Лекции МГУ Артамонов Линал

8.

51

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8.71. ãáâì a 2 R[X] ¨§ (36), ¯à¨ç¥¬ a0 = : : : = an 1 = 0; an 6= 0:®à浪®¬ o(f) ­ §ë¢ ¥âáï ç¨á«® n. an ­ §ë¢ ¥âáï ¬« ¤è¨¬ ç«¥­®¬ f.

áî¤ã ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, R { ®¡« áâì.

।«®¦¥­¨¥ 8.72. ®à冷ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï à冷¢ à ¢¥­ á㬬¥ ¨å ¯®à浪®¢. « ¤- 訩 ç«¥­ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï à冷¢ à ¢¥­ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ¬« ¤è¨å ç«¥­®¢ ᮬ­®¦¨â¥«¥©. ç áâ­®áâ¨, R[[X]] { ®¡« áâì.

¯à ¦­¥­¨¥ 8.73. o(f + g) o(f); o(g).

¥®à¥¬ 8.74. «¥¬¥­â f ¨§ (56) ®¡à ⨬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ a0 ®¡à ⨬

¢ R.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì
g = b0 + b1X + = f 1; bi 2 R:	(57)

®£¤ 1 = gf, ®âªã¤ 1 = a0b0. ­ «®£¨ç­®, ¨§ 1 = fg, ®âªã¤ 1 = b0a0.

¡à â­®, ¯ãáâì f ¨§ (56) ¨ a0 ®¡à ⨬® ¢ R. 㤥¬ ¨áª âì g = f 1 ¢ ¢¨¤¥ (57), £¤¥ b0 = a0 1: «ï «î¡®£® j 1 ¨§ ãá«®¢¨ï fg = 1 ¨¬¥¥¬

ajb0 + aj 1b1 + + a0bj = 0:

âáî¤

bj = a0 1 [ajb0 + aj 1b1 + + a1bj 1] :

â á¨á⥬ à ¢¥­á⢠¯®§¢®«ï¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮 ®¯à¥¤¥«¨âì ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥­âë bj; j 1.â ª, ¤«ï f ­ 襫áï ¯à ¢ë© ®¡à â­ë© í«¥¬¥­â g. ª ª ª ᢮¡®¤­ë© ç«¥­ g ®¡à ⨬, â® ¤«ï g ­ ©¤¥âáï ¯à ¢ë© ®¡à â­ë© h, â. ¥. gh = 1. âáî¤ f = f(gh) = (fg)h = h.

áî¤ã ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® R { ¯®«¥.

«¥¤á⢨¥ 8.75. ¦¤ë© ­¥­ã«¥¢®© í«¥¬¥­â f ¨§ R[[X]] ¨¬¥¥â ¢¨¤ f = Xnu, £¤¥ n = o(f) 0 ¨ u { ®¡à â¨¬ë© í«¥¬¥­â ¨§ R[[X]].

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8.76. ª ª ª R[[X]] { ª®¬¬ãâ ⨢­ ï ®¡« áâì, â® ¤«ï ­¥¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«¥ ¤à®¡¥© R((X)). ­® ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«¥¬ «®à ­®¢áª¨å à冷¢ .

।«®¦¥­¨¥ 8.77. ¦¤ë© ­¥­ã«¥¢®© í«¥¬¥­â ¨§ R((X)) ®¤­®§­ ç­® ¯à¥¤áâ ¢«ï-

¥âáï ¢ ¢¨¤¥ Xnu, £¤¥ n 2 Z ¨ u { ®¡à â¨¬ë© í«¥¬¥­â ¨§ R[[X]].

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì

a = X

m

u; b = X

m

v

, £¤¥

n; m 0

, ¨

u; v

{ ®¡à â¨¬ë¥ í«¥-

a

¬¥­âë ¨§ R[[X]]. ®£¤

= Xm nuv 1

¨¬¥¥â 㪠§ ­­ë© ¢¨¤.

b

᫨ Xsu = Xlv 2 R((X)), ¨ s l, â® Xs l = uv 1: à ¢­¨¢ ï ᢮¡®¤­ë¥ ç«¥­ë, ¯®«ãç ¥¬ s l = 0: ⮣¤ u = v.

«¥¤á⢨¥ 8.78. ᫨ f 2 R((X)) n 0, â® f ®¤­®§­ ç­® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ «®à -

­®¢áª®£® àï¤
f = anXn + an+1Xn+1 + ; n 2 Z;				ai 2 R;	an 6= 0:			(58)
¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8.79. ãáâì f 2 R((X)) ¨§ (58). ®«®¦¨¬
f0 = nanXn 1 + (n + 1)an+1Xn + 2 R((X)):								(59)
।«®¦¥­¨¥ 8.80. ᫨ f; g		2	R((X)), â® (f + g)0 = f0		+ g0, (fg)0 = f0g + fg0.
®ª § ⥫ìá⢮. ¥¯®á।á⢥­­ ï ¯à®¢¥àª				á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ (59) ¨ (55).
«¥¤á⢨¥ 8.81. ᫨ f; g		R((X)), â® (g 1f)0 = g 2			(f0g		fg0).	ç áâ­®áâ¨,
(gn)0 = ngn 1g0 ¤«ï ¢á¥å n	. 2
	2 Z

52

8.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8.82. ¡®§­ 稬 ç¥à¥§ XR[[X]] ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å g 2 R[[X]], ¨¬¥îé¨å ¯®à冷ª ­¥ ¬¥­ìè¥ 1î ãáâì f 2 R[[X]], g 2 XR[[X]]. ®¤áâ ­®¢ª®© àï¤ g ¢ àï¤ f ¨§ (56) ­ §®¢¥¬ àï¤

f(g) = a0 + a1g + + angn +						(60)
¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8.83.	।«®¦¥­¨¥ 8.84. ¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ àï¤					¢ àï¤
ª®à४⭮.
®ª § ⥫ìá⢮. ¥©á⢨⥫쭮, â ª ª ª o(gn) n, â® ¢ (60).					ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ Xm
ᮢ¯ ¤ ¥â á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ ¯à¨ Xm ã a0 + a1g + + am 1gm 1
¥®à¥¬ 8.85. ãáâì f	2	R[[X]], g	2	XR[[X]]. ®£¤ f(g)0 = f0(g)g0:

®ª § ⥫ìá⢮. ®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ Xm ã f(g)0 ᮢ¯ ¤ ¥â á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ ¯à¨

Xm ã (a + a g +

+ a

gm)0. «¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® á«¥¤á⢨î 8.81 ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ Xm ã

f(g)0 à ¢0¥­ 1

m

a1g0 + + mamgm 1g0 = (a1 + 2a2g + + mamgm 1)g0:

âáî¤ á«¥¤ã¥â ã⢥ত¥­¨¥.

áî¤ã ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ¯®«¥

R ¨¬¥¥â ­ã«¥¢ãî å à ªâ¥à¨á-

⨪ã.

।«®¦¥­¨¥ 8.86. ãáâì f; g 2 R[[X]], ¯à¨ç¥¬ f0

= g0. ®£¤ f = g + c; c 2 R.

¯à ¦­¥­¨¥ 8.87. ãáâì f 2 R[[X]] ¨§ (56). ®£¤

¤«ï «î¡®£® j 0

=

f

(j)(0)

aj

:

j!

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8.88. ãáâì f 2 XR[[X]]. ®«®¦¨¬

X

( 1)i 1 fi:

exp(f) = 1 + f

+

+ fn

+

;

ln(1 + f) =

1!

n!

j 1

i

8.89. ᫨ o(f); o(g) 1, â® exp(f + g) = exp f exp g, ¨ (ln(1 + f))0 =

f0

¥®à¥¬

:

1 + f

®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥¥¬

exp f exp g = (1 + 1!f + +

P fi fj P 1 P

i;j 0 i! j! = t 0 t! i+j=t

fn

n! t!

i!j!

	g				gn
+ )(1 +			+ +			+ ) =
	1!				n!
figj = Pt 0			1	(f + g)t = exp(f + g):
			t!

«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¢â®à®£® ã⢥ত¥­¨ï § ¬¥â¨¬, çâ® ¯® ⥮६¥ 8.85

X

(ln(1 + f))0 = ( 1)j 1fi 1f0 = (1 + f) 1f0:

j 1

¥®à¥¬ 8.90. ᫨ o(f) 1, â®

ln(exp f) = f; exp(ln(1 + f)) = f:

®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç­® ¯®ª § âì ã⢥ত¥­¨¥ ¯à¨ f = X. ëç¨á«¨¬ ¯à®¨§- ¢®¤­ãî, ¨á¯®«ì§ãï ⥮६ã 8.89,

(ln(exp X))0 = (ln(1 + (exp X	1)))0 =	(exp X 1)0			=	exp X	= 1 = X0:
		1 + (exp X		1)	exp X

8.

53

âáî¤ ln(exp X) = X + c; c 2 R ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î ¯à¥¤«®¦¥­¨î 8.86. ®¤áâ ¢«ïï X = 0, ¯®«ãç ¥¬ ln(exp 0) = 0 = c:

áᬮâਬ ⥯¥àì àï¤

exp(ln(1 + X))

1 + X

¨ ¢ëç¨á«¨¬ ¥£® ¯à®¨§¢®¤­ãî, ¨á¯®«ì§ãï á«¥¤á⢨¥ 8.81 ¨ ⥮६ã 8.89

exp(ln(1 + X))

0

[exp(ln(1 + X))] (1 + X)

exp(ln(1 + X))

=

0

=

1 + X

(1 + X)2

exp(ln(1+X))

(1 + X) exp(ln(1 + X))

1+X

= 0

(1 + X)2

âáî¤

exp(ln(1 + X))

2 R:

®¤áâ ¢«ïï X = 0 ¯®«ãç ¥¬

1 + X

exp(ln(1 + X))

= exp(ln 1)) = exp 0 = 1:

1 + X

«¥¤á⢨¥ 8.91. ­®¦¥á⢮ XR[[X]] ï¥âáï £à㯯®© ®â­®á¨â¥«ì­® á«®¦¥­¨ï.

ãáâì 1 + XR[[X]]

{ ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å à冷¢ ¨§

R[[X]]

ᮠ᢮¡®¤­ë¬ ç«¥­®¬ 1.

®£¤

1 + XR[[X]] { £à㯯

®â­®á¨â¥«ì­® 㬭®¦¥­¨ï. â®¡à ¦¥­¨¥

exp : XR[[X]]

! 1 +

XR[[X]] § ¤ ¥â ¨§®¬®à䨧¬ íâ¨å £à㯯. ¡à â­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ª ­¥¬ã ¨¬¥¥â ¢¨¤

ln : 1 + XR[[X]] ! XR[[X]]. ç áâ­®áâ¨, ln((1 + f)(1 + g)) = ln(1 + f) + ln(1 + g) ¤«ï ¢á¥å f; g 2 XR[[X]].

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8.

9

­®£®ç«¥­ë ®â ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå

1. ®«ìæ® ¬­®£®ç«¥­®¢ ®â ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 9.1. ãáâì R { áá®æ¨ ⨢­®¥ ª®«ìæ® á 1. ® ¨­¤ãªæ¨¨ ¯®«®¦¨¬

R[X; : : : ; Xn] = (R[X; : : : ; Xn 1])[Xn]:

ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤ë© í«¥¬¥­â ¨§ R[X; : : : ; Xn] ®¤­®§­ ç­® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë

®¤­®ç«¥­®¢

ai1;::: ;in X1i1 Xnin ; ai1;::: ;in 2 R;

(61)

£¤¥ i1; : : : ; in 2 N[0. ãáâì (N[0)n { ¬­®¦¥á⢮ ¬ã«ì⨨­¤¥ªá®¢, â. ¥. ¬­®¦¥á⢮ ­ ¡®à®¢ (i1; : : : ; in) í«¥¬¥­â®¢ ¨§ N [ 0. ®£¤ ®¤­®ç«¥­ (61) § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥

aiXi; i = (i1; : : : ; in) 2 (N [ 0)n; Xi = X1i1 Xnin :

§ á«¥¤á⢨ï 8.8 ¢ë⥪ ¥â

¥®à¥¬ 9.2. ᫨ R { ®¡« áâì, â® ¨ R[X; : : : ; Xn] { ®¡« áâì.

«ï áà ¢­¥­¨ï ®¤­®ç«¥­®¢ ¢¢¥¤¥¬ ¢ (N [ 0)n ®â­®è¥­¨¥ ¯®à浪 .

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 9.3. ãáâì

m = (m1; : : : ; mn); r = (r1 : : : ; rn) 2 (N [ 0)n:

ª ¦¥¬, çâ® m > r, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ 1 j < n, çâ®
m1 = r1; : : : ; mj 1 = rj 1; mj > rj:		(62)
।«®¦¥­¨¥ 9.4. ᫨ m > m0; m0 > m00, â® m > m00. ஬¥ ⮣®, m		m, ¨ ¥á«¨
m m0; m0 m, â® m = m0.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì
m = (m1; : : : ; mn); m0 = (m10 : : : ; mn0 ); m00 = (m100 : : : ; mn00):		(63)
ãáâì
m1 = m10 ; : : : ; mj 1 = mj0 1; mj > mj0 ;		(64)
m10 = m100; : : : ; mj0 0 1 = mj000 1; mj0 0 > mj000:

᫨ s = min(j; j0), â®

m1 = m001 ; : : : ; ms 1 = m00s 1; ms > m00s :

®í⮬ã m > m00. ­ «®£¨ç­® ¤®ª §ë¢ îâáï ®áâ «ì­ë¥ ã⢥ত¥­¨ï.

¥®à¥¬ 9.5. î¡ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì M1 M2 : : : ¢ (N [ 0)n áâ ¡¨«¨§¨àã- ¥âáï.

55

56	9.
	®ª § ⥫ìá⢮. ®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢®¤¨âáï ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® n. ᫨ n = 1, â®

ã⢥ত¥­¨¥ ®ç¥¢¨¤­®. ãáâì ¤«ï n 1 ⥮६ ¤®ª § ­ . ᫨ Mi = (mi1; mi2; : : : ; min),

â® ¯® ãá«®¢¨î m11 m21 : : : . «¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ k, çâ® mk;1 = mk+1;1 =

: : : . ® ãá«®¢¨î ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢ (N [ 0)n 1 ¯®«ãç ¥¬

(mk;2; : : : ; mk;n) (mk+1;2; : : : ; mk+1;n) : : :

® ¨­¤ãªæ¨¨ íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì áâ ¡¨«¨§¨àã¥âáï ­ 稭 ï á ­¥ª®â®à®£® ¬¥áâ t. ®£¤

Mt = Mt+1 = : : : :

।«®¦¥­¨¥ 9.6. ᫨ m; m0; m00 2 (N [ 0)n ¨ m > m0, â® m + m00 > m0 + m00.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì m; m0; m00	¨§ (63) ¨ ¢ë¯®«­¥­® (64). ®£¤
m1 + m100 = m10 + m100; : : : ; mj 1 + mj00 1 = mj0 1 + mj00 1; mj + mj00 > mj0 + mj00:
«¥¤á⢨¥ 9.7. ᫨ m; m0; m00; m000	2	(	N [	0)n	¨ m		m0; m00		m000, â® m + m00	>
m0 + m000.
¯à¥¤¥«¥­¨¥ 9.8. ãáâì
2 X		aiXi 6= 0:
f =									(65)
i (N[0)n
¤­®ç«¥­ amXm ¨§ í⮣® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ­ §ë¢ ¥âáï					áâ à訬 ¢ f, ¥á«¨ m > j ¤«ï ¢á¥å
â ª¨å j 2 (N [ 0)n, çâ® aj 6= 0.
áî¤ã ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¢ í⮩ £« ¢¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ®								R { áá®æ¨ ⨢­®-
ª®¬¬ãâ ⨢­ ï ®¡« áâì á 1. § á«¥¤á⢨ï 9.7 ¢ë⥪ ¥â

¥®à¥¬ 9.9. â à訩 ®¤­®ç«¥­ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¬­®£®ç«¥­®¢ à ¢¥­ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î áâ àè¨å ®¤­®ç«¥­®¢.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 9.10. ­®£®ç«¥­ f ¨§ (9.7) ®¤­®à®¤¥­ á⥯¥­¨ d, ¥á«¨ ¢ «î¡®¬ ­¥­ã«¥- ¢®¬ ®¤­®ç«¥­¥ aiXi ¨§ (9.7), £¤¥ i = (i1; : : : ; in), ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ i1 + + in = d.

¯à ¦­¥­¨¥ 9.11. ãáâì f ¨§ (9.7) ¨ fd { ¥£® ®¤­®à®¤­ ï ª®¬¯®­¥­â á⥯¥­¨ d, â. ¥. á㬬 ¢á¥å ¥£® ®¤­®à®¤­ëå ®¤­®ç«¥­®¢ á⥯¥­¨ d. ®£¤ f = f0 + f1 + :

2. ¨¬¬¥âà¨ç­ë¥ ¬­®£®ç«¥­ë

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 9.12. ­®£®ç«¥­ f ¨§ (9.7) ᨬ¬¥âà¨ç¥­, ¥á«¨ ®­ ­¥ ¬¥­ï¥âáï ¯à¨ «î-

¡®© ¯¥а¥бв ­®¢ª¥ ¯¥а¥¬¥­­ле. а¨¬¥а ¬¨ б¨¬¬¥ва¨з­ле ¬­®£®з«¥­®¢ п¢«повбп н«¥¬¥­- в а­л¥ б¨¬¬¥ва¨з­л¥ ¬­®£®з«¥­л

1	= 1(X1; : : : ; Xn) =	X1 + + Xn;
2	= 2(X1; : : : ; Xn) =	X1X2 + + Xn 1Xn;	(66)
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
n = n(X1; : : : ; Xn) =		X1 Xn:

à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, k { íâ® á㬬 ¢á¥å ¯à®¨§¢¥¤¥­¨© ¯® k ­¥¨§¢¥áâ­ëå Xi1 Xik , 1 i1	<
< ik n.
¯à ¦­¥­¨¥ 9.13. ᥠᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¬­®£®ç«¥­ë ®¡à §ãîâ ¯®¤ª®«ìæ® ¢ ª®«ìæ¥
¬­®£®ç«¥­®¢. ᫨ ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ f ¨§ (9.7) ¨¬¥¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ f = f0	+

f1 + ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ã¯à ¦­¥­¨¥¬ 9.11, â® ¢á¥ ¥£® ®¤­®à®¤­ë¥ ª®¬¯®­¥­âë f0; f1; : : :

ᨬ¬¥âà¨ç­ë. â à訩 ®¤­®ç«¥­ k à ¢¥­ X1 Xk.

2.			57
।«®¦¥­¨¥ 9.14. ãáâì
aX1m1 ; Xnmn			(67)
{ áâ à訩 ç«¥­ ­¥ª®â®à®£® ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ¬­®£®ç«¥­ . ®£¤
m1 m2 mn:			(68)
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì, ­ ¯à¨¬¥à, m1 < m2.		¥à¥áâ ¢«ïï X1 ¨ X2, ¯®«ãç ¥¬,
m2	X2m1	mn
çâ® ¢ ¬­®£®ç«¥­ ¢å®¤¨â â ª¦¥ ®¤­®ç«¥­ aX1		Xn	, ª®â®àë© áâ àè¥ (67), çâ®

­¥¢®§¬®¦­®.

¥®à¥¬ 9.15. ¦¤ë© ᨬ¬¥âà¨ç­ë© ¬­®£®ç«¥­ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ¬­®£®- ç«¥­ ®â í«¥¬¥­â à­ëå ᨬ¬¥âà¨ç­ëå ¬­®£®ç«¥­®¢.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì § ¤ ­ ᨬ¬¥âà¨ç­ë© ¬­®£®ç«¥­ f á® áâà 訬 ®¤­®ç«¥­®¬ (67). ® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 9.14 ¯®«ãç ¥¬ (68). áᬮâਬ ᨬ¬¥âà¨ç­ë© ¬­®£®ç«¥­

m1 m2	mn mn 1	mn
h = a 1	n 1	n
® ⥮६¥ 9.9 ¨ ã¯à ¦­¥­¨î 9.13 áâ à訩 ç«¥­ h à ¢¥­

aX1m1 m2 (X1X2)m2 m3 (X1 Xn 1)mn mn 1 (X1 Xn)mn = aX1m1 Xnmn

â. ¥. ᮢ¯ ¤ ¥â á® áâ à訬 ç«¥­®¬ f. ®í⮬ã áâ à訩 ç«¥­ ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­

f h ¬¥­ìè¥ áâ à襣® ç«¥­		f. த®«¦ ï íâ®â ¯à®æ¥áá ¢ ᨫã ⥮६ë 9.5 ¯®«ãç ¥¬
ã⢥ত¥­¨¥ ⥮६ë.
ਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à ¢ëç¨á«¥­¨©. ãáâì § ¤ ­ ®¤­®à®¤­ë© ᨬ¬¥âà¨ç­ë© ¬­®£®ç«¥­
f = X13 + X23 + X33 á⥯¥­¨ 3.		£® áâ à訩 ç«¥­ X13 ¨¬¥¥â ­ ¡®à ¯®ª § ⥫¥© (3; 0; 0).
믨襬 ¢á¥ ­ ¡®àë (m1; m2; m3) 2 (N [ 0)3 á ãá«®¢¨ï¬¨:
(1)	(m1; m2; m3) < (3; 0; 0);
(2)	m1 m2 m3;
(3)	m1 + m2 + m + 3 = 3:

в¨ ­ ¡®ал б®®в¢¥вбв¢гов ­ ¡®а ¬ ¯®ª § в¥«¥© бв аи¨е з«¥­®¢, ¢®§­¨ª ой¨е ¢ ¤®ª § - в¥«мбв¢¥ ®б­®¢­®© в¥®а¥¬л. ¤ ­­®¬ б«гз ¥ в ª¨¬¨ ­ ¡®а ¬¨ п¢«повбп (2; 1; 0); (1; 1; 1):

¦¤®¬ã ¨§ ¯®«ã稢è¨åáï ­ ¡®à®¢ (3; 0; 0); (2; 1; 0); (1; 1; 1) ᮯ®áâ ¢«¥­ ª ª ¨ ¢ ⥮६¥ ®¤­®ç«¥­ ®â í«¥¬¥­â à­ëå ᨬ¬¥âà¨ç­ëå ¬­®£®ç«¥­®¢. ®£¤

f = 13 + a 1 2 + b 3;	(69)
£¤¥ ª®íää¨æ¨¥­âë a; b ­ã¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì. ®¤áâ ¢«ïï ¢ (69)	X1 = X2 = 1; X3 = 0 ¯®-

«ãç ¥¬ 2 = f = 8 + 2a, ®âªã¤ a = 3. ®¤áâ ¢«ïï ¢ (69) X1 = X2 = X3 = 1 ¯®«ãç ¥¬ 3 = f = 27 27 + b, ®âªã¤ b = 3. â ª,

X13 + X23 + X33 = 13 3 1 2 + 3 3:

뢥¤¥¬ ⥯¥àì ä®à¬ã«ë ¨¥â . «ï í⮣® ¢ ª®«ìæ® R[X; X1; : : : ; Xn] à áᬮâਬ ¬­®- £®ç«¥­

f = a(X X1) (X Xn); a 2 R:

¥à¥¬­®¦ ï, ¯®«ãç ¥¬
f = aXn + a( 1) 1Xn 1 + + a( 1)k kXn k + + a( 1)n n:	(70)

ª¨¬ ®¡à §®¬, á¯à ¢¥¤«¨¢®

।«®¦¥­¨¥ 9.16. ãáâì R { ¯®«¥ ¨

f = anXn + + a0 2 R[X]

58	9.
¨¬¥¥â ª®à­¨ 1; : : : ; n, áç¨â ï á ¨å ªà â­®áâﬨ. ®£¤ ¤«ï «î¡®£®						k = 1; : : : ; n á¯à -
¢¥¤«¨¢ë ä®à¬ã«ë ¨¥â
		an k	= ( 1)	k	k:	(71)
		an

®ª § ⥫ìá⢮. 㦭® ¯®¤áâ ¢¨âì X1 = 1; : : : ; Xn = n; a = an ¢ (70).

ë ¢ëà ¦ «¨ ᨬ¬¥âà¨ç­ë¥ ¬­®£®ç«¥­ë ç¥à¥§ í«¥¬¥­â à­ë¥. ® ¢ à拉 á«ãç ¥¢ ¬®¦­® ¢ëà ¦ âì ¨ ç¥à¥§ ¤à㣨¥ ᨬ¬¥âà¨ç­ë¥ ¬­®£®ç«¥­ë. ¬¥­­®, ¤«ï «î¡®£® ­ âã- à «ì­®£® ç¨á« k ¯®«®¦¨¬

pk = X1k + + Xnk 2 Z[X1; : : : ; Xn]:

¥®à¥¬ 9.17 ( ®à¬ã«ë ìîâ®­ ). ª®«ìæ¥ Z[X1; : : : ; Xn] ¯®«®¦¨¬ k = 0 ¯à¨ k > n ¨ 0 = 1: ®£¤ ¤«ï «î¡®£® k 1 ¨¬¥¥¬

pk pk 1 1 + pk 2 2 + + ( 1)k 1p1 k 1 + ( 1)k k = 0:

®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥â¨¬, çâ® Z[X1; : : : ; Xn] Q[X; X1; : : : ; Xn]. ® (70)

n

n

X

Y

F (X) =

kXk =

(1 + XkX):

k=0

k=1

®£¤ ¯® (8.91)

n

ln(F (X)) =

X

ln(1 + XkX):

k=1

ëç¨á«ïï ¯à®¨§¢®¤­ãî ¯® X ¯® ⥮६¥ 8.89 ¯®«ãç ¥¬, çâ®

F (X)0

n

Xk

n

=

k=1

=

k=1 Xk(1 XkX + Xk2X2 +

) =

F (X)

1 + X

X

P

k

2

p3

P

k

T

k

pk+1

+

p1 Xp2 + X

+ + ( 1)

¤à㣮© áâ®à®­ë,

n

F (X)0

kkXk 1

k=1

P k=1 kXk

F (X)

=

:

P

n

®í⮬ã

n

n

X

X

kkXk 1 = ( kXk)(p1 Xp2 + X2p3 + + ( 1)kT kpk+1 + )

k=1

k=1

â ª, ¯à¨ k = 1; : : : ; n

k k = ( 1)kpk + ( 1)k 1 1 + + p1 k 1:

âáî¤ ­ 室¨¬ pk

«¥¤á⢨¥ 9.18. ᫨ R { ¯®«¥ ­ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨, â® ª ¦¤ë© ᨬ¬¥âà¨ç- ­ë© ¬­®£®ç«¥­ ï¥âáï ¬­®£®ç«¥­®¬ ®â p1; : : : ; pn.

ª ¦¥¬ ï¢­ë¥ ¢ëà ¦¥­¨ï k ç¥à¥§ p1; : : : ; pn ¨ ­ ®¡®à®â. ᨫã ⥮६ë 9.17 ¨¬¥¥¬ á¨á⥬㠫¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨©

8 1p1		2 2		= p2
>	1	2p1	3 2	=	p1	(72)
	1p2			=	p3
>
>
>: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
<

>

>

>

:

> p p p : : : ( 1)k 1k = p

1 k 1 2 k 2 3 k 2 k k

3.

59

¥è ï á¨á⥬ã (72) ®â­®á¨â¥«ì­® k ¯® ¯à ¢¨«ã à ¬¥à , ¯®«ãç ¥¬

p1

2

0 : : :

0 p2

1

0

0

: : :

0

p1

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

p1

1

0 : : :

0 0

p

k 1

p

k 2

: : : : : : p

p

k

1

p2

p1

2 : : :

0 0

1

k =

=

:

1

0

0 : : :

0

0

k!

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

p1

2 0 : : :

0

0

p

k

p

k 1

: : : : : : p

p

1

2

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

p

k 1

p

k 2

: : : : : : p

1

( 1)k 1k

¥è ï á¨á⥬ã (72) ®â­®á¨â¥«ì­® p

¯® ¯à ¢¨«ã

à ¬¥à , ¯®«ãç ¥¬, çâ®

2 12

k

0

0

1

1 : : :

1

0

: : :

0

0

p

k

=

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

(73)

(k

1)

k 1

k 2

: : : : : :

1

1

k

k

k 1

: : : : : :

2

1

ç áâ­®áâ¨,

p2 = 12 2 2; p3 = 13 3 1 2 + 3 3:

3.¨áªà¨¬¨­ ­â ¨ १ã«ìâ ­â

áᬮâਬ ¢ Z[X1; : : : ; Xn] ¬­®£®ç«¥­

W (X1; : : : ; Xn) =

1 Y

(Xj Xi):

i<j n

­®£®ç«¥­ W (X1; : : : ; Xn) ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥­ ¯® X1; : : : ; Xn.

®í⮬ã Wn(X1; : : : ; Xn)2

ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¬­®£®ç«¥­®¬ ¢

Z[X1; : : : ; Xn].

©¤¥¬ ¥£® ¢ëà ¦¥­¨¥ ç¥à¥§

p1; : : : ; pn ¨ ⥬ á ¬ë¬ ç¥à¥§ 1; : : : ; n ¯® ä®à¬ã« ¬ (73). á ¬®¬ ¤¥«¥,

X1

X2

: : :

Xn

1 X X2 : : : Xn 1

1

1

: : :

1

1 X1

X12 : : : X1n 1

W (X

; : : : ; X

)2

=

X2

X2

: : : X2

2

2

2

=

1

n

1

2

n

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

X2

: : : Xn

Xn 1

: : : Xn

1 X

n

1

Xn 1

1

n

n

1

2

n

	p1	p2			p3
	n	p1			p2
: : : : : : : : : : : : : : : :
p	n 1	p	n	p	n+1

: : :		pn	:	(74)
: : : pn 1
: : : : : : : : : : : : :
: : :	p	2n 2

ç áâ­®áâ¨, ¯à¨ n = 2
Disc(x1; x2) =	2	p1		2	2	2	2	4 2:
	p1	p2		= 2p2 p1	= 2( 1	2 2) 1	= 1

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 9.19. ¬¥¥¬

W (X1; : : : ; Xn)2 = Disc( 1; : : : ; n):

­®£®ç«¥­

Disc(X1; : : : ; Xn) 2 Z[X1; : : : ; Xn]

¨§ (74) ­ §ë¢ ¥âáï ¤¨áªà¨¬¨­ ­â®¬.§ í⮣® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢ë⥪ ¥â

60

9.

¥®à¥¬ 9.20. ãáâì

f= Xn + an 1Xn 1 + + a0 2 R[X];

,R { ¯®«¥, ¨ 1; : : : ; n { ¥£® ª®à­¨. ®£¤

Disc( 1( 1; : : : ; n); : : : ; n( 1; : : : ; n))) = 0

¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ f ¨¬¥¥â ªà â­ë© ª®à¥­ì.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 9.21. ãáâì § ¤ ­ ¬­®£®ç«¥­
f = a Xn + a	n 1	Xn 1	+		+ a ; a	= 0:
n					0	n 6

।¯®«®¦¨¬, çâ® 1; : : : ; n { ¥£® ª®à­¨. ¨áªà¨¬¨­ ­â®¬ í⮣® ¬­®£®ç«¥­ ­ §ë¢ ¥âáï
Disc(f) = an2n 2W ( 1; : : : ; n)2:
ᨫã (9.19) ¨ ä®à¬ã« ¨¥â ¯®«ãç ¥¬
Disc(f) = a2n 2 Disc(	an 1 ; : : : ; (		1)n a0 ):
n	an		an

¥¬ á ¬ë¬ ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì Disc(f) ç¥à¥§ ª®íää¨æ¨¥­âë an; : : : ; an. ª ¦¥¬ ï¢­ë© á¯®á®¡ í⮣® ¢ëç¨á«¥­¨ï. «ï í⮣® ¢¢¥¤¥¬ ¯®­ï⨥ १ã«ìâ ­â ¤¢ãå ¬­®£®ç«¥­®¢. ãáâì ¤ ­ë ¤¢ ¬­®£®ç«¥­

f = anXn + an 1Xn 1 + + a0; g = bmXm + bm 1Xm 1 + + b0

á ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ¢ ¯®«¥ R. ਠí⮬ ¬ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ®, ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥, ®¤¨­ ¨§ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ an; bm ®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï. ®«®¦¨¬

0

0

an

an 1

: : :

a1

a0

0

: : :

0 1

an

an 1

an 2

: : :

a0

0

0

: : :

0

B:

0: : : : : : :0: : : : : : :0: : : : ::::::: : :a: n: : : :a:n: : :1: : ::::::::::::::::: : :a:0:C

(f; g) =

B

bm

bm

: : :

b1

0

: : :

C

Mat(m + n; R):

R

Bbm

1

2

b0

0 C

2

B

0

1 : : :

b2

b1

b0

: : :

C

B

bm

bm

0 C

B

C

B

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

C

B: : :

0 C

B

C

B: : : : : : : : : : : : : : : : : b

m

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

b

C

B

0C

@

A

í⮩ ¬ âà¨æ¥ ¯¥à¢ë¥ n áâப § ¯®«­¥­ë ᮠᤢ¨£®¬ ­ ®¤¨­ è £ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ¬­®£®-

ç«¥­ f, ¯®á«¥¤­¨¥ m áâப { ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ¬­®£®ç«¥­									f. § ¢¨¤ R(f; g) ¢ë⥪ ¥â
।«®¦¥­¨¥ 9.22. ¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮								1
							Xm 1f
			Xn+m 1			0Xm 2f
		0Xn+m 21				B ...		C
	(f; g)		..		=	B	f	C
						B		C	(75)
R		B	.	C		BXn 1g C
						B		C
		B		C		B		C
		B		C		B		C
		B		C		B		C

BC

@	X	BXn 2g C
		A B	C

1B . C B .. C @ A

g

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 9.23. ¥§ã«ì⠭⮬ ¬­®£®ç«¥­®¢ f; g ­ §ë¢ ¥âáï

R(f; g) = det(R(f; g)):

¥®à¥¬ 9.24. ãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ¬­®£®ç«¥­ë u; v 2 R[X], çâ® R(f; g) = fu + gv: