Тема 3. Нечеткие множества

1. Понятие нечеткого множества

Во многих прикладных задачах, решаемых с помощью теории множеств, бывает сложно однозначно и четко ограничить набор элементов, принадлежащих данному множеству, т.к. возникает противоречие между формальной природой математики и привычкой человека мыслить неопределенными, расплывчатыми понятиями. (Куча камней это сколько штук? 5 слонов – это много, 10 муравьев – это мало и т.д.). Введением понятия нечеткого множества удалось в определенной мере преодолеть это противоречие.

Пусть Е – универсальное множество, x – элемент E, а Р – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству Р, определяется как множество упорядоченных пар

A = {_A (х) | x}, (1)

где _A(х) – характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству Р, и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа “да-нет” относительно свойства Р. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар вида (1) где _A(х) – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения уже в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0, 1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0, 1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M = [0, 1]; A – нечеткое множество, для которого _A(x₁) = 0,3; _A(x₂)=0; _A(x₃)=1; _A(x₄)=0,5; _A(x₅)=0,9. Тогда A можнопредставить в виде:

A = {0,3 / x₁; 0 / x₂; 1 / x₃; 0,5 / x₄; 0,9 / x₅ }

или

A = 0,3/x₁  0/x₂  1/x₃  0,5/x₄  0,9/x₅,

или

A =

x1	x2	x3	x4	x5
0,3	0	1	0,5	0,9

Основные характеристики нечетких множеств.

Пусть M = [0, 1] и A – нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M.

Величина называетсявысотой нечеткого множества A(sup F(x) – точная верхняя граница функции F(x)). Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (=1). При< 1 нечеткое множество называетсясубнормальным.

Нечеткое множество пусто, если  xE  _A(x) = 0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

.

Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством _A(x) > 0.

Примеры нечетких множеств

1. Пусть E = {0, 1, 2, .., 10}, M =[0, 1]. Нечеткое множество “несколько” можно определить следующим образом: “несколько”= 0,5/3  0,8/4  1/5  1/6  0,8/7  0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

2. Пусть E = {1, 2, 3, ..., 100} и соответствует понятию “возраст“, тогда нечеткое множество “молодой”, может быть определено с помощью функции принадлежности вида