Свойства операций. Пусть а, в, с – нечеткие множества, тогда выполняются следующие соотношения:

а) – коммутативность;

б) – ассоциативность;

в) – идемпотентность;

г) – дистрибутивность;

д) A = A, где  – пустое множество, т.е. _(x)=0 xE;

A = ;

AE = A, где E – универсальное множество;

AE = E;

е) – теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае A≠, A E, что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств.

Тема 4. Бинарные отношения

1. Бинарные отношения и операции над ними

Def. Пусть А₁, А₂, . . . , А_n – некоторые множества. Их прямым или декартовым произведением называется множество упорядоченных наборов из n элементов, т.е.

А₁А₂ . . . А_n = {(а₁, а₂, . . . , а_n) | a_iA_i }.

Если все множества A_i совпадают A = А₁ = А₂ = . . . = А_n, то прямое произведение А₁А₂ . . . А_n = Aⁿ называют прямой n-ой степенью множества А.

Отношением (n-арным отношением) между элементами множеств А₁, А₂, . . . , А_n называется любое подмножество R  А₁А₂ . . . А_n.

Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество R  AB. Если множества A и B совпадают А = В, то R называют бинарным отношением на множестве А.

Если (x, y)R, то это обозначают еще xRy и говорят, что между элементами x и y установлено бинарное отношение R.

Примеры бинарных отношений

Пусть A = B = R, пара (x, y) является точкой вещественной плоскости. Тогда бинарное отношение

R_А = { (x, y) | x² + y²  1 }

определяет замкнутый круг единичного радиуса с центром в точке (0, 0) на плоскости, отношение

R_Б = { (x, y) | x  y }

полуплоскость, а отношение

R_В= { (x, y) |  |x – y|  2 }

полосу.

Диагональ множества AA, т.е. множество ={(x,x) | xA}, называется единичным бинарным отношением или отношением равенства в A.

Областью определения бинарного отношения R называется множество _R = { xA |  yB, (x, y) R }– множество первых элементов пар (x, y).

Областью значений бинарного отношения R называется множество _R = { yB |  xA, (x, y)R }– множество вторых элементов пар (x, y).

Как для любых множеств, для бинарных отношений можно определить понятия нестрогого и строгого включения и равенства. Так, например, R₁ содержится в R₂ (R₁  R₂), если любая пара (x, y), которая принадлежит отношению R₁ а также принадлежит и отношению R₂. Например, R_А  R_В, т.к. все точки (x, y), принадлежащие кругу R_А принадлежат также полосе R_в.

Операции над бинарными отношениями определяются подобно операциям над соответствующими множествами. Пусть А – произвольное множество на котором введены бинарные отношения R, R₁, R₂,...

1) Объединение двух бинарных отношений R₁ и R₂ – это отношение

R₁  R₂ = { (x, y) | (x, y)R₁ или (x, y)R₂ }.

2) Пересечение двух бинарных отношений R₁ и R₂ – это отношение

R₁  R₂ = { (x, y) | (x, y)R₁ и (x, y)R₂ }.

3) Обратное отношение R ^–1 = { (x, y) | (y, x)R}.

4) Дополнение к отношению ={ (x, y) | (x, y)(AA) \ R}.

5) Двойственное отношение R^d = .

6) Композиция (суперпозиция) отношений R = R₁oR₂  содержит пару (x, y) тогда и только тогда, когда существует такое zA, что (x, z)R₁ и (z, y)R₂.