение 0					dF (z)		F (z) ;
					dz
	dF (z)			dz и проинтегрируем			dF (z)
запишем его в виде										dz .
	F (z)		0				F		0

В результате получим соотношение ln(F ) 0 z const , которое приведем к виду

F (z) Cexp( z) .

0

Значение константы найдем из граничного условия при z=0:

F (0) F0 P .

0

Окончательно выражение для площади поперечного сечения стержня будет иметь вид

F (z) Cexp( z)

0

Вычислим удлинение стержня

l N z (z)dz				0	dZ 0 H
H		H
0	E F (z)	0	E		E

Напряженное состояние при растяжении

Напряженное состояние при растяжении стержня является одноосным, поэтому исходные площадки являются главными. Причем в случае растяжения

, а в случае сжатия .

Площадки с экстремальными касательными напряжениями , которые

наклонены по отношению к исходным под углами и равны . Именно с действием экстремальных связано появление на боковой поверхности образца при растяжение линий скольжения, ориентированных под углом

к оси образца. На площадках с экстремальными действуют и нормальные напряжения, равные .

Расчеты на прочность при растяжении

Условие прочности при растяжении (сжатии) стержня имеет вид

max пред

Максимальное напряжение max определяется моделями нагружения и формы и определяется расчетом; предельное напряжение пред определяется ма-

l расч [ l]

териалом , из которого изготовлен элемент конструкции. Для пластических материалов за предельное напряжение принимается предел текучести, для хрупких материалов – предел прочности.

В практических расчетах вышеприведенное условие прочности усиливают, вводя нормативный коэффициент запаса прочности [n] > 1, и вводится понятие допускаемого напряжения [ ] пред /[n]. В этом случае условие прочности при-

нимает вид

max [ ] .

Кроме условия прочности элементы конструкций во многих случаях должны удовлетворять условию жесткости. Применительно к стержневым системам это условие накладывает ограничения на максимальные перемещения

.

В инженерных расчетов, исходя из условия прочности, решаются три основные задачи механики материалов конструкций. В применении к случаю растяжения (сжатия) призматического стержня эти задачи формулируются следующим образом.

1. Проверка прочности (поверочный расчет). Этот расчет проводится, если нагрузка, сечение стержня F и допускаемое напряжение заданы. Необходимо убедиться, что выполняется условие прочности

max max N z [ ] min F

Расчет заключается в том, что определяется фактический коэффициент запаса прочности п и сравнивается с нормативным коэффициентом запаса [n]:

n [n] .

2.Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения нагрузки, которое допускает данный элемент конструкции при известной форме элемента F и при известном материале элемента [σ]

.

3. Подбор сечения (проектный расчет). В этом расчете по заданной нагрузке определяются размеры поперечного сечения стержня из заданного материала. Минимальное значение F получим, если в условии прочности принять знак равенства:

.

Потенциальная энергия упругой деформации

Рассмотрим стержень, изображенный на рис.1. Согласно теореме Клайперона, работа внешней силы P N z по деформированию стержня численно равна

площади, ограниченной зависимостью Р(Δl) и осью абсцисс, то есть dA 12 N z dl