- •Тема 1. ФУНКЦИИ РЕШЕНИЯ В МЕТОДОЛОГИИ И ОРГАНИЗАЦИИ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ
- •1.1. Характеристика процессов управления
- •1.2. Общая характеристика проблем, задач и решений
- •1.3. Понятие и содержание управленческих решений
- •1.4. Типология управленческих решений
- •Тема 2. МОДЕЛИ, МЕТОДОЛОГИЯ И ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА РАЗРАБОТКИ УПРАВЛЕНЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ
- •2.1. Условия и факторы качества управленческого решения
- •2.2. Целевая ориентация управленческих решений
- •2.3. Критериальный язык описания выбора
- •2.3.1. Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной
- •2.3.2. Условная оптимизация
- •2.3.3. Поиск альтернативы с заданными свойствами
- •2.3.4. Нахождение паретовского множества
- •2.4. Описание выбора на языке бинарных отношений
- •2.5. Язык функций выбора
- •Тема 3. ПРОЦЕСС ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
- •3.1. Стандартный процесс принятия решения
- •Этап 0. Уяснение возникшей ситуации и выявление проблемы
- •Этап 1. Формулировка проблемы, постановка целей
- •Этап 2. Определение критериев
- •Этап 3. Выработка альтернатив
- •Этап 4. Сравнение альтернатив
- •Этап 5. Выбор лучшего решения
- •3.2. Условия неопределенности и риска
- •Тема 4. РАЗРАБОТКА АЛЬТЕРНАТИВ ДЕЙСТВИЙ
- •4.1. Составление списков альтернатив
- •4.2. Дерево решений (вариантов)
- •4.3. Морфологическая комбинационная таблица
- •4.4. Причинно-следственная диаграмма (диаграмма Исикавы)
- •4.5. Математическое описание множества вариантов
- •4.6. Коллективный поиск вариантов
- •Тема 5. АНАЛИЗ АЛЬТЕРНАТИВ ДЕЙСТВИЙ
- •5.1. Случайный выбор
- •5.2. Интуитивные решения
- •5.3. Решения, основанные на суждениях
- •5.4. Решения на основе максим (основных правил, принципов)
- •5.5. Решения на основе функций приоритетов
- •5.6. Графические методы анализа вариантов
- •5.7. Дерево решений (вариантов)
- •5.8. Таблицы оценок
- •5.9. Определение весовых коэффициентов
- •5.10. Поэтапное сравнение
- •5.10.1. Парное сравнение
- •5.10.2. Поэтапное сравнение
- •5.11. Бинарные решающие матрицы
- •Тема 6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
- •6.1. Модели теории очередей (массового обслуживания)
- •6.2. Модели управления запасами
- •6.3. Задача упорядочения и согласования. Детерминированная задача упорядочения
- •6.4. Задача о назначении
- •6.5. Модели линейного программирования. Общая линейная распределительная задача
- •6.4.1. Метод последовательных уступок
- •6.4.2. Компромиссная целевая функция
- •6.4.3. Метод многоцелевого программирования
- •Тема 7. КОЛЛЕКТИВНОЕ ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ
- •7.1. Принятие решений голосованием
- •7.2. Принятие коллективных решений в малых группах
- •7.3. Конференции по принятию решений
- •7.4. Экспертные системы принятия решений
- •Тема 8. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЕШЕНИЙ
- •8.1. Задача оценки эффективности решения
- •8.2. Математические методы оценки последствий решения
- •8.4. Экспертные методы оценки последствий решения
- •Тема 9. РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ И КОНТРОЛЬ
- •9.1. Контроль реализации управленческих решений
- •9.2. Управленческие решения и ответственность
- •Тема 10. ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ И ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ФАКТОРА НА ПРОЦЕСС ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ
- •10.1. Анализ внешней среды и ее влияния на реализацию альтернатив
- •10.2. Влияние человеческого фактора на реализацию альтернатив
- •СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ
- •МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ТЕСТОВОЙ СИСТЕМЫ
- •СОДЕРЖАНИЕ
Тема 6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
6.1.Модели теории очередей (массового обслуживания).
6.2.Модели управления запасами.
6.3.Задача упорядочения и согласования.
6.4.Задача о назначении.
6.5.Модели линейного программирования.
Число конкретных моделей принятия решений чрезвычайно велико, как и число проблем, для разрешения которых они разработаны. Рассмотрим некоторые наиболее распространенные их типы.
6.1. Модели теории очередей (массового обслуживания)
Модели массового обслуживания условно делят на модели анализа и модели синтезаоптимизации систем массового обслуживания.
Задачи анализа предполагают оценку эффективности функционирования системы массового обслуживания при неизменных, наперед заданных исходных характеристиках системы: структуре системы, дисциплине обслуживания, потоках требований и законах распределения времени их обслуживания. Задачи синтеза направлены на поиск оптимальных параметров систем массового обслуживания.
Систему массового обслуживания в общем виде можно представить как совокупность последовательно связанных между собой входящих потоков, требований на обслуживание, очередей, каналов обслуживания и выходящих потоков требований (рис. 6.1).
ооооо
ооооо
Входящие потоки |
Очереди |
Каналы |
Выходящие |
обслуживания |
потоки |
Рис. 6.1. Система массового обслуживания
Случайный характер входящего потока требований (машин, самолетов, пользователей и т.д.), а также длительности обслуживания каналом (станция техобслуживания, аэродром, ЭВМ и т.д.) приводит к образованию случайного процесса в системе, который необходимо исследовать.
Если изучены или заданы входящие потоки требований, механизм (число каналов, обслуживание, продолжительность обслуживания и т.д.) и дисциплина обслуживания, то это дает основание для построения математической модели системы.
В задачах анализа систем массового обслуживания в качестве основных показателей функционирования системы могут быть использованы:
1)вероятность простоя канала обслуживание Po ;
2)вероятность того, что в системе находится n требований, – Pn ;
3)среднее число требований, находящихся в системе (сфере обслуживания):
∞ |
|
Nсист = ∑n Pn ; |
(6.1) |
n=1
50
4) |
среднее число требований, находящихся в очереди: |
|
|
∞ |
|
|
Nоч = ∑ (n − N k ) Pn , |
(6.2) |
|
n=Nk |
|
где Nk – |
число каналов обслуживания; |
|
5) |
среднее время ожидания требований в очереди Точ : |
|
а) для разомкнутой системы: Точ = Nоч / λ,
где λ – интенсивность поступления потока требований в систему; б) для замкнутой системы: Точ = Nоч / ( λ (m − Nоч ) ),
где m – число требований, нуждающихся в обслуживании |
(поток требований ограничен и |
||
|
пользователь может возвращаться в систему); |
Тсист ; |
|
6) |
среднее время ожидания требований в системе |
|
|
7) |
среднее число свободных каналов обслуживания: |
|
|
|
Nk −1 |
|
|
|
Nck = ∑ (Nk − n) |
Pn ; |
(6.3) |
n=0
8)среднее число занятых каналов обслуживания:
N |
|
|
N зк = ∑k |
n Pn . |
(6.4) |
n=1
Имеется большое число разновидностей систем массового обслуживания. Самая простая – детерминированная одноканальная.
Пусть исследуется производственный процесс, в котором поступление требований происходит через равные промежутки времени tn = const (т.е. интенсивность потока поступления
требований |
λ −1 / tn = const ) и обслуживание производится через равные промежутки времени |
tоб = const |
(т.е. интенсивность обслуживания μ =1 / tоб = const ). |
Имеется один канал обслуживания. |
|
Предполагается, что t об / tn = λ / μ <1 (в противном случае очередь будет бесконечно |
возрастать) и что к началу обслуживания в системе имеется уже n требований. Определить, через какое время очередь исчезнет.
Основные особенности, взаимосвязи и количественные закономерности. Величину
Ψ = λ/ μ называют коэффициентом использования. Очередь будет бесконечно возрастать, если
Ψ >1; если же Ψ =1, то очередь будет иметь постоянную длину.
Схема рассматриваемой системы массового обслуживания представлена на рис. 6.2.
tn |
Пункт |
tоб |
|
обслуживания |
ООООО ОООООО О ООО
Рис. 2
Входящий поток |
Очередь |
Выходящий поток |
|
требований |
требований |
||
|
Рис. 6.2. Система массового обслуживания
51
Пока обслуживается очередь из n требований в течение времени t = n |
tоб вновь поступит |
|||||||||||||
на обслуживание n1 требований: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
= t / |
tn |
= n |
tоб / |
tn |
= nλ/ μ = nΨ . |
(6.5) |
||||||
Аналогично, пока будут обслуживаться |
n1 требований в течение |
времени t1 = n1 tоб , |
||||||||||||
дополнительно поступит на обслуживание n2 |
требований: |
|
||||||||||||
n |
= t / |
t |
n |
= n |
t |
об |
/ |
t |
n |
= n λ/ μ = n Ψ = nΨ2 . |
(6.6) |
|||
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
Это происходит до тех пор, пока tk > tn1 , после чего очередь исчезнет. Весь процесс
функционирование системы представим в аналитическом виде.
Построение математической модели. Время, через которое очередь исчезнет, можно представить в виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
= t +t1 +... +tk = ∑ti . |
(6.7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
Исследование математической модели. |
Для определения времени, через которое очередь |
||||||||||
исчезнет, необходимо раскрыть математическую модель: |
1 |
(n +nΨ +... +nΨk )= |
|||||||||
T = n |
tоб +n1 |
tоб +.... +пk tоб = |
tоб (n +n1 |
+... +nk )= |
|||||||
μ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
n(1−Ψk +1 ) |
|
|
(6.8) |
|||
|
n |
(1 |
|
+... +Ψk )= |
|
|
|
||||
= |
+Ψ +Ψ2 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
μ |
|
|
μ(1−Ψ) |
|
|
|
В модели использована формула суммы геометрической прогрессии.
Чем ближе интенсивность потока λ к интенсивности обслуживания μ , тем через больший промежуток времени исчезнет очередь (при λ/ μ <1). Членом Ψk +1 можно для упрощения расчетов пренебречь, тогда T ≈ n /(μ −λ).
Модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, которые необходимо иметь, чтобы сбалансировать издержки в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества.
Задача синтеза (оптимизации) одноканальной замкнутой системы массового обслуживания формулируется следующим образом.
Пусть известны характеристики канала обслуживания и характеристики требований, поступающих на обслуживание. Требуется определить оптимальную структуру системы, т.е.
оптимальное число требований mопт , необходимых для обслуживания канала, чтобы эффективность
системы была максимальной.
В качестве критерия оптимизации могут быть приняты удельные приведенные затраты, характеризующие затраты всей системы на одно обслуживание.
6.2. Модели управления запасами
Можно выделить четыре основные причины, приводящие к необходимости образования запасов:
1)необходимость гарантирования бесперебойного питания производственного процесса с целью обеспечения его непрерывности;
2)периодичность производства отдельных сорторазмеров материальных ресурсов у поставщиков;
3)особенности транспортировки от поставщика до потребителя (несоответствие грузоподъемности транспортных средств и размеров потребления);
4)несовпадение ритма производства и поставок производственных ресурсов с ритмом их потребления.
52
Задача управления запасами в общем случае формируется так.
Имеются некоторые запасы, затраты на хранение которых являются функцией (линейной или нелинейной) их величины. Известны также затраты на доставку ресурсов. Необходимо определить оптимальный размер поставки, частоту или сроки поступления ресурсов, чтобы суммарные издержки были минимальны. Критерием оптимизации является сумма издержек на хранение и поставку ресурсов.
В общем случае задачи управления запасами сводятся к задачам линейного программирования, общих методов решения которых нет.
Существует множество постановок задачи управления запасами.
Рассмотрим самую простую: однопродуктовую детерминированную задачу управления запасами.
Постановка задачи и выбор критерия оптимизации. Пусть месячная потребность предприятия в каком-либо материале (песке, щебне, цементе и т.д.) составляет Q условных единиц. Расход этого материала во времени происходит равномерно. Необходимо определить: каков должен быть размер поставки материалов, чтобы суммарные затраты на создание и хранение запаса были минимальны.
Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей.
Обозначим Cx затраты на хранение единицы запаса в единицу времени, а CD – затраты на доставку
партии материалов. Пусть затраты CD не зависят от количества материалов в поставляемой партии.
Предполагается, что все партии состоят из одинакового числа единиц материала, S – величина поставок.
Движение запасов в течение времени Т (месяца) можно изобразить графически:
t – промежуток времени (период) от момента поставки партии материала до момента ее израсходования.
S
t |
t |
t |
T |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.3. Движение запасов (мгновенное время пополнения запасов)
Количество необходимых поставок партии для удовлетворения месячной потребности в материале:
n = Q / S = T / t . |
(6.9) |
Построение математической модели. Суммарные месячные расходы на хранение материала и доставку за период Т.
S −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ST |
|
|
|
Q |
|
|
|
|||
Y = |
|
|
|
C |
|
|
+C |
|
|
n = |
|
|
C |
|
+ |
S |
C |
|
. |
||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
D |
|
|
|
|
x |
|
|
D |
|
||||||
Исследование математической модели. Продифференцировав |
|||||||||||||||||||||||
относительно S и приравняв производную |
|
dY / |
dS нулю, получим: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
dY |
|
= |
|
T |
C |
x |
− |
Q |
C |
D |
= 0 , |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dS |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда
Sопт = 2QCD /(TCx ).
(6.10)
целевую функцию
(6.11)
53