- •Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •§10.1. Дифференцируемость функции многих переменных
- •10.1.1.Определение дифференцируемости функции многих переменных. Частные производные
- •10.1.2. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных
- •§10.2. Дифференциал функции многих переменных и дифференциал отображения
- •10.2.1. Дифференциал функции многих переменных
- •10.2.2 Дифференциал отображения
- •§10.3. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Свойства матрицы Якоби
- •10.3.1. Производная сложной функции
- •10.3.2. Инвариантность формы первого дифференциала
- •10.3.3. Свойства матрицы Якоби. Якобиан
- •§10.4.Геометрические приложения
- •10.4.1. Касательная плоскость
- •10.4.2. Производная по направлению, градиент
- •§10.5.Производные и дифференциалы высших порядков
- •10.5.1. Производные высших порядков
- •10.5.2. Дифференциалы высших порядков
- •10.5.3.Второй дифференциал функции. Матрица Гессе
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
§10.1. Дифференцируемость функции многих переменных
10.1.1.Определение дифференцируемости функции многих переменных. Частные производные
Пусть определена в некоторой окрестности точки,- точка из этой окрестности.
Определение. Величина называетсяприращением функции в точке,соответствующим приращению аргумента.
Определение. Функция называетсядифференцируемой в точке , если существуют такие постоянные числаи функциипри(1)
Часто обозначают и. Тогда (1) перепишем в виде.
При наше определение (1) совпадает с известным определением дифференцируемости(пункт 6.1.1). Для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной( теоремы 6.2 и 6.3). В случае нескольких переменных ситуация несколько сложнее.
Сначала введем в рассмотрение величину . Она представляет собой приращение функции при фиксированных значениях всех производных, кромеi-той.
Пусть дифференцируема в точке. Тогда для любогоравенство (1) дает
при (2)
Поскольку при фиксированных значенияхравносильно тому, что, равенство (2) означает, что функцияодной переменнойдифференцируема в точкеи, значит, существует предел (3) называемый, по определению, частной производной функции по переменнойв точке.
Мы только что, тем самым, доказали теорему:
Теорема 10.1. Если дифференцируема в точке, то для всехсуществуют.
Таким образом, существование частных производных – необходимое условие дифференцируемости. При этом
при .
Другое необходимое условие дифференцируемости – непрерывность функции, как показывает следующая теорема.
Теорема 10.2. Если дифференцируема в точке, то.
►Достаточно доказать, что при ,, (т.к.). Но это сразу следует из равенства (1), так как. ◄
Однако, в отличие от случая , из существования частных производных,определенных равенством (3) не следует даже непрерывность функциив точкеи тем более не следует дифференцируемостьв точке, согласно теореме10.2.
Пример. Тогда , так как. Аналогично,. Однакодаже не непрерывна в точке.
10.1.2. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных
Достаточное условие дифференцируемости дает следующая теорема.
Теорема 10.3. Пусть частные производные существуют в окрестности точкии непрерывны в этой точке. Тогдадифференцируема в точке.
► Рассмотрим сначала простой случай .
Пусть точки ипринадлежат рассматриваемой окрестноститочки. Рассмотрим приращение функции в точке:и представим его в виде:
.
Зафиксировав , рассмотрим функцию от переменнойвида
.
Поскольку в существуют частные производные, функциядифференцируема на любом промежутке, содержащеми. Применим поэтому теорему Лагранжа, согласно которой
, где .
По определению частной производной,
.
Поэтому
.
Аналогичным образом,
.
Следовательно,
.
Далее, при →точкиистремятся к точке.
Непрерывность частных производных в этой точке означает, что их можно представить в виде
,
, где при→.
Поэтому получаем представление для приращения функции:
,
означающее дифференцируемость функции .Случайрассмотрен.
В общем случае пусть принадлежит рассматриваемой окрестности. При этом все точкитак же принадлежат рассматриваемой окрестности. Приращение функциипредставим в виде
(4)
и рассмотрим разности
, (5)
составляющие в сумме приращение (4).
Положим (то есть фиксируем все переменные, кроме). Тогда рассматриваемая разность (5) имеет вид. Функцияпо условию дифференцируема на отрезке, соединяющеми. Значит, она непрерывна на этом отрезке и можно применить теорему Лагранжа, согласно которой, где. Но. По условию непрерывности частных производных, гдепри.
Поэтому каждая из разностей (5) имеет вид , а приращение (4) совпадает с (3) из определения дифференцируемости. ◄
Замечание. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости функций. Например можно доказать, что функция дифференцируема в точке , но частные производные в этой точке не непрерывны.
Замечание. Тем не менее, для функции частные производные в точкеравны 0, так каки(в остальных точках,и ясно, что эти производные терпят разрыв в точке. Но функция не дифференцируема в точке (0,0) , так как её приращениене имеет вида
, где при. Действительно, полагаяи предполагая, что,
получаем , иличто невозможно, так как приправая часть стремится к 0, а левая нет!