Лекции МГУ Артамонов Линал

	3.							61
®ª § ⥫ìá⢮. ᫨ R(f; g) = 0, â® ã⢥ত¥­¨¥ ®ç¥¢¨¤­®. ãáâì								R(f; g) 6= 0.
¥è ï á¨á⥬ã (75) ®â­®á¨â¥«ì­® 1 ¯® ¯à ¢¨«ã à ¬¥à , ¯®«ãç ¥¬
			Uf + V G
	1 =						; U; V 2 R[X]:
				R(f; g)
	U				V
áâ ¥âáï ¯®«®¦¨âì u =		; v =				:
	R(f; g)				R(f; g)

¥®à¥¬ 9.25. «¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:

(1)R(f; g) 6= 0;

(2)(f; g) = 1.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì (f; g) = 1 ¨ R(f; g) = 0. ®£¤									áâப¨ R(f; g) «¨­¥©­®
§ ¢¨á¨¬ë. ®í⮬㠭 ©¤¥âáï â ª ï ­¥­ã«¥¢ ï áâப
				= ( n+m 1; : : : ; 0);
çâ® R(f; g) = 0. ᨫã (75) ¯®«ãç ¥¬, çâ®
	Xm 1f	1
0Xm 2f
B ...		C
B	f	C	= (	Xm 1 + +		)f + (		Xn 1	+ +		)g = 0:
B		C					n 1
BXn 1g C			n+m 1		n					0
B		C
BXn 2g C
B		C
B .		C
B ..		C
B		C
B	g	C
B		C
@		A

® (f; g) = 1. ®í⮬㠨§ ¯®á«¥¤­¥£® à ¢¥­á⢠¢ë⥪ ¥â, çâ®

fj( n 1Xn 1 + + 0); gj( n+m 1Xm 1 + + n):

â® ¢®§¬®¦­® «¨èì ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ = 0, â ª ª ª «¨¡® deg f = n, «¨¡® deg g = m.

¡à â­®, ¯ãáâì R(f; g) 6= 0. ® ⥮६¥ 9.24 áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ¬­®£®ç«¥­ë u; v, çâ® R(f; g) = fu + gv. ®£¤ 1 = f R(uf;g) + g R(uf;g) , ¨ ¯®í⮬ã (f; g) = 1.

«¥¤á⢨¥ 9.26. ãáâì f; g 2 C[X]. «¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:

(1)R(f; g) = 0;

(2)f; g ¨¬¥îâ ®¡é¨© ª®à¥­ì.

«¥¤á⢨¥ 9.27. ᫨ R { ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¯®«¥, ¨ f; g 2 R[X] ¨¬¥îâ ®¡é¨© ª®à¥­ì, â® R(f; g) = 0.

¬ ¯®âॡã¥âáï á«¥¤ãî饥

।«®¦¥­¨¥ 9.28. ãáâì R { ª®¬¬ãâ ⨢­®- áá®æ¨ ⨢­ ï ®¡« áâì á 1, ¨ f(X1; : : : ; Xn) 2 R[X1; : : : ; Xn]:

᫨ f(X1; X2; X3; : : : ; Xn) = 0, â®

f(X1; : : : ; Xn) = (X1 X2)h(X1; : : : ; Xn); h(X1; : : : ; Xn) 2 R[X1; : : : ; Xn]:

®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥â¨¬, çâ®

R[X1; : : : ; Xn] = R[X1; X1 X2; X3; : : : ; Xn]:

®í⮬ã

f(X1; : : : ; Xn) = u(X1; X3; : : : ; Xn) + (X1 X2)h(X1; : : : ; Xn):

âáî¤ á«¥¤ã¥â ã⢥ত¥­¨¥.

62	9.
¥®à¥¬	9.29. ãáâì K { ª®¬¬ãâ ⨢­®- áá®æ¨ ⨢­ ï ®¡« áâì á 1,
		R = K[X1; : : : ; Xn; Y1; : : : ; Ym]:
R[X] ¯®«®¦¨¬
	f = anXn + an 1Xn 1 + + a0; ak = ( 1)kan (X1; : : : ; Xn);
	g = bmXm + bm 1Xm 1 + + b0;										bk = ( 1)kbm (Y1; : : : ; Ym);																(76)
£¤¥ an; bn 2 K ­¥ à ¢­ë ­ã«î. ®£¤										Y
			R(f; g) = anmbmn							i;j	(Xi Yj):
®ª § ⥫ìá⢮. ¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, çâ® an = bm = 1. ᫨
Xi ®â®¦¤¥á⢨âì á ­¥ª®â®àë¬			Yj, â® R(f; g)							®¡à â¨âìáï ¢ 0 ¯® á«¥¤á⢨î 9.27.																	ª¨¬
®¡à §®¬, ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 9.28
		R(f; g) = A				(Xi Yj);						A 2 R:															(77)
					i;j
® ä®à¬ã« ¬ ¨¥â					Y
			Y						Y
				(Xi Yj) =						g(Xi):																	(78)
j(X1; : : : ; Xn) ¯® Xi à		Q	i;j							i	R(f; g)						Xi
																							m
«¥¤®¢ ⥫쭮, á⥯¥­ì		i;j(Xi Yj) ¯® «î¡®¬ã Xi à ¢­														m. ¤à㣮© áâ®à®­ë, á⥯¥­ì
		¢­ 1.	®í⮬ã á⥯¥­ì												¯®				­¥ ¬¥­ìè¥						. ª¨¬ ®¡-
à §®¬, ¢ (77) á⥯¥­ì A ¯® Xi à ¢­					0.		­ «®£¨ç­ë¥ à áá㦤¥­¨ï ¯à¨¬¥­¨¬ë ¤«ï ¢á¥å
¯¥à¥¬¥­­ëå Xi; Yj. ®í⮬ã A 2 K.
®«®¦¨¬		X1 = = Xn = 0; Y1 = = Ym = 1:
®£¤
							i(0; : : : ; 0) = 0;									j(1; : : : ; 1) = j :
i;j (Xi Yj) = ( 1)mn; ¨
Y																						m
âáî¤		0		1		0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :																		0
		1		0		0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :																		0
		: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
		0		0		0 : : :					1			0			: : : : : : : : : : :							0
				m	: : : : : : : : : : : : :							(		1)m				0	: : :					0			= ( 1)mn:
R(f; g)(0; : : : ; 0; 1; : : : ; 1) = 1			1
			1		.	..	.		..	.	..		.	..			.	..	.	..				0
		0
			.	..	.	..	.		..	.	..		.	..			.	..			m
																			( 1)					0
		0
																								1)		m
		: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : (
®í⮬ã A = 1.
					n(n 1)
¥®à¥¬	9.30. an Disc(f) = ( 1)							R(f; f			0):
						2

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì

f = anXn + an 1Xn 1 + + a0; f0 = nanXn 1 + + a1:

᫨ x1; : : : ; xn { ª®à­¨ f, â® ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६¥ (á¬. (78))

	n
	iY
R(f; g) = ann 1	f0(xi):
	=1

3.

63

ëç¨á«¨¬ f0(xi): ¬¥¥¬

n

n

n

Y

XY

f = an

(X xi); f0 =

(X xj):

i=1

i=1 j6=i

âáî¤

n

Y

(xi xj);

f0(xi) = an

¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮,

j6=i

a2n

R(f; f0) = a2n 1

n

(x x ) =

Disc(f):

1( 1)n(n2 1)

n

(x

Qx )2Q=6a (

1)n(n2 1)

i=1

j=i

i

j

n

Qj<i

i j

n