Метод обратной функции имитационного моделирования непрерывной случайной величины

Задача. Непрерывная случайная величина X может быть задана функцией распределения F(x)=P(X<x). Требуется смоделировать эту случайную величину с помощью случайной величины  с равномерным распределением на отрезке [0,1].

Принцип моделирования. Между случайной величиной  и функцией распределения F(x) существует взаимно однозначное соответствие: =F(x), откуда , где– обратная функция. Следовательно, если обратную функциюудается отыскать, то для моделирования непрерывной случайной величины с функцией распределенияF(x) можно использовать датчик случайных чисел, генерирующий величину , и затем осуществить расчет по формуле .

Имитационное моделирование случайных величин с показательным распределением

Задача. Требуется смоделировать случайную величину X, имеющую показательное распределение, задаваемое функцией распределения , где – параметр распределения (обратная величина среднему значению), с помощью случайной величины , равномерно распределенной на отрезке [0,1].

Принцип моделирования. Применив метод обратной функции, получим =F(X)=, откуда. Учитывая, что случайная величина(1-) имеет также равномерное распределение на отрезке [0,1], окончательно имеем: .

Имитационное моделирование случайных величин с равномерным распределением

Задача. Требуется смоделировать случайную величину X, имеющую равномерное распределение на отрезке [a,b], с помощью случайной величины  с равномерным распределением на отрезке [0,1].

Принцип моделирования первым способом. Применив метод обратной функции, получим =F(X)=, откуда X=a+(b-a).

Принцип моделирования вторым способом.

, где – среднее значение случайной величиныX, .

Имитационное моделирование случайных величин с нормальным распределением

Задача. Требуется смоделировать случайную величину Y, имеющую нормальное распределение с математическим ожиданием M(Y) и среднеквадратическим отклонением (Y), с помощью случайной величины , равномерно распределенной на отрезке [0,1].

Принцип моделирования. Метод обратной функции для имитационного моделирования нормально распределенной случайной величины неприменим, так как нельзя найти аналитическое выражение для нормальной функции. Вместо метода обратной функции используется центральная предельная теорема теории вероятностей, согласно которой при сложении достаточно большого числа одинаково распределенных независимых случайных чисел получается случайная величина, имеющая нормальное распределение. Как показали исследования, уже при сложении более десяти случайных величин с равномерным распределением на отрезке [0,1] получается случайная величина, которая с точностью, достаточной для большинства практических задач, может считаться распределенной нормально.

Процедура моделирования.

1. Сложим 12 взаимно независимых случайных величин с равномерным распределением на отрезке [0,1]: . Использовав известные теоремы о сумме математических ожиданий и дисперсий независимых случайных величин, можно установить, что в данном случае случайная величина имеет математическое ожидание M()===6, дисперсиюD()== =1 и среднеквадратическое отклонение()==1.

2. Нормируем и центрируем случайную величину , т.е. перейдем к величине =(—M())/()=—6.

3. От нормированной и центрированной случайной величины  перейдем к искомой случайной величине Y: .

Окончательно имеем: .