Задание 6

В данном задании требуется вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя. Для этого рассмотрим некоторые теоретические сведения.

Если функция в окрестности точкиопределена и непрерывна, то ее предел можно вычислить по формуле:

Поэтому при вычислении пределов надо вначале убедиться, является ли функция непрерывной, или она разрывная в окрестности точкипутем прямой подстановкив выражение функции. Еслине существует при, то тогда следует находить предел. Для этого применяют специальные приемы.

Разрывные функции часто имеют неопределенные значения в точке разрыва . Неопределенности бывают следующих типов 1)2)3)4)5). Это – символическое обозначение неопределенностей. Если функция имеет вид дроби, у которой причислитель и знаменатель одновременно обращаются в ноль, т. е.и, то такая неопределенность обозначается. Если же приимеемиодновременно, то неопределенность обозначается. Функция может иметь вид произведения. Если при этоми при, то такую неопределенность обозначают. Возможен случай, когда функция имеет вид разности, причем прииодновременно. Здесь возникает неопределенность типа. Еще может быть вариант, когда функция имеет види, а при. Такая неопределенность обозначается. Для раскрытия подобных неопределенностей применяются специальные преобразования, которые допустимы правилами математики. После этого получаем выражения без неопределенностей и можно будет вычислить предел.

Для случая, когда имеет вид рациональной дроби и, имеем неопределенность типа, для вычисления которой надо числитель и знаменатель дроби поделить на старшую степень знаменателя.

Пример для задания а): . Имеем неопределенность вида. Чтобы раскрыть эту неопределенность разделим числитель и знаменатель на.Получим. Так как при, то имеем.

Во втором примере функция имеет вид дроби , у которой числителем и знаменателем являются рациональные выражения, которые содержат только целые положительные степени переменной. Если причислительи знаменатель, тоинацело (без остатка) делятся на разность (). Это деление осуществляется углом.

Пример для задания б): . Так приимееми, то

.

Теперь числитель и знаменатель первоначальной дроби можно представить произведением, что помогает вычислить предел

.

В третьем примере (в) вычисляется предел при для неопределенности типас участием тригонометрических функций. Для выполнения этого задания следует использовать первый замечательный предел или его разновидности

, ,,

, .

Кроме того нужны некоторые формулы из тригонометрии

, ,.

Пример для задания в):

В заданиях (г) требуется раскрыть неопределенность типа , либо. Для их вычисления следует использовать второй замечательный предел

;

и свойства логарифмов

; .

Примеры для задания г):

1)

2)

Так как функция непрерывная, то можно перейти к пределу под знаком функции, т.е.

ЗАДАНИЕ 7

Для нахождения производных необходимо знание основных формул дифференцирования.

Правила дифференцирования

Пусть ,,, тогда

; ;

;

; ;

Производная сложной функции .

Таблица производных

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

формула для логарифмического дифференцирования

(27)

Примеры для заданий а) и б):

. Находим производную от произведения функций.

.

.

Пример для задания в):

. Используя формулу (27), найдем

Пример для задания г): . Переменнаязадана как неявная функция. Продифференцируем обе части равенства, считаяфункцией от.

Объединив члены, содержащие

найдем

ЗАДАНИЕ 8

Найти первую и вторую производные функции.

Пример. а): . Найдем первую производную:

Дифференцируя выражение для ,вычислим вторую производную :

б) .

Функция задана параметрически. Вычислим

, . Первая производная.

Вторая производная

Этот же результат можно получить, если воспользоваться для нахождения второй производной формулой , вычисливи.

Задание 9

Исследовать функцию и построить ее график.

Пример. Рассмотрим функцию .

1. Данная функция существует при всех значениях кроме точек, где знаменатель обращается в ноль . Поэтому областью определения функции являются все действительные числа, кроме чисел, а именно:

.

2. Данная функция является нечетной, так как. Функция непериодическая.

3. Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума. Для этого вычислим первую производную

. (28)

Используем необходимый признак экстремума: если функция имеет экстремум в некоторой точке, то первая производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует. Из (28) найдем, что первая производная равна нулю при и; не существует при, но последние два значения не входят в область опреде­ления функции. Точкииразбивают область опреде­ления функции на интервалы

.

Чтобы определить, возрастает или убывает функция на ка­ждом из перечисленных интервалов, воспользуемся достаточным признаком возрастания (убывания) функции.

Найдем знак первой производной в каждом из интервалов. Для этого возьмем любое значение переменой из соот­ветственного интервала и, подставим его в выражение дляи определим знак первой производной при выбранном значении. Так, в интервале, значит, функция на этом интервале возрастает. В интервале, т. е. функция на этом интервале убывает и т. д.

Результаты исследования записаны в таблице 1. Здесь же даны выводы о том, является ли критическая точка экс­тремальной или нет при помощи достаточного признака экстремума функции в критической точке по . Из таблицы 1 видно, что прифункция достигает максимума (). Точкаявляется точкой минимума (),так как при переходе через эту критическую точку производная меняет знак с « – » на « +».

Таблица 1

						0
	+	0	-	Не сущ.	-	0
		max		Не сущ.		0

Продолжение таблицы 1

-	Не сущ.	-	0	+
	Не сущ.		min

4. Вычисляя , найдем интервалы выпуклости, вогну­тости и точки перегиба (таблица 2).

Отсюда имеем при , а прине существует. Так как прии функция не существует, то стационарной точкой для второй производной является только. Эта точка разбивает область определения функции на промежутки

.

Таблица 2

				0
	-	Не сущ.	+	0	-	Не сущ.	+
		Не сущ.		0		Не сущ.

Отсюда видно, что начало координат О (0; 0) – точка перегиба графика.

5. Найдем асимптоты графика функции:

а) Вертикальные асимптоты.

Так как в данном случае функция имеет вид дроби, то из условия обращения в ноль знаменателя найдем вертикальные асимптоты:. Так как , то по определению прямые иявляются вертикальными асимптотами.

б) Наклонные асимптоты ().

;

–наклонная асимптота графика функции.

6. Точкой пересечения графика функции с осями коорди­нат будет точка О(0;0), так как при имеем.

Таким образом, функция возрастает на интервалах и, убывает на интервалах,,,является выпуклой при,и вогнута прии.

Строим график функции (рисунок 1), отметив вначале на плоскости асимптоты графика функции,; точки экстремума функции() и(), точку перегиба О(0;0).

Рис. 1 Чертеж к заданию 4.