- •Кафедра медицинской и биологической физики
- •Рекомендации к работе с пособием.
- •Приведём пример оформления решения задачи.
- •3. Колебания и волны, биоакустика
- •3.17. Гармонические колебания материальной точки массой 2 г происходят по закону:
- •4.28. Электронная поляризация в диэлектриках ..... От температуры.
- •4.45. Приведите примеры магнетиков, входящих в состав биологических систем.
- •4.46. Укажите тип магнетиков, к которому относятся свободные радикалы в биологических системах.
- •3.24. Уравнение затухающих колебаний в каноническом виде:
- •Для, учитывая, что при колебаниях, получаем, что соответствует максимуму знаменателя формулы:Значит, приговорить о резонансе не приходится.
- •3.27. В задаче 3.26 была найдена резонансная частота:
- •3.31. Ответ: 1) - в сторону уменьшения координаты х.
- •3.45. Интенсивность – это средняя по времени энергия, которую переносит волна через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению распространения волны.
- •3.46. Тепловая энергия, которая должна быть поглощена водой для того, чтобы вода нагрелась от начальной температуры до температуры кипения при нормальных условиях:
- •4.32. Решение. Речь идёт о дисперсии (зависимости от частоты переменного электрического поля) диэлектрической проницаемости биологических тканей. Общий ход такой зависимости представлен на рисунке
- •4.41. Решение. 1) Действующий фактор – электрический ток частотой 5 мГц, который является квазистационарным для электрических цепей длиной до
- •4.42. Решение. Выделим в объёме проводника малую область в виде цилиндра с площадью δs и высотой V:
- •4.51. Решение. Элемент работы при повороте объекта с магнитным моментом получим, если учтём, что и момент сил поля противоположны по знаку.
- •4.54. Решение. При параллельно соединённых элементах напряжение на каждом из элементов схемы одинаковое.
- •4.56. Решение. Для ответа на поставленный вопрос необходимо располагать данными о дисперсии импеданса живых и отмирающих биологических тканей. Эти данные представлены на рисунке.
- •4.65. Решение. При параллельно соединённых элементах напряжение на каждом из элементов схемы одинаковое.
- •Справочные материалы Фундаментальные постоянные
- •Наименования и обозначения приставок си для образования десятичных кратных и дольных единиц и их множители
- •Правила приближённых вычислений.
3.24. Уравнение затухающих колебаний в каноническом виде:
.
В этом уравнении , гдеr – искомый коэффициент сопротивления. 2.- полная энергия колебаний системы к началу той минуты, за которую энергия уменьшилась наp = 40%. Будем считать, что круговая частота колебаний за время существования затухающих колебаний в системе, практически не изменяется и равна:. При затухающих колебаниях амплитуда уменьшается со временем по закону:Тогда энергия при затухающих колебаниях зависит от времени по закону:
.
Где – энергия колебаний к началу минуты, за которую известен процент потери энергии колебаний.
. Ответ:
3.25. Решение: Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний происходящих при внешнем воздействии на колебательную систему силы, изменяющейся по закону: Ft = F0cos(Ωt).
После того, как переходные процессы в колебательной системе закончатся, в системе будут происходить установившиеся гармонические вынужденные колебания с частотой Ω равной частоте вынуждающей силы. Закон вынужденных установившихся колебаний – смещение как функция времени:
xt = Acos(Ωt–φ).
Тем самым предположили, что колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.
Скорость смещения: AΩ {- sin(Ωt–φ)} = AΩcos(Ωt – φ +), опережает по фазе смещение на.
Ускорение смещения: A
{- cos(Ωt–φ)} = , опережает по фазе смещение на.
Перепишем уравнение, учитывая полученные при дифференцировании результаты:
AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt–φ) =
= .
Левая часть полученного равенства представляет собой сумму трёх гармонических функций одной и той же частоты Ω, разных амплитуд и фаз, а правая часть гармоническую функцию . На векторной диаграмме гармонические функцииивыглядят так:
Учёт фазовых соотношений и амплитуд колебаний при построении векторной диаграммы уравнения
AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt–φ) =
= даёт:
Откуда, используя теорему Пифагора, получим:
AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt – φ) =
=
Ответ:
3.26. Рассмотрим амплитуду как функцию частоты вынуждающей силы Ω и обратим внимание на то, что от Ω зависит знаменатель. Следовательно, минимум выражения в знаменателе соответствует максимуму амплитуды.
Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе как функцию частоты вынуждающей силы и проанализируем эту функцию на условия минимума. Для чего получим выражение для производной этой функции.
Необходимое условие экстремального значения:имеет три решения первое очевидно ─
1) ;
второе и третье найдём, решая уравнение:
2) ,
3)
Условие минимума выполняется, если:
Подсчитаем:
Для, учитывая, что при колебаниях, получаем, что соответствует максимуму знаменателя формулы:Значит, приговорить о резонансе не приходится.
Решение не имеет физического смысла (частота колебаний всегда положительная величина).
Остаётся значение частоты:
Привторая производная:, еслии тогда знаменатель формулы:минимален, а сама амплитуда максимальна.
Следовательно, резонансной частотой является: , иначе:.
3.27. В задаче 3.26 была найдена резонансная частота:
Для определения амплитуды при резонансе подставим найденное значение резонансной частоты в формулу
В случае отсутствия затухания: и
3.28. Решение: Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний происходящих при внешнем воздействии на колебательную систему силы, изменяющейся по закону: Ft = F0cos(Ωt).
После того, как переходные процессы в колебательной системе закончатся, в системе будут происходить установившиеся гармонические вынужденные колебания с частотой Ω равной частоте вынуждающей силы. Закон вынужденных установившихся колебаний – смещение как функция времени:
xt = Acos(Ωt–φ).
Тем самым предположили, что колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.
Скорость смещения: AΩ {- sin(Ωt–φ)} = AΩcos(Ωt – φ +), опережает по фазе смещение на.
Ускорение смещения: A {- cos(Ωt–φ)} =
= , опережает по фазе смещение на.
Перепишем уравнение , учитывая полученные при дифференцировании результаты:
AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt–φ) =
= .
Левая часть полученного равенства представляет собой сумму трёх гармонических функций одной и той же частоты Ω, разных амплитуд и фаз, а правая часть гармоническую функцию. На векторной диаграмме гармонические функцииивыглядят так:
Учёт фазовых соотношений и амплитуд колебаний при построении векторной диаграммы уравнения
AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt–φ) =
=даёт:
Откуда: . В случае отсутствия затухания
β = 0 и , следовательно, и угол φ = 0. Ответ: φ = 0.
3.29. Решение: Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний происходящих при внешнем воздействии на колебательную систему силы, изменяющейся по закону: Ft = F0cos(Ωt).
После того, как переходные процессы в колебательной системе закончатся, в системе будут происходить установившиеся гармонические вынужденные колебания с частотой Ω равной частоте вынуждающей силы. Закон вынужденных установившихся колебаний – смещение как функция времени:
xt = Acos(Ωt–φ).
Тем самым предположили, что колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.
Скорость смещения: AΩ {- sin(Ωt–φ)} = AΩcos(Ωt – φ +), опережает по фазе смещение на.
Ускорение смещения:A {- cos(Ωt–φ)} =
, опережает по фазе смещение на.
Перепишем уравнение, учитывая полученные при дифференцировании результаты:
AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt–φ) =
= .
Левая часть полученного равенства представляет собой сумму трёх гармонических функций одной и той же частоты Ω, разных амплитуд и фаз, а правая часть гармоническую функцию . На векторной диаграмме гармонические функцииивыглядят так:
Учёт фазовых соотношений и амплитуд колебаний при построении векторной диаграммы уравнения
AΩcos(Ωt – φ +) +Acos(Ωt–φ) =
= даёт:
Откуда:. В нашем случае коэффициент затухания β > 0 и при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частотебудет стремиться к бесконечности и, следовательно, угол φ будет приближаться к 90о. Ответ: φ → ∞.
3.30. , ,,
, .
Ответ: