Достаточные признаки существования экстремума.

Чтобы исследовать поведение функции , нужно:

1. Найти ее производную

2) Приравнять эту производную к нулю и решить полученное уравнение Его корниявляются стационарными точками.

3) Подвергнуть стационарные точки дополнительному исследованию, для чего нанести их на числовую ось и определить знаки на получившихся участках. Зная эти знаки, можно определить характер каждой стационарной точки. Если при прохождении через стационарную точку производнаяменяет знак с плюса на минус, то стационарная точка является точкой максимума. Если при прохождении через стационарную точку знак производной меняется с минуса на плюс , то стационарная точка является точкой минимума. Если при прохождении через стационарную точку производнаязнак не меняет, то стационарная точка не является точкой экстремума.

Иногда при нахождении экстремумов используются другие достаточные условия, в которых характер точки экстремума определяется знаком второй производной в стационарной точке.

Теорема (второе достаточное условие существования экстремума).Пусть --- стационарная точка функции(то естьиимеет вторую производную, непрерывную в окрестности точки.Тогда

1)если , то--- точка максимума функции;

2)если , то--- точка минимума функции.

Пример 3. Найти экстремум функции .

Решение. Поскольку периодическая функция с периодом, достаточно рассмотреть лишь промежуток от 0 до. Найдеми:

, .

Приравнивая к нулю, найдем стационарные точки:

или . На промежуткележат два корня этого уравнения:и. Определим знакв этих точках:, следовательно--- точка максимума:

, следовательно --- точка минимума.

Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую Г, являющуюся графиком дифференцируемой функции .

Определение 1. Кривая называется выпуклой вверх (выпуклой) на (a,b), если на этом интервале все точки кривой лежат не выше любой ее касательной.

Определение 2. Кривая называется выпуклой вниз (вогнутой) на , если на этом интервале все точки кривой лежат не ниже любой ее касательной.

Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы. Установим признаки, с помощью которых определяют интервалы, на которых график функции является выпуклым (вогнутым). Таким признаком служит, например, знак второй производной функции (если она существует).

Теорема 1. Если во всех точках интервала вторая производная функцииотрицательна, то криваяна этом интервале выпукла вверх.

Теорема 2. Если во всех точках интервала вторая производная функцииположительна, то криваяна этом интервале вогнута (выпукла вниз).

Пример 1. Найти интервалы выпуклости-вогнутости функции

Решение. Приследовательно, функция при этихвыпукла; при, следовательно, при этихфункция вогнута.

Определение 3. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны - над ней.

Теорема 3. (Необходимое условие перегиба). Если есть точка перегиба кривойи в ней существует вторая производнаято.

Откуда следует, что проверять на перегиб надо лишь те точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

Теорема 4. Если при переходе через точку вторая производнаяменяет знак, то точка кривойс абсциссойесть точка перегиба.

Пример 2.Найти точки перегиба кривой .

Решение. Область допустимых значений: .

Находим производные:

; .

Вторая производная нигде не обращается в ноль, но прине существует.

Определим знаки слева и справа от точки:

при , следовательно на интервалефункция вогнута;

при , следовательно на интервалефункция выпукла.

Таким образом, при существует точка перегиба.