Задание 2

При выполнении второго задания контрольной работы необходимы следующие понятия векторной алгебры.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор , заданный координатами началаи концаимеет проекции, равные разностям координат его конца и начала:

Его длина (модуль) определяется по формуле .

Проекция одного вектора на направление другогоравна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль второго вектора:

В координатной форме формула выглядит следующим образом:

.

Угол  между положительными направлениями векторов инаходится по формуле:

,

Значение можно не искать в таблицах, а дать ответ в виде:

,

Площадь треугольника АВС вычисляется при помощи векторного произведения по формуле:

,

где – векторное произведение.

Пусть и. Найдем их векторное произведение по формуле:

Вычислим длину вектора и возьмем ее половину, которая и будет численно равна искомой площади.

Объем пирамиды вычисляется как одна шестая абсолютной величины смешанного произведения трех векторов, на которых построена пирамида.

Пусть ,,. Следует обратить внимание, что все три вектора и здесь выходят из одной точки А.

Их смешанное произведение равно:

.

Объем пирамиды будет равен одной шестой абсолютной величины произведения векторов:

.

Пример. Даны координаты вершин пирамиды ,,, и. Надо средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра2) проекциюна; 3) угол между ребрамии; 4) площадь грани; 5) объем пирамиды. Сделать чертёж.

Решение: Сначала выполним чёртёж.

1) Найдем координаты вектора

, тогда длина ребра равна.

2) Найдем координаты векторов и.

; .

Вычислим проекцию на:

.

3) Найдем . Для этого вычислим координаты вектора (координаты вектора были получены ранее):

, ,

,

4) Для вычисления площади грани возьмем любые два вектора, которые образуют эту грань, например и . Координаты вектора

.

Найдем векторное произведение

ед².

5). Координаты векторов ,инайдены выше. Вычислим их смешанное произведение:

Объем пирамиды равен ед³.

Задание 3

Для выполнения третьего задания рассмотрим линии первого порядка – уравнение прямой в общем виде.

Уравнение прямой, проходящей через сторону АВ треугольника АВС, найдем как уравнение прямой, проходящей через две точки и:

.

Аналогично найдем уравнения сторон и.

Чтобы написать уравнение медианы , вспомним, что точкаделит сторонупополам. Найдем координаты точки. Если,,и, то

, .

Теперь осталось только записать уравнение прямой , проходящей через две точкии.

Высота перпендикулярна стороне. Черезпроведем прямую с угловым коэффициентом:

. (19)

Так как , то из условия перпендикулярности двух прямых имеем

. (20)

Запишем уравнение стороны в виде с угловым коэффициентом

.

Из этого уравнения определим , а из (20) найдем. Зная угловой коэффициент прямойиз (19) получим уравнение перпендикуляра.

Длину высоты найдем как расстояние от точки до прямойпо формуле:

,

где – уравнение стороны.

Чтобы найти внутренние углы треугольника нужно угловые коэффициенты сторон выписать в порядке убывания:, затем вычислить тангенсы углов по формулам:

, ,.

Пример. Даны координаты вершин треугольника: . Требуется найти: 1) уравнение сторон треугольника; 2) уравнение медианы; 3) длину и уравнение высоты; 4) внутренние углы треугольника.

Решение:

1) Найдем уравнение стороны :. Запишем уравнение в общем виде:.

Найдем уравнение :или.

Найдем уравнение :; т. е..

2) Найдем координаты точки :

; ;.

Запишем уравнение :

, или .

3) Найдем длину высоты АК

.

Придадим уравнению прямой ВС форму уравнения с угловым коэффициентом , откуда.

Угловой коэффициентом прямой АКравен .

Уравнение (АК): ;

; .

Рис. 1. Чертеж к заданию 3.

4) Запишем уравнения сторон треугольника в виде уравнений прямых с угловыми коэффициентом:

(АС): ,.

(АВ): ,.

(ВС): ,.

, .

, .

, .