4. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

Теорема. Пусть функции иопределены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки, за исключением, быть может, самой точки. Пусть такжеив указанной окрестности точки. Тогда, если существует предел отношения производных(конечный или бесконечный), то существует и предел, причем справедлива формула

. (3)

Замечание 1. Теорема остается справедливой и в случае, когда ,.

Замечание 2. Если производные иудовлетворяют тем же требованиям, что и сами функциии, то правило Лопиталя можно применить повторно. При повторном применении правила Лопиталя рекомендуется сначала провести все возможные упрощения, например, сократить общие множители и использовать уже знакомые пределы.

Замечание 3. Правило Лопиталя называют ещё правилом раскрытия неопределенностей, так как с его помощью находятся пределы неопределенных выражений. Так, неопределенностью вида называется отношение двух функцийпри, если

.

Раскрыть неопределенность – это значит вычислить , если он существует, или установить, что он не существует.

Примеры.

1. =.

2..

3.

.

Если при () обе функциииодновременно стремятся к бесконечности, то есть

,

то отношение двух функций припредставляет собой неопределенность типа. Можно доказать, что правило Лопиталя справедливо и в этом случае.

Примеры.

1..

2..

3..

Из последних двух примеров можно сделать вывод о том, что многочлен любой степени растет медленнее показательной функции.

Кроме рассмотренных случаев встречаются ещё неопределенности следующих видов.

Неопределенность вида . Это обозначение указывает, что при заданном изменении независимой переменной х ( или) функция, предел которой требуется найти , представляется разностью двух функций, стремящихся к положительной бесконечности.

Этот случай сводится к неопределенностям типа илипреобразованиями.

Пример.

.

Неопределенность вида . Это обозначение указывает, что при заданном изменении независимой переменной х ( или) функция, предел которой требуется найти , представляется произведением функции, стремящейся к нулю и функции, стремящейся к бесконечности.

Пример.

.

Неопределенность вида . Это обозначение указывает, что при заданном изменении независимой переменной х ( или) функция, предел которой требуется найти , представляется степенью, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности.

Неопределенность вида . Это обозначение указывает, что при заданном изменении независимой переменной х ( или) функция, предел которой требуется найти , представляется степенью, основание которой стремится к бесконечности, а показатель – к нулю.

Неопределенность вида . Это обозначение указывает, что при заданном изменении независимой переменной х ( или) функция, предел которой требуется найти , представляется степенью и основание и показатель которой стремятся к нулю.

Неопределенности типов , , приводятся к неопределенностям типов илис помощью логарифмирования. Функция предварительно логарифмируется, и сначала отыскивается предел не заданной функции, а её логарифма, а затем уже по пределу логарифма находится предел функции, что допустимо вследствие непрерывности логарифма.

Примеры.

1.. Рассмотрим предел

.

Так как , то.