Пример выполнения задания
Проведем математическое моделирование недифференцируемого узкополосного марковского процесса второго порядка. Корреляционная функция и спектральная плотность такого процесса соответственно имеют вид
(19)
(20)
Здесь параметр представляет собой ширину спектра, параметр – преобладающую частоту процесса.
Осуществим факторизацию спектральной плотности (20). Для этого преобразуем выражение в знаменателе, представив его в виде произведения комплексно сопряженных сомножителей:
Тогда можно записать
откуда получим
(21)
Считая белый шум (t) входом формирующего фильтра, а моделируемый процесс y(t) – его выходом, представим динамическую систему с передаточной функцией (21) в управляемой канонической форме [4]:
Переходя
к векторно-матричной записи уравнений
в виде (13), определим
Решением матричного уравнения (14) найдем ковариационную матрицу вектора состояния
Эквивалентная дискретная модель формирующего фильтра может быть получена с использованием соотношений (16), (18). При этом период дискретности выберем равным t = 0,010,02 –1.
Текст m-файла, реализующего рассмотренный алгоритм моделирования, представлен в Приложении 2.
Порядок выполнения лабораторной работы
Получите вариант задания у преподавателя.
Получите выражения для формирующих фильтров в форме передаточной функции и в форме пространства состояний.Запишите входящие в эти выражения матрицы F, G, H и P с учетом выполнения условия стационарности процесса.
Указание. При выполнении задания по варианту 5 моделируемый случайный процесс удобно представить в виде суммы двух независимых экспоненциально коррелированных случайных процессов с дисперсиями σ2/2. В этом случае на входы формирующего фильтра должно поступать два порождающих шума.
С учетом выполнения условия стохастической эквивалентности запишите выражения для матриц , , Q дискретной системы с точностью до членов первого порядка. Задайте величину периода дискретности t.
Используя Matlab, составьте программу, обеспечивающую получение реализаций моделируемого процесса. Постройте график выборочной корреляционной функции.
Табл. 3. Варианты заданий
|
Вариант |
R() |
S() |
|
, с–1 |
, с–1 |
|
1а |
|
|
1 |
0,5 |
2 |
|
1б |
3 |
0,3 |
2,3 | ||
|
2а |
|
|
2 |
2 |
– |
|
2б |
4 |
1 |
– | ||
|
3а |
|
|
3 |
1,5 |
– |
|
3б |
5 |
1 |
– | ||
|
4а |
|
|
4 |
1 |
– |
|
4б |
1 |
1,5 |
– | ||
|
5а |
|
|
5 |
0,5 |
2 |
|
5б |
2 |
0,3 |
2,3 |
Оформление отчета
Отчет о лабораторных исследованиях должен содержать:
исходные данные;
непрерывную модель формирующего фильтра в форме передаточной функции и в форме пространства состояний;
параметры эквивалентной дискретной модели;
текст m-файла, с помощью которого получены реализации моделируемого процесса;
графики теоретической и выборочной корреляционных функций;
выводы по работе.