Типовой_по_ИСУ

Схемы замещения импульсного элемента (ИЭ).

	x		x
		ИЭ

x			x*				x
				W	ф	( p)		e-p
	wф(t)

1

t

	0	Tи
			а.)
	x		x
		ИЭ
	x		x*

e-p

б.)

Рис. 6

Типовая структурная схема импульсной САУ

x y	x	x*	x p y
			Wпн(p)

Рис. 7

Wпн ( p) Wф ( p) Wн ( p) – передаточная функция приведенной не-

прерывной части разомкнутой импульсной системы.

Wф ( p) – передаточная функция формирующего фильтра

Wн ( p) – передаточная функция непрерывной части разомкнутой системы.

11

3. Примеры выполнения расчетного задания

Пример 1.

Исходная структурная схема импульсной САУ и выходной

сигнал импульсного элемента

		ИЭ		W1	( p)
xy	x					xp	ИЭ

W2 ( p)

y				t
	W3 ( p)
		Рис. 8

T	0,01
W1 ( p) k1				k1	2	T2 0,1
W2	( p)		k2	k2	3
		1	p T2
W3	( p)	k3		k3	5
		p

Преобразуем к общему виду, изображенному на рис.9.

Типовая структурная схема импульсной САУ

		ИЭ		(W1 ( p) W2 ( p)) W3 ( p)
xy	x				xp
			y	Wн ( p)

Рис. 9

Дискретная передаточная функция разомкнутой импульсной системы

Запишем выражение для непрерывной передаточной функции ра-

зомкнутой системы:

12

Wн ( p) (W1	( p) W2 ( p)) W3	( p) k1	k2		k3		k1 k3		k2	k3
			1 p T2		p		p		p (1	p T2 )
(k1 k2 ) k3	k1 k3 T2 p

p (1 p T2 )

Таким образом, ясно, что коэффициент усиления разомкнутой непре-

рывной системы равен k p (k1 k2 ) k3 =25.

Найдем передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:

Передаточная функция звена формирователя:

1 e p T

Wф ( p) p

Передаточная функция приведенной непрерывной части:

W

( p) W

( p) W

( p)

(1 e p T )

(k1 k2 ) k3

k1 k3 T2 p

пн

ф

н

p 2 (1

p T )

2

(1 e p T )

(k1

k2 ) k3

k2 k3 T2

k2 k3 T2

p 2

p

p

1

T2

Применяя дискретное преобразование Лапласа к последнему выра-

жению, получим передаточную функцию разомкнутой импульсной систе-

мы:

Wp* ( p) D(Wпн ( p))

e p T

1

(k k

2

) k

3

T e p T

k

2

k

3

T e p T

k

2

k

3

T e p T

1

2

2

e p T

(e p T

1)2

e p T

1

T

e p T

e T2

W * ( p)

T

T

T (e p T

1)

k

3

(k

1

k

2

) (b e p T

b )

k

k

k

T

2

1

0

p

3

1 e p T

1

2

2

e p T

1

T

T

e p T

e

T2

(e p T

1) (e p T e T2 )

В результате дальнейших преобразований искомая передаточная

функция приводится к виду:

W *										b	e p T	b
	k		(k		k		)			1		0
		3		1		2
p								a		e2 p T	a	e p T a
									2				0
											1

где

13

wпн (t)

k2

T

b

T e T2

1

T

b 0,00429

1

k1 k2

2

1

k2

T

T

b

T e T2

1 T e

T2

0,003339

0

k1

k

2

b0

2

a2

1

T

a

e T2

1

a

1,905

1

1

T

a0

e T2

a0

0,905

Передаточную функцию рассматриваемой импульсной САУ в разомкнутом состоянии можно определить на основе весовой функции приведенной непрерывной части , согласно следующему соотноше-

нию:

W * ( p)			w (l T ) e p l T
p			пн	u
		l	0
w (t) L			1{W ( p)} k k			3	t 1 (t) k			2	k	3	T 1 (t) t 1 (t) T e				t T2 1 (t)
пн			пн	1				0					2	0	0	2	0
																(t	)
k k	3	(t	) 1 (t	) k	2		k	3	T 1 (t				) (t	) 1 (t		) T e	T2 1 (t )
1			0						2	0				0		2	0

Так как wпн (l T )

wпн

(t)

t l T

, то:

u

W * ( p)

w (l T ) e p l T k k

T

e p T

k

k

p

l 0

пн

1

3 (e p T

1)2

2

3

T e p T

T e p T

T e p T

T e p T

e p T

2

2

k

k

e p T

1 (e p T

1)2

e p T

e T T2

1

3 (e p T

1)2

T e p T

e p T

T e p T

e p T

T e p T

e p T

k

k

2

2

2

3

e p T 1

(e p T

1)2

e T T2

e p Tu

После преобразований, получим искомое выражение для Wp* ( p) , сов-

падающее с ранее полученным.

14

Годографы импульсной разомкнутой системы

Годограф импульсной разомкнутой системы построим двумя способами:

точным (непосредственно по найденной ранее передаточной функции)

приближенным – по формуле:

W * ( j )	0			W ( j	j		l)		wпн (0)
						0
p	2			пн				2
				l
или в приближении:
Wp* ( j )				3				wпн (0)		,
	0			Wпн ( j	j	0 l)
	2							2
				l 3
В формуле ставится знак «+», если в приведенной непрерывной части
системы отсутствует запаздывание, и «-»										- в противном случае. В нашем
случае wпн (0)	0 .

Годографы для Wp* ( j w) и Wпн ( j w)

15

W1*p ( j )

						W *	( j	)
Im{ }						1 p
					*		( j )
						W2 p
-40						Wпн ( j		)
	-2			Re{ }	-0
W *		( j		) – годограф, построенный точным методом;
1 p
W *			( j ) – годограф, построенный по приближенной формуле;
2 p

Wпн ( j ) – годограф приведенной непрерывной части.

А)

0

W1*p ( j )

W2*p ( j )

Im{ }

Wпн ( j )

-0,6

-0,3

Re{ }

-0

Б)

Рис. 10

Как видно из рисунка 10, годографы импульсной разомкнутой систе-

мы, построенные точным и приближенным методом совпадают.

Численные значения амплитудно - фазовых характеристик им-

пульсной разомкнутой системы, построенных точным и приближен-

ным методами:

16

					Точный метод			Wp*		n			0						Приближенный ме-
																			тод
									15			2
							0														0
						0	-0.372-0.634i													0	-0.372-0.633i
						1	-0.144-0.256i													1	-0.143-0.256i
						2	-0.092-0.16i													2	-0.091-0.159i
						3	-0.073-0.115i													3	-0.072-0.114i
						4	-0.064-0.088i													4	-0.063-0.087i
						5	-0.059-0.07i													5	-0.058-0.069i
	n		w0			6	-0.056-0.057i								n		w0			6	-0.055-0.055i
Wp						7	-0.054-0.047i					Wnp								7	-0.053-0.045i
	16		2												16		2
						8	-0.053-0.038i													8	-0.051-0.037i
						9	-0.052-0.031i													9	-0.05-0.03i
						10	-0.051-0.025i													10	-0.049-0.024i
						11	-0.051-0.019i													11	-0.048-0.018i
						12	-0.05-0.014i													12	-0.048-0.013i
						13	-0.05-9.215i·10-3													13	-0.047-8.654i·10-3
						14	-0.05-4.562i·10-3													14	-0.047-4.274i·10-3
						15	-0.05													15	-0.047+2.821i·10-6

Устойчивость замкнутой импульсной системы и ее предельный коэффициент

по критерию Найквиста:

Так как годограф разомкнутой импульсной системы не охватывает точ-

ку (-1;j0), то замкнутая система устойчива.

Значение предельного коэффициента усиления разомкнутой импульсной системы можно найти из пропорции:

k 0.05	, откуда	kпред k / 0.05 500
k nped 1

по критерию Гурвица:

Найдем передаточную функцию замкнутой ИСАУ, выделив коэффициент усиления разомкнутой системы kp:

W * ( p)

Wp* ( p)

b e p T

b

k

1

0

e2 p T

b ) e p T (a

з

1 W * ( p)

p

a

2

(a k

0

k

b )

p

1

p 1

p 0

Введем обозначение z

e p Tu

и запишем характеристическое уравнение:

17

A a	2	z 2	(a k	b ) z (a	0	k	b )
			1	p 1			p 0

Произведем подстановку:

z1 v

1 v

AA2 v2 A1 v A0 где

A2	a2	(a1	k p b1 ) (a
A1	a2	(a0	k p b0 ) 0
A0	a2	(a1	k p b1 ) (a

0	k p	b0 )	0	A2	3,619	0
				A1	0,179	0
0	k p	b0 )	0	A0	0,024	0

Так как все коэффициенты Ai положительны, то замкнутая ИСАУ устойчива.

Наиболее просто из приведенных выше формул найти значение предельного коэффициента усиления, которое получаем из уравнения:

a2 (a1		k p b1 ) (a0				k p b0 ) 0
k p		a1	a2	a0		,
		b0	b1
пред
k p пред	499,376			500

На основе необходимого и достаточного условия устойчивости системы (в плоскости “Z”)

(a k	p	b )		(a k		b )2		4 a		2	(a		0	k		b )
1		1	1			p	1									p	0				0,909
				2 a2
(a k	p	b )	(a k		p		b )2	4 a	2		(a	0		k	p	b )
1		1	1				1										0				0,909
				2 a2

Корни не выходят из круга радиуса 1, следовательно, система ус-

тойчива. Предельный коэффициент усиления k3 получаем из решения урав-

нения:

(a k

b )

(a k

b )2

4 a

2

(a

0

k

b )

1

p 1

1

p 1

p 0

1,

2 a2

k p пред

499,376

500

18

Переходной процесс на выходе замкнутой ИСАУ (xp(t))

Найдем передаточную функцию замкнутой ИСАУ относительно

выходного сигнала xp(t)::

X *

( p) (W ( p)

(W ( p)

W

( p))) *

Wз* ( p)

p

ф

1

2

X *

( p)

1 W * ( p)

.

y

p

Поскольку передаточную функцию Wp* ( p) мы нашли ранее, опреде-

лим

дискретную

передаточную

функцию

числителя,

т.е.

(Wф ( p) (W1( p) W2 ( p)))* .

*

1 e pT

k2

pT

(k1 k2

k1 pT2 )

(W ( p) (W ( p)

W

( p)))

D

(k

)

D (1 e

)

2

1

ф

1

p

1

p T2

p (1

pT2 )

k1

k2

k2

k1

k2

k2

D (1 e pT )

(1 e pT )

p

p

1/ T

1

e pT

T

e pT

2

1 e T 2

T

k

1

(k

2

(k

1

k

2

) e T 2 ) e pT

b e pT

b

1

0

T

pT

e

a0

1 e T 2

e pT

T

T

e T2

где

b

k ;

b

k2

(k

k

2

)

e T 2 ;

a

0

1

1

0

1

Таким образом, дискретная передаточная функция замкнутой сис-

темы относительно выходного сигнала xp(t) имеет вид:

e pT

b

b

X *p ( p)

1

0

*

e pT

e pT / T2

Wз

( p)

X *

( p)

k

3

(k

1

k

2

) (b e p T

b )

y

1

1

0

T

(e p T

1) (e p T e T2 )

(b e pT

b ) (e p T

1)

1

0

T

(e p T

1) (e p T e T2 ) k

3

(k

1

k

2

) (b e p T

b )

1

0

Перейдем от изображения к оригиналу:

19

b (b b ) e p T

b e 2 p T

1

0

1

0

T

T

e2 p T

k

3

(k

1

k

2

) b e T2

1 e p Tu

k

3

(k

1

k

2

) b e T2

1

0

* ( p)

b e2 p T

(b b ) e p T

b

X

1

0

1

0

P

T

T

*

X Y

( p)

1

k

3

(k

1

k

2

) b e T2

1 e p T

k

3

(k

1

k

2

) b e T2

e 2 p T

1

0

T

T

* ( p) 1

X

k

3

(k

1

k

2

) b e T2

1 e p T

k

3

(k

1

k

2

) b e T2

e 2 p T

P

1

0

* ( p)

(b e2 p T

(b b ) e p T

b ) X

1

0

1

0

Y

T

T

T2

T2 x

x

p,i

k

3

(k k

2

) b e

1 x

p,i 1

k

3

(k k

2

) b e

p,i 2

b x

y,i

1

1

1

0

1

(b0

b1 ) xy,i 1

b0 xy,i 2

График переходного процесса, построенный на основе последнего

соотношения, изображен на Рис. 11

Переходной процесс в замкнутой ИСАУ

	3
2.08
	2
xpi	1
0.189	0	10	20	30	40	50
	1
	0		i			50
		Рис. 11

Кинетическая и статическая ошибки замкнутой ИСАУ (xуст=xy-y)

x	уст	lim(e p T 1) X * ( p)
		p 0		y
X * ( p)		1		X	* ( p)
		1 W * ( p)			y
			p

– Статическая

На входе системы Xy(t)=1(t)

20