Лекции МГУ Артамонов Линал

2.

31

®í⮬ã, ¥á«¨ z 6= 0, â® ¨¬¥¥âáï n à §«¨ç­ëå ª®à­¥© á⥯¥­¨ n ¨§ 1. ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨ z = 1, â® m-ë© ª®à¥­ì ¨§ 1 ¨¬¥¥â ¢¨¤

	"m = cos	2 m	+ i sin	2 m		:
		n		n

ᥠí⨠ª®à­¨ à ᯮ«®¦¥­ë ¢ ¢¥à設 å ¯à ¢¨«ì­®£® n-㣮«ì­¨ª , ¢¯¨á ­­®£® ¢ ¥¤¨­¨ç- ­ãî ®ªà㦭®áâì á 業â஬ ¢ 0.

32

5.

6

à㯯ë, ª®«ìæ ¨ ¯®«ï

í⮩ £« ¢¥ ¨§ãç îâáï ®á­®¢­ë¥ ¯®­ïâ¨ï ⥮ਨ £à㯯.

1.à㯯ë, ¯®¤£à㯯ë, ¯®à浪¨ í«¥¬¥­â®¢

¯®¬­¨¬ ­¥ª®â®àë¥ ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.1. ­®¦¥á⢮ G á ¡¨­ à­®© ®¯¥à 樥© 㬭®¦¥­¨ï xy ­ §ë¢ ¥âáï

£à㯯®©, ¥á«¨

(1)㬭®¦¥­¨¥ áá®æ¨ ⨢­®, â. ¥. (xy)z = x(yz) ¤«ï ¢á¥å x; y; z 2 G;

(2)áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥­â 1 2 G, ­ §ë¢ ¥¬ë© ¥¤¨­¨æ¥© G, çâ® x1 = 1x = x ¤«ï ¢á¥å x 2 G;

(3)¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â x 2 G ­ ©¤¥âáï â ª®© í«¥¬¥­â x 1, ­ §ë¢ ¥¬ë© ®¡à â­ë¬ ª x; çâ® xx 1 = x 1x = 1.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.2. ®à浪®¬ £à㯯ë G ­ §ë¢ ¥âáï ç¨á«® jGj í«¥¬¥­â®¢ ¢ G.

।«®¦¥­¨¥ 6.3. ¤¨­¨ç­ë© í«¥¬¥­â ¢ £à㯯¥ ¥¤¨­á⢥­¥­. «ï ª ¦¤®£® í«¥- ¬¥­â x 2 G ®¡à â­ë© í«¥¬¥­â x 1 ®¯à¥¤¥«¥­ ®¤­®§­ ç­®. ஬¥ ⮣®, ¥á«¨ x 2

G; â® (x 1) 1 = x.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.4. ¥¯ãá⮥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ H ¢ £à㯯¥ G ­ §ë¢ ¥âáï ¯®¤£à㯯®©,

¥á«¨ ¢¬¥áâ¥ á «î¡ë¬¨ ¤¢ã¬ï ¥£® í«¥¬¥­â ¬¨ ®­® ᮤ¥à¦¨â ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥, ¨ á ª ¦¤ë¬ ᢮¨¬ í«¥¬¥­â®¬ H ᮤ¥à¦¨â ¥£® ®¡à â­ë©.

।«®¦¥­¨¥ 6.5. ᫨ H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ G ¨ 1 { ¥¤¨­¨ç­ë© í«¥¬¥­â G, â®

1 2 H.

¯à ¦­¥­¨¥ 6.6. ¯à®¨§¢®«ì­®© £à㯯¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ «î¡®£® ç¨á« í«¥¬¥­â®¢ ­¥ § ¢¨á¨â ®â à ááâ ­®¢ª¨ ᪮¡®ª.

।«®¦¥­¨¥ 6.7. «ï ­¥¯ãá⮣® ¯®¤¬­®¦¥á⢠H ¢ £à㯯¥ G á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:

(1)H ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© ¢ G;

(2)¥á«¨ x; y 2 H; â® xy 1 2 H.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ (1), ¨ x; y 2 H. ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥­¨ï 6.4 ¯®«ãç ¥¬ x; y 1 2 H, ®âªã¤ xy 1 2 H, â. ¥. ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ (2).

¡à â­®,	¯ãáâì ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ (2), ¨ y 2 H. ®£¤ y; y 2 H, ®âªã¤ 1 = yy 1 2 H
¯® (2). «¥¥	1; y 2 H, ®âªã¤	y 1 = 1y 1 2 H ¯® (2). ª®­¥æ, ¥á«¨ x; y 2 H, â® x; y 1 2 H
¯® ¤®ª § ­­®¬ã ¢ëè¥. âáî¤		x(y 1) 1 = xy	2	H ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 6.3.

ਬ¥àë 6.8. ਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë £à㯯 ¨ ¨å ¯®¤£à㯯:

(1)£à㯯 Sn ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à㯯ë An; Sn 1;

(2)£à㯯 GL(n; C) ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à㯯ë

GL(n; R); GL(n; Q); SL(n; C); SL(n; R);

(3) £à㯯 ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à㯯ã Un = fz 2 Cjzn = 1g.

33

34	6. ,
¯à ¦­¥­¨¥ 6.9. ãáâì	1 0	i	0	2			C
0 i
I = i 0	; J = 0 1 ; K =	0	i		SL(2;			):
®ª § âì, çâ®	IJ = K; JK = I; KI = J; JI = K; KJ = I; IK = J;
(1) I2 = J2 = K2 = E;
(2) 8 ¬ âà¨æ E; I; J K ®¡à §ãîâ ¯®¤£à㯯㠪¢ â¥à­¨®­®¢ Q8 ¢ £à㯯¥ SL(2; C):
¯à ¦­¥­¨¥ 6.10. ᫨ Hi; i 2 I { ¯®¤£àã¯¯ë £à㯯ë G; â®						\i2I Hi			{ ¯®¤£à㯯
£à㯯ë G.
¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.11. ãáâì Zn = f0; 1; : : : ; n 1g. ®£¤				Zn { £à㯯 . ­					­ §ë¢ ¥âáï
£à㯯®© ¢ëç¥â®¢ ¯® ¬®¤ã«î n.

।«®¦¥­¨¥ 6.12. ¯à¥¤¥«¥­¨¥ £à㯯ë Zn ª®à४⭮.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.13. ãáâì a { í«¥¬¥­â £à㯯ë G. «ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® 楫®£® ç¨á« n

¯®«®¦¨¬	n		81;		a a ;			¥á«¨ n > 0;
a		=	>	¬­®¦¨â¥«¥©				¥á«¨ n = 0;
			>n
			>
			<(a		n)	1	;	¥á«¨ n < 0:
			>		| {z }
			>
			>
			:						2 Z
।«®¦¥­¨¥ 6.14. ãáâì a { í«¥¬¥­â ­¥ª®â®à®© £àã¯¯ë ¨ n; m										. ®£¤

an+m = anam; (an)m = anm:

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.15. ãáâì a { í«¥¬¥­â ­¥ª®â®à®© £à㯯ë. ®à浪®¬ jaj (¨«¨ o(a)) í«¥¬¥­â a ­ §ë¢ ¥âáï â ª®¥ ­ ¨¬¥­ì襥 ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«® n; çâ® an = 1: ᫨ â ª®£® ç¨á« n ­¥â, â® £®¢®àïâ, çâ® ¯®à冷ª a à ¢¥­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨.

।«®¦¥­¨¥ 6.16. ãáâì jaj = n < 1; ¨ m 2 Z. «¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ - «¥­â­ë:

(1)njm (n ¤¥«¨â m);

(2)am = 1.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.17. ãáâì a 2 G. ¥à¥§ hai ®¡®§­ 稬 ¬­®¦¥á⢮ fanjn 2 Zg ¢á¥å á⥯¥­¥© í«¥¬¥­â a.

¯à ¦­¥­¨¥ 6.18. hai ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© ¢ G.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.19. ãáâì a 2 G. ®¤£à㯯 hai ­ §ë¢ ¥âáï 横«¨ç¥áª®© ¯®¤£à㯯®© ¢ £à㯯¥ G, ¯®à®¦¤¥­­®© í«¥¬¥­â®¬ a. à㯯 G ­ §ë¢ ¥âáï 横«¨ç¥áª®© á ¯®à®¦¤ î騬 (®¡à §ãî騬) í«¥¬¥­â®¬ a; ¥á«¨ hai = G.

ਬ¥àë 6.20. ®ª § âì, çâ®

(1)£à㯯 Z ï¥âáï 横«¨ç¥áª ï á ¯®à®¦¤ î騬 í«¥¬¥­â®¬ 1 (¨«¨ -1);

(2)£à㯯 Un ª®¬¯«¥ªá­ëå ª®à­¥© n-®© á⥯¥­¨ ¨§ 1 ï¥âáï 横«¨ç¥áª®© £à㯯®© á ¯®à®¦¤ î騬 í«¥¬¥­â®¬

exp 2ni = cos 2ni + i sin 2ni;

(3)£à㯯 Zn ¢ëç¥â®¢ ¯® ¬®¤ã«î n ï¥âáï 横«¨ç¥áª®© £à㯯®© á ¯®à®¦¤ î騬 í«¥¬¥­â®¬ 1.

।«®¦¥­¨¥ 6.21. ãáâì a { í«¥¬¥­â ­¥ª®â®à®© £à㯯ë. ®£¤ jhaij = jaj:

1. , ,				35
®ª § ⥫ìá⢮. ᫨ ar = am ¯à¨ ­¥ª®â®àëå r < m, â®
am r = 1; ¨ a	= n <	1	:
j j

í⮬ á«ãç ¥

hai = f1; a; a2; : : : ; an 1g:

¡®§­ 祭¨¥ 6.22. ᫨ jaj = n ¢ ãá«®¢¨¨ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 6.21, ⮠横«¨ç¥áªãî £à㯯ã, ¯®à®¦¤¥­­ãî í«¥¬¥­â®¬ a, ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì hain.

¥®à¥¬ 6.23. ®¤£à㯯 横«¨ç¥áª®© £à㯯ë á ¬ ï¥âáï 横«¨ç¥áª®©.

H

G = hm i

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì

{ ¯®¤£à㯯

横«¨ç¥áª®© £à㯯ë

a . ᫨ H = 1,

â® ã⢥ত¥­¨¥ ®ç¥¢¨¤­®. ãáâì H ᮤ¥à¦¨â ­¥¥¤¨­¨ç­ë© í«¥¬¥­â a

; m 6= 0. ᫨

m < 0, â® H ᮤ¥à¦¨â ¨ í«¥¬¥­â a m;

m > 0. 롥६ â ª®¥ ­ ¨¬¥­ì襥 ­ âãà «ì­®¥

ç¨á«® m, çâ® b = a

m

2 H.

r

᫨ a

2 H; r 2 Z, â®, ¤¥«ï r á ®áâ ⪮¬ ­ m, ¯®«ãç ¥¬

r = sm + q; 0 q < m. ਠí⮬ ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 6.14

aq = ar sm = ar(am) s 2 H;

çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã m, ¥á«¨ q > 0.

«¥¤á⢨¥ 6.24. ãáâì m1; : : : ; mn 2 Z, ¨ d {

ç¨á¥« m1; : : : ; mn. ®£¤

áãé¥áâ-

¢ãîâ â ª¨¥ æ¥«ë¥ ç¨á« u1; : : : ; un 2 Z, çâ® m1u1 + + mnun = d.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì H = Zm1 + + Zmn. ®£¤

H { ¯®¤£à㯯 ¢ Z, ¨, á«¥¤®-

¢ ⥫쭮, H = Zd. áâ ¥âáï ã¡¥¤¨âìáï, çâ® d = (m1; : : : ; mn).

¥®à¥¬ 6.25. ãáâì G = hain ¨ H { ¯®¤£à㯯 d

¢ G. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¯à¨â®¬

¥¤¨­á⢥­­®¥ â ª®¥ ç¨á«®

d

, ¤¥«ï饥

n

, çâ®

H = ha

n

:

id

®ª § ⥫ìá⢮. ® ⥮६¥ 6.23 ¯®«ãç ¥¬ H =

h

ak

i

¤«ï ­¥ª®â®à®£® 0

k < n.

®«®¦¨¬ d = (n; k). áâ ¥âáï § ¬¥â¨âì, çâ® H = hadi:

n

«¥¤á⢨¥ 6.26. ãáâì a 2 G ¨¬¥¥â ¯®à冷ª n. ®£¤

jakj =

:

(n; k)

®ª § ⥫ìá⢮. d

G = hai

k

n

k

i

H = ha

®¦­® áç¨â âì, çâ®

. áᬮâਬ ¯®¤£à㯯ã

G. ® ⥮६¥ 6.25 H = ha i, £¤¥ d = (n; k). âáî¤ ja j = jHj = d :

«¥¤á⢨¥ 6.27. ãáâì G = hain. «¥¬¥­â ak ï¥âáï ¯®à®¦¤ î騬 ¢ G ⮣¤

¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤

(k; n) = 1.

¯à ¦­¥­¨¥ 6.28. ¯¨á âì ¢á¥ ¯®¤£àã¯¯ë ¢ hai12.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.29. ¨¥ªâ¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ £à㯯 f : G ! H ­ §ë¢ ¥âáï ¨§®¬®à- 䨧¬®¬, ¥á«¨ f(xy) = f(x)f(y) ¤«ï ¢á¥å x; y 2 G. ¡®§­ 祭¨¥ '.

ਬ¥à 6.30. (R; +) ' (R>0; ). ª ç¥á⢥ f ¢§ïâì exp.

।«®¦¥­¨¥ 6.31. ¨ª«¨ç¥áª ï £à㯯 ¯®à浪 n ¨§®¬®àä­ Un. ¥áª®­¥ç­ ï 横- «¨ç¥áª ï £à㯯 ¨§®¬®àä­ Z.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì G = hain. ¤ ¤¨¬ f : G ! Un, ¯®« £ ï f(ak) = exp(2ni):

᫨ G = hai1, â® ®¯à¥¤¥«¨¬ f : G ! Z, ¯®« £ ï f(ak) = k.

«¥¤á⢨¥ 6.32. Zn ' Un.

36

6. ,

2. ¬¥¦­ë¥ ª« ááë ¨ ⥮६ £à ­¦

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.33. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ G, ¨ g 2 G. ¥¢ë¬ ᬥ¦­ë¬ ª« áᮬ gH ­ §ë¢ ¥âáï ¯®¤¬­®¦¥á⢮ fghjh 2 Hg ¢ G.

¯à ¦­¥­¨¥ 6.34. ©â¨

(1)«¥¢ë¥ ᬥ¦­ë¥ ª« ááë GL(n; C) ¯® SL(n; C);

(2)«¥¢ë¥ ᬥ¦­ë¥ ª« ááë Z ¯® nZ;

(3)«¥¢ë¥ ¨ ¯à ¢ë¥ ᬥ¦­ë¥ ª« ááë Sn ¯® Sn 1.

¯à ¦­¥­¨¥ 6.35. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ G ¨ x; y 2 G: ®ª § âì, çâ® á«¥¤ã- î騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:

(1)xH = yH;

(2)x 1y 2 H.

।«®¦¥­¨¥ 6.36. ãáâì H { ¯®¤£à㯯	¢ £à㯯¥ G ¨ x 2 G. ®£¤ jHj = jxHj.
।«®¦¥­¨¥ 6.37. ãáâì H { ¯®¤£à㯯	¢ £à㯯¥ G ¨ x; y 2 G, ¯à¨ç¥¬ y 2 xH.
®£¤ xH = yH.

®ª § ⥫ìá⢮. á­®, çâ® yH xH. ® ãá«®¢¨î y = xh ¤«ï ­¥ª®â®à®£® h 2 H.«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® u 2 H ¯®«ãç ¥¬ xu = y(h 1u); £¤¥ h 1u 2 H. âáî¤ xH

yH, â. ¥. xH = yH.

«¥¤á⢨¥ 6.38. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ G. ®£¤ ¤¢ «¥¢ëå (¯à ¢ëå) ᬥ¦- ­ëå ª« áá G ¯® H «¨¡® ᮢ¯ ¤ îâ, «¨¡® ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï.

®ª § ⥫ìá⢮. ®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 6.37.

¥®à¥¬ 6.39 ( ¥®à¥¬ £à ­¦ ). ãáâì H { ¯®¤£à㯯 ¢ ª®­¥ç­®© £à㯯¥ G. ®£¤ jGj = jHjj, £¤¥ j { ç¨á«® «¥¢ëå (¯à ¢ëå) ᬥ¦­ëå ª« áá G ¯® H.

®ª § ⥫ìá⢮. §®¡ê¥¬ G ­ «¥¢ë¥ ᬥ¦­ë¥ ª« ááë ¯® H. ®£¤ ª ¦¤ë© í«¥- ¬¥­â x 2 G «¥¦¨â ¢ ­¥ª®â®à®¬ ª« áá¥, ¨¬¥­­®, ¢ xH. áâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï á«¥¤áâ- ¢¨¥¬ 6.38 ¨ ¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 6.36.

«¥¤á⢨¥ 6.40. ®à冷ª í«¥¬¥­â ª®­¥ç­®© £àã¯¯ë ¤¥«¨â ¯®à冷ª £à㯯ë.«¥¤á⢨¥ 6.41. à㯯 ¯à®á⮣® ¯®à浪 ï¥âáï 横«¨ç¥áª®©.

7

®«ìæ ¨ ¯®«ï

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 7.1. ®«ìæ® (­¥ ®¡ï§ ⥫쭮 áá®æ¨ ⨢­®¥). áá®æ¨ ⨢­ë¥, ª®¬¬ã- â ⨢­ë¥ ª®«ìæ .

।«®¦¥­¨¥ 7.2. «î¡®¬ ª®«ìæ® ¨¬¥¥¬ 0x = x0 = 0.

ਬ¥àë 7.3. ª ¦¥¬ àï¤ ª®«¥æ.

~ áá®æ¨ ⨢­ë¥ ª®«ìæ { ª®«ìæ ¬ âà¨æ Mat(n; R).

~áá®æ¨ ⨢­®-ª®¬¬ãâ ⨢­ë¥ ª®«ìæ { ª®«ìæ ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権 ­ ⮯®«®- £¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 7.4. ¤¨­¨ç­ë© í«¥¬¥­â, ¤¥«¨â¥«¨ ­ã«ï, ®¡à â¨¬ë¥ í«¥¬¥­âë «£¥¡àë.

।«®¦¥­¨¥ 7.5. ¤¨­¨ç­ë© í«¥¬¥­â «£¥¡àë ®¯à¥¤¥«¥­ ®¤­®§­ ç­®. ¡à â¨¬ë¥ í«¥¬¥­âë áá®æ¨ ⨢­®© «£¥¡àë ®¡à §ãîâ £à㯯㠯® 㬭®¦¥­¨î. ¡à â¨¬ë© í«¥- ¬¥­â áá®æ¨ ⨢­®© «£¥¡àë ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¤¥«¨â¥«¥¬ ­ã«ï.

«¥¤á⢨¥ 7.6. ¯®«¥ ­¥â ¤¥«¨â¥«¥© ­ã«ï.

¥®à¥¬ 7.7. àã¯¯ë ®¡à ⨬ëå í«¥¬¥­â®¢ ¢ Mat(n; k) { íâ® GL(n; k); ¤¥«¨â¥«¨ ­ã«ï ¢ Mat(n; k) { íâ® ¢ë஦¤¥­­ë¥ ¬ âà¨æë ¨ ⮫쪮 ®­¨.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 7.8. âàãªâãà ª®«ìæ ­ Zn.

।«®¦¥­¨¥ 7.9. âàãªâãà ª®«ìæ ­ Zn ®¯à¥¤¥«¥­ ª®à४⭮.

¥®à¥¬ 7.10. «¥¬¥­â k 2 Zn ®¡à ⨬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ (k; n) = 1.

«¥¬¥­â k 2 Zn ï¥âáï ¤¥«¨â¥«¥¬ ­ã«ï ⮣¤	¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤	(k; n) > 1.
®ª § ⥫ìá⢮. «¥¬¥­â k ®¡à ⨬ ⮣¤	¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤	­ ©¤¥âáï â ª®¥

ç¨á«® u 2 Zn, çâ® ku = 1, â. ¥. ¢ Z ku + nv = 1. â® íª¢¨¢ «¥­â­® ⮬ã, çâ® (k; n) = 1.ãáâì í«¥¬¥­â k 2 Zn ï¥âáï ¤¥«¨â¥«¥¬ ­ã«ï. ®£¤ ®­ ­¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ®¡à â­®£®

¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 7.5. «¥¤®¢ ⥫쭮, (k; n) > 1.

¡à â­®, ¯ãáâì d = (k; n) > 1. ®£¤ n > m = nd 1; â. ¥. m 6= 0 ¢ Zn. ਠí⮬ km = k1dm = k1n = 0 ¢ Zn.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 7.11. ®«¥.

p

ਬ¥àë 7.12. ®«ï { Q; R; C. ஬¥ ⮣®, Q[i]; Q[ 5].

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 7.13. à ªâ¥à¨á⨪ ¯®«ï char.

¥®à¥¬ 7.14. à ªâ¥à¨á⨪ ¯®«ï «¨¡® à ¢­ ­ã«î, «¨¡® ¯à®á⮥ ç¨á«®.

¥®à¥¬ 7.15. ®«ìæ® ¢ëç¥â®¢ Zn ï¥âáï ¯®«¥¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ n { ¯à®á⮥ ç¨á«®.

®ª § ⥫ìá⢮. 㦭® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© 7.10.

«¥¤á⢨¥ 7.16. char Zp = p.

37

38

7.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 7.17. ¨¥ªâ¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ª®«¥æ f : R ! R0 ­ §ë¢ ¥âáï ¨§®¬®à- 䨧¬®¬, ¥á«¨ f(x + y) = f(x) + f(y); f(xy) = f(x)f(y). ¡®§­ 祭¨¥ R ' R0.

ਬ¥à 7.18. ®ª § âì, çâ® Mat(n; Mat(m; R)) ' Mat(nm; R).

¯à ¦­¥­¨¥ 7.19. ®ª § âì, çâ® ¯à¨ ¨§®¬®à䨧¬¥ f : R ! R0

(1)f(1) = 1 ¨ ®¡à â¨¬ë¥ í«¥¬¥­âë ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ®¡à ⨬ë¥;

(2)¤¥«¨â¥«¨ ­ã«ï ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ¤¥«¨â¥«¨ ­ã«ï.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 7.20. ®¤¬­®¦¥á⢮ K ¢ ª®«ìæ¥ á 1 (¯®«¥) R ­ §ë¢ ¥âáï ¯®¤ª®«ì殬 (¯®¤¯®«¥¬), ¥á«¨ K ᮤ¥à¦¨â 1 ¨ ¨§ ⮣®, çâ® x; y 2 K á«¥¤ã¥â, çâ® x + y; xy 2 K (¢ á«ãç ¥ ¯®«¥© x 1 2 K; ¥á«¨ x 6= 0.

ਬ¥àë 7.21. Z ï¥âáï ¯®¤ª®«ì殬 ¢ Q, Q ï¥âáï ¯®¤¯®«¥¬ ¢ R; C. Mat(n; Z) ï¥âáï ¯®¤ª®«ì殬 ¢ Mat(n; R).

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 7.22. ®«ìæ® ¡¥§ ¤¥«¨â¥«¥© ­ã«ï ­ §ë¢ ¥âáï ®¡« áâìî. à㣨¬¨ á«®- ¢ ¬¨, ª®«ìæ® R ï¥âáï ®¡« áâìî, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå x; y 2 R ¨§ ⮣®, çâ® xy = 0; á«¥¤ã¥â,

çâ® «¨¡® x = 0; «¨¡® y = 0.

а¨¬¥а 7.23. ¡« бвп¬¨ п¢«повбп Z, «о¡®¥ ¯®«¥.

¯à ¦­¥­¨¥ 7.24. ãáâì a; b; c { í«¥¬¥­âë ¨§ ­¥ª®â®à®© ®¡« áâ¨, ¨ a 6= 0. ᫨ ab = ac, â® b = c.

8

­®£®ç«¥­ë ¨ àï¤ë ®â ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©

1. ®«ìæ® ¬­®£®ç«¥­®¢ ®â ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©

ãáâì R { áá®æ¨ ⨢­®¥ ª®«ìæ® á 1. áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ R[X] ¢á¥å ¯®ç⨠­ã«¥¢ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩

a = (a0; a1; : : : )		(34)
í«¥¬¥­â®¢ ¨§ R. ¯à¥¤¥«¨¬ ¢ R[X] ®¯¥à æ¨î á«®¦¥­¨ï ¯®-ª®®à¤¨­ â­®. ஬¥ ⮣®, ¥á«¨
a ¨§ (34),
b = (b0; b1; : : : );
â®
c = ab = (c0; c1; : : : );
£¤¥ ¤«ï «î¡®£® k 0	k
ck =	Xi
	aibk i:	(35)
	=0
।«®¦¥­¨¥ 8.1. R[X] ï¥âáï	áá®æ¨ ⨢­ë¬ ª®«ì殬 á 1. ᫨	R ª®¬¬ãâ -
⨢­®, â® ¨ R[X] ª®¬¬ãâ ⨢­®.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8.2. R[X] ­ §ë¢ ¥âáï ª®«ì殬 ¬­®£®ç«¥­®¢.

।«®¦¥­¨¥ 8.3. á¥ í«¥¬¥­âë (a0; 0; : : : ) 2 R[X] ®¡à §ãîâ ¯®¤ª®«ìæ®, ¨§®¬®àä- ­®¥ R.

®ª §	⥫ìá⢮.	§®¬®à䨧¬ § ¤ ¥âáï ¯® ¯à ¢¨«ã a 7!(a; 0; : : : ) 2 R[X].
¡®§­	祭¨¥ 8.4.	áî¤ã ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ ®â®¦¤¥á⢫ïâì a 2 R á (a; 0; : : : ) 2

R[X]. ®«®¦¨¬ X = (0; 1; 0; : : : ).

।«®¦¥­¨¥ 8.5. «ï «î¡®£® n 1

Xn = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : )

᫨ a ¨§ (34), â®	|		{z		}
			n
	a = a0 + a1X + + anXn; ai 2 R:					(36)

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8.6. ãáâì a 2 R[X] ¨§ (36), ¯à¨ç¥¬ an 6= 0: ⥯¥­ìî a ­ §ë¢ ¥âáï deg a = n. a0 ­ §ë¢ ¥âáï ᢮¡®¤­ë¬ ç«¥­®¬ a. an ­ §ë¢ ¥âáï áâ à訬 ç«¥­®¬ a. ­®£®- ç«¥­ë ­ã«¥¢®© á⥯¥­¨ ¨ ­ã«¥¢®© ¬­®£®ç«¥­ ­ §ë¢ îâáï ª®­áâ ­â ¬¨. ­®£®ç«¥­ë á® áâ à訬 ª®íää¨æ¨¥­â®¬ 1 ­ §ë¢ îâáï ã­¨â à­ë¬¨.

а¥¤«®¦¥­¨¥ 8.7. в аи¨© (б¢®¡®¤­л©) з«¥­ ¯а®¨§¢¥¤¥­¨п ¬­®£®з«¥­®¢ а ¢¥­ ¯а®¨§¢¥¤¥­¨о бв аи¨е (б¢®¡®¤­ле) з«¥­®¢ ᮬ­®¦¨в¥«¥©. з бв­®бв¨, ®¡а в¨¬л¬¨ н«¥¬¥­в ¬¨ R[X] п¢«повбп ®¡а в¨¬л¥ ¢ R ª®­бв ­вл.

«¥¤á⢨¥ 8.8. ᫨ R { ®¡« áâì, â® ¨ R[X] { ®¡« áâì. ஬¥ ⮣®, ¥á«¨ f; g 2 r[X] n 0, â® deg(fg) = deg f + deg g. ᫨ f; g; f + g 6= 0, â® deg(f + g) max(deg f; deg g).

39

40

8.

2. ¥«¥­¨¥ ¬­®£®ç«¥­®¢

¡®§­ 祭¨¥ 8.9. áî¤ã ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® R { ¯®«¥.

í⮬ á«ãç ¥, £à㯯 ®¡à ⨬ëå í«¥¬¥­â®¢ R[X] ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬ã«ì⨯«¨ª ⨢­®© £à㯯®© R ¢á¥å ­¥­ã«¥¢ëå ª®­áâ ­â.

¥®à¥¬ 8.10 ( ¥«¥­¨¥ á ®áâ ⪮¬). ãáâì f; g 2 R[X], ¯à¨ç¥¬ g 6= 0. ®£¤ áã- é¥áâ¢ãîâ ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨­á⢥­­ë¥ â ª¨¥ q; r 2 R[X], çâ®

(1)f = qg + r;

(2)r = 0 ¨«¨ deg r < deg g.

®ª § ⥫ìá⢮. ãé¥á⢮¢ ­¨¥.

᫨ f

= 0 ¨«¨ deg f

< deg g, â® ¯®« £ ¥¬ q = 0; r = g. ãáâì deg f = n, ¨ ¤«ï

¬¥­ìè¨å á⥯¥­¥© ⥮६

¤®ª § ­ . ।¯®«®¦¨¬, çâ® an; bm { áâ à訥 ª®íää¨æ¨¥­âë

an

, ®âªã¤

f; g. ®£¤

á⥯¥­ì h = f

Xn mg ¬¥­ìè¥ n. ® ¨­¤ãªæ¨¨ h = q0g + r0

bm

f = h +

an

Xn mg = (q0 +

an

Xn m)g + r0:

bm

bm

¤¨­á⢥­­®áâì.

ãáâì

®£¤ g(q

f = qg + r = q0g + r0;

q0

deg r; deg r0

< deg g; ¥á«¨ ®­¨ ­¥­ã«¥¢ë¥.

q0) = r0

r. ᫨ q

= 0, â® r

r0 = 0: âáî¤

¯® á«¥¤á⢨î 8.8

6

6

deg g > deg(r r0) = deg(g(q q0)) = deg g + deg(q q0) deg g:

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8.11. ­®£®ç«¥­ q ­ §ë¢ ¥âáï ç áâ­ë¬,

¬­®£®ç«¥­ r ®áâ ⪮¬ f

¤¥«¥­¨ï ­

g. ­®£®ç«¥­ g ¤¥«¨â f, ¥á«¨ r = 0. ¡®§­ 祭¨¥ gjf.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8.12. ¨¡®«ì訬 ®¡é¨¬ ¤¥«¨â¥«¥¬ ¬­®£®ç«¥­®¢ f1; : : : ; fm, ­¥ ¢á¥ ¨§ ª®â®àëå à ¢­ë ­ã«î, ­ §ë¢ ¥âáï â ª®© ¬­®£®ç«¥­ d, çâ®

(1)djfi; i = 1; : : : ; m;

(2)¥á«¨ d0 2 R[X]; ¨ d0jfi; i = 1; : : : ; m; â® d0jd.

¨¡®«ì訩 ®¡é¨© ¤¥«¨â¥«ì ¬­®£®ç«¥­®¢ f1; : : : ; fm, ®¡®§­ ç ¥âáï «¨¡® (f1; : : : ; fm), «¨¡®

(f1; : : : ; fm).

।«®¦¥­¨¥ 8.13. (f1; : : : ; fm), ®¯à¥¤¥«¥­ ®¤­®§­ ç­®, á â®ç­®áâìî ¤® ¬­®¦¨- â¥«ï ­ã«¥¢®© á⥯¥­¨ (­¥­ã«¥¢®© ª®­áâ ­âë). ஬¥ ⮣®,

(f1; (f2; : : : ; fm)):

§«®¦¨¬ «£®à¨â¬ ¢ª«¨¤ ­ 宦¤¥­¨ï ­ ¨¡®«ì襣® ®¡é¥£® ¤¥«¨â¥«ï ¤¢ãå ¬­®£®- ç«¥­®¢ f; g, g 6= 0. 㤥¬ ¤¥«¨âì á ®áâ ⪮¬.

	f = q1g + r1;	deg r1 < deg g;
	g = q2r1 + r2;	deg r2	< deg r1;
	r1 = q3r2 + r3;	deg r3	< deg r2;	(37)
	: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
	rk = qk+2rk+1 + rk+2;	deg rk+2	< deg rk+1;
	rk+1 = qk+3rk+2:

⬥⨬, çâ® ¢ (37) ç¨á«® k áãé¥áâ¢ã¥â, ¯®áª®«ìªã á⥯¥­¨ ®áâ ⪮¢ ã¡ë¢ îâ.