2 Асимптоты функций.

Определение 4. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции, если выполняется хотя бы одно из соотношений:

1)или 2).

Таким образом, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции, надо проверять точки, в которых функция терпит разрыв, а также границы области определения.

Пример 3. Найти асимптоты кривой .

Решение. Находим точки разрыва функции: .

Находим пределы слева и справа от этой точки:

; .

Следовательно, --- вертикальная асимптота.

Определение 5. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции, если

().

Таким образом, наличие асимптоты у графика функции означает, что расстояние от точки графика до асимптоты стремиться к нулю, когда точкаудаляется в бесконечность.

Теорема 5. Для того, чтобы график функции имел наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были конечными пределы

(5)

().

Пример. Найти асимптоты кривой..

Решение. 1) Найдем вертикальные асимптоты. Функция терпит разрыв при . Вычислим пределы:

.

Поэтому прямая есть вертикальная асимптота.

2) Найдем наклонные асимптоты.:

.

Таким образом, прямая --- наклонная асимптота данной кривой как при, так и при.

3. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

Укажем теперь схему действий, которую надо проделать при исследовании функции и построения ее графика:

1. найти область допустимых значений;

2. определить точки разрыва функции;

3. исследовать функцию на четность-нечетность и периодичность (наличие этих свойств упрощает построение графика);

4. если возможно, решить уравнение и тем самым найти точки пересечения с осьюOX (y=0), а затем интервалы, на которых функция не меняет знак;

5. определить интервалы возрастания и убывания функции и найти точки экстремума;

6. найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба;

7. найти асимптоты графика функции.

Пример 5. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1) область допустимых значений: ;

2) --- точка разрыва:

3) ;

и , то есть функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция непериодическая.

1. точки пересечения с осью OX: , то есть кривая пересекает ось OX в точке (3,0);

точки пересечения с осью OY: , то есть кривая пересекает осьOY в точке .

5)Для определения интервалов монотонности и нахождения экстремумов найдем производную первого порядка:

Стационарные точки: и точка, в которой производная не существует (в ней не определена и сама функция), разбивают область определения на четыре интервала. Определим знак производной на каждом из получившихся интервалов:

при , следовательно, на этом интервале функция возрастает;

при , следовательно, функция убывает;

при , следовательно, функция убывает;

при , следовательно, функция возрастает.

Так как производная меняет знак при прохождении через точку с плюса на минус, то точка (-1,-2) --- точка максимума. Так как при прохождении через точкупроизводная меняет знак с минуса на плюс, то точка--- точка минимума.

2. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости, и точек перегиба находим производную второго порядка :

;

, откуда следует, что приипри.

Таким образом, на интервале функция вогнута, а на интервалефункция выпуклая. Точек перегиба нет, так какне входит в ОДЗ.

3. Найдем асимптоты графика функции:

а) вертикальная асимптота --- вертикальная асимптота, так как

,

.

б) наклонные асимптоты:

при

, =

.

Таким образом, прямая --- асимптота при. Нетрудно показать, что эта же прямая есть асимптота при.

Пример исследования и построения приведён в методическом указании к выполнению контрольной работы № 2.