Дифференциал функции

Если функция дифференцируема в точке, то её приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых

, где

. Эти слагаемые являются бесконечно малыми функциями при .Первое слагаемое линейно относительно ,второе является бесконечно малой более высокого порядка, чем .Действительно,

.

Таким образом второе слагаемое при быстрее стремится к нулю и при нахождении приращения функцииглавную роль играет первое слагаемоеили (так как).

Определение. Главная часть приращения функции в точке , линейная относительно,называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается dy или df(x)

. (2)

Таким образом, можно сделать вывод: дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением, то есть .

Соотношение (2) теперь принимает вид

(3)

Замечание. Формулу (3) для краткости часто записывают в виде

(4)

Геометрический смысл дифференциала

Рис.2

Рассмотрим график дифференцируемой функции . Точкиипринадлежат графику функции. В точкеМ проведена касательная К к графику функции, угол которой с положительным направлением оси обозначим через. Проведем прямыеMN параллельно оси Ox и параллельно осиOy. Приращение функции равно длине отрезка . Из прямоугольного треугольника, в котором, получим

.

Изложенные выше рассуждения позволяют сделать вывод:

Дифференциал функции в точке изображается приращением ординаты касательной к графику этой функции в соответствующей её точке.

Связь дифференциала с производной

Рассмотрим формулу (4)

.

Разделим обе части этого равенства на dx , тогда

.

Таким образом, производная функции равна отношению её дифференциала к дифференциалу независимой переменной.

Часто это отношение рассматривается просто как символ, обозначающий производную функцииу по аргументу х.

Удобными обозначениями производной также являются:

, и так далее.

Употребляются также записи

, ,

особенно удобные, когда берется производная от сложного выражения.

2. Дифференциал суммы, произведения и частного.

Так как дифференциал получается из производной умножением её на дифференциал независимой переменной, то, зная производные основных элементарных функций, а также правила для отыскания производных, можно прийти к аналогичным правилам для отыскания дифференциалов.

1⁰. Дифференциал постоянной равен нулю

.

2⁰. Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций

.

3⁰. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений первой функции на дифференциал второй и второй функции на дифференциал первой

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

.

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение.Запишем данную функцию в виде

,

тогда получим

.

.

4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

Определение. Функция называется заданной параметрически, если обе переменныех и у определяются каждая в отдельности как однозначные функции от одной и той же вспомогательной переменной – параметра t:

где t изменяется в пределах .

Замечание. Параметрическое задание функций широко применяется в теоретической механике, где параметр t обозначает время, а уравнения представляют собой законы изменения проекций движущейся точкина осии.

Замечание. Приведем параметрические уравнения окружности и эллипса.

а) Окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет параметрические уравнения:

где .

б) Запишем параметрические уравнения для эллипса:

где .

Исключив параметр t из параметрических уравнений рассматриваемых линий, можно прийти к их каноническим уравнениям.

Теорема. Если функция у от аргумента х задана параметрически уравнениями , гдеидифференцируемые поt функции и , то

.

Пример. Найти производную функции у от х , заданной параметрическими уравнениями.

Решение. .