матан

10.

Сложение вероятностей несовместных событий. Противоположные события

Определение. Суммой A + B двух событий A и B называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.Аналогично определяется сумма трех, четырех и более событий.

Суммой  называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример 10.1Группа из 25 студентов идет на зачет. События  состоят в том, что первый студент сдаст зачет, второй студент сдаст зачет, третий студент сдаст зачет, и т.д. Сумма этих событий  есть событие, заключающееся в том, что хотя бы один из них зачет сдаст.

Определение. События называются попарно несовместными, если любые два из этих событий несовместны.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:.Доказательство. Следует из третьей аксиомы.

Теорема. Сумма вероятностей попарно несовместных событий , образующих полную группу, равна единице, то есть:.Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то:.По предыдущей теореме:.Теорема доказана.

Определение. Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.

Обозначают противоположные события чертой сверху: событие Ā противоположно событию A.

Пример 10.2Студент идет на зачет. События, что он сдаст зачет и что он его не сдаст, являются противоположными. Действительно, это 2 события, они несовместны и образуют полную группу событий

.Пример 10.3Студент идет на экзамен. События, что он сдаст экзамен на 5 и что он его сдаст на 2, противоположными не являются, поскольку они не образуют полную группу событий (возможны еще оценки 3 и 4).

Пример 10.4Студент идет на экзамен. События, что он сдаст экзамен на 5, на 4, на 3, на 2 противоположными не являются, поскольку это не 2, а 4 события.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, то есть .

11.

Умножение вероятностей. Условная вероятность

Определение. Произведением AB двух событий A и Bназывают событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении всех событий.

Определение. Условной вероятностью  называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.

Пример 11.1Имеется колода из 36 карт. Какова вероятность вытянуть вторую карту красной масти, если известно, что первой была вытянута карта черной масти? Какова вероятность вытянуть вторую карту красной масти, если известно, что первой была вытянута карта тоже красной масти?Безусловная вероятность вытянуть красную масть равна . Если известно, что первой была вытянута черная масть, то при вытягивании второй карты мы имеем всего 35 вариантов, из них 18 — благоприятных (красная масть). Следовательно, вероятность вытянуть красную масть при условии, что одна карта черной масти уже вытянута, равна . В случае, когда первая вытянутая карта тоже красной масти, для вытягивания второй карты красной масти имеем 35 вариантов, из них благоприятных — 17. Вероятность вытянуть красную масть при условии, что первой была вытянута тоже красная, равна 

.Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое уже поступило:.

Без доказательства.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили:.

Пример 11.2Имеется n пронумерованных предметов. Какова вероятность вытащить их в возрастающей последовательности?Задача легко решается применением комбинаторики. Количество различных последовательностей вытаскиванияn предметов есть не что иное, как количество перестановок n!. Возрастающая же последовательность единственна. Следовательно, искомая вероятность может быть вычислена по формуле . Тот же результат можно получить используя последнюю теорему. Вероятность вытянуть первым предмет с номером «1» есть . Вероятность вытянуть на i-ом шаге предмет с номером «i», если предыдущие номера уже вынуты (осталось  предметов), есть .

Следовательно, искомая вероятность есть:.

Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Определение. Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности появления события B.

Пример 12.1При бросании кубика вероятность появления числа 2 при втором бросании не зависит от результатов первого бросания.

Пример 12.2При вытягивании экзаменационных билетов вероятность вытащить самый простой билет (№ 13) восьмым студентом зависит от результатов всех предыдущих.В случае, когда событие B не зависит от события A, в соответствии с определением , то есть условная и безусловная вероятности события равны.Поскольку события AB и BA — это одно и то же, то . Следовательно, если , то , то есть если B не зависит от A, то и A не зависит от B.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей каждого из них:.

Доказательство. Следует из определения независимых событий и теоремы умножения.Пример 12.3Какова вероятность, что, бросая кубик 6 раз, мы получим последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6?Результат бросания кубика не зависит от предыдущих результатов бросания. По формуле для вероятности произведения независимых событий искомая вероятность равна 

.Определение.

Несколько событий называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое из них и все возможные произведения остальных.Теорема. 

Вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:.

Замечание. Если  — независимые события, то и противоположные им события  — независимы.

Замечание. Если события  независимы в совокупности, то из определения следует их попарная независимость, то есть любые два из них независимы. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из попарной независимости не следует их независимость в совокупности (см. пример 12.4).Пример 12.4Пусть имеется тетраэдр (объемная фигура, сторонами которой являются правильные треугольники, всего — четыре стороны). Пусть три стороны раскрашены в красный, зеленый и синий цвета (по одному на каждую сторону), а четвертая содержит все три цвета. Будем бросать тетраэдр наудачу, и цвет, оказавшийся на нижней грани, назовем выпавшим. Очевидно, что вероятность выпадения красного цвета (а также вероятность выпадения зеленого и вероятность выпадения синего цветов) равны  (каждый цвет содержится на двух гранях из четырех). Вероятность одновременного выпадения двух цветов, например, красного и зеленого, равна . Таким образом, имеем . Аналогично для других комбинаций из двух цветов, то есть события выпадение цвета — попарно независимы. Вероятность же выпадения всех трех цветов одновременно , то есть события не независимы в совокупности.

14.

Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного события из независимых в совокупности событий  равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий .Доказательство. Пусть событие A является суммой n независимых в совокупности событий , т.е. .

По формуле вероятностей противоположных событий (см. квант 10) можно написать, что:.Событие  состоит в реализации хотя бы одного из событий . Следовательно, противоположное ему событие  заключается в том, что ни одно из событий  не будет реализовано. Это означает, что:.Следовательно, можно написать, что:.В силу сформулированного в кванте 12 замечания о том, что если события  независимы в совокупности, то и противоположные им события  также являются независимыми в совокупности. Это означает, что вероятность произведения событий  равна произведению вероятностей каждого из сомножителей:.Следовательно:.Теорема доказана.

Замечание. В общем случае, когда события  не являются независимыми в совокупности, справедлива формула:.

Пример 14.1Имеются 4 стрелка. Вероятности поражения мишени равны 0,2; 0,3; 0,4 и 0,1. Какова вероятность, что при выстреле залпом мишень будет поражена?

Решение. Если вероятности попасть в мишень равны 0,2; 0,3; 0,4 и 0,1, то это означает, что вероятности промахнуться, равны, соответственно, 0,8; 0,7; 0,6 и 0,9.

16.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

В кванте 10 мы рассмотрели формулу для вероятности суммы несовместных событий . Обобщим теперь эту формулу на случай, когда складываются два совместных события A и B.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:.Без доказательства.

Замечание 1. В случае несовместных событий  мы получаем формулу для вероятности суммы несовместных событий как частный случай.

Замечание 2. Сделаем еще замечание по структуре формулы для вероятности суммы двух совместных событий. Графически два совместных события можно изобразить как две пересекающиеся области A и B. Сумма A+ B соответствует попаданию в какую-нибудь из областей, или A, или B. В 3 кванте говорилось, что вероятность попадания в некоторую область пропорциональна площади этой области, и соответственно вероятность попадания в объединение двух областей будет пропорциональна площади этой объединенной области. А ее, в свою очередь, можно представить как сумму площадей двух областей A и B за вычетом пересекающегося участка, так как при суммировании площадей A и B он будет учтен 2 раза.

Пример 16.1Даются 2 задачи. Зачет ставится при решении хотя бы одной. Какова вероятность получить зачет, если вероятность решить первую задачу — 0,5; вторую — 0,7?Пусть событие A состоит в том, что решена первая задача, а событие B — вторая. Вначале решим задачу уже рассмотренным нами в 14 кванте способом. События независимы, поэтому вероятность решения хотя бы одной из задач по теореме о наступлении хотя бы одного из независимых событий:.Теперь рассмотрим эту же задачу способом, рассмотренным в настоящем кванте. Используя теорему о вероятности суммы совместных событий, получаем тот же ответ:.

20.

Повторение испытаний. Формула Бернулли

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p и не появиться с вероятностью q = 1 - p.

Обычно первый из двух возможных исходов называют удачей, а второй — неудачей (разумеется, такое деление условно, и, возможно, кому-то захочется назвать два возможных исхода удачей и неудачей противоположным образом). Поставим задачу выяснить вероятность того, что за n испытаний произошло ровно k удач, неважно, в какой последовательности (естественно, что всегда )

.При заданной последовательности удач и неудач вероятность равна  (испытания независимы). Число различных способов, какими могут быть расположены k удач из n испытаний всего по формулам комбинаторики (см. квант 7) равно .

По формуле длявероятности суммы несовместных событий для вероятности ровно k удач из n испытаний всего,

получаем (формула Бернулли):.Рассмотрим несколько предельных случаев:

1) ,2) ,3) .

Отметим, что при фиксированном n и при малых значениях k вероятность достаточно маленькая, и это обусловлено тем, что маловероятно, что нам не повезет ни разу (не будет ни одного удачного исхода). С ростом k эта вероятность будет расти, при некотором значении достигнет максимума и далее будет убывать, становясь при k близких к n снова достаточно малой. Малое значение вероятности при k, близких к n, обусловлено тем, что маловероятно, что все испытания будут удачные.

Пример 20.1Кубик бросают 10 раз. Какова вероятность того, что 3 раза выпадет единица?

Вероятность удачи (выпала единица) — p = 1/6, вероятность неудачи — q = 5/6. По формуле Бернулли:.

18.

Формула полной вероятности и формулы Байеса

Пусть имеется полная группа несовместных событий , обычно называемых гипотезами. Пусть некоторое событие Aможет наступить при условии появления одного из этих событий с известными условными вероятностями: . Возникает вопрос, как посчитать безусловную вероятность события A. Ответ дает следующая теорема.Теорема (формула полной вероятности). Пусть  — полная группа несовместных событий (гипотезы). Если известны условные вероятности , то безусловную вероятность наступления события A можно посчитать по формуле:.Без доказательства.Пример 18.1Вам надо купить определенную книгу. Всего имеем 3 магазина. Вероятность того, что книга будет куплена в первом магазине, составляет 50%, во втором — 30%, в третьем — 20%. В первом магазине 40% книг «пиратского» издания, во втором — 50% «пиратских» книг и в третьем — 20%. Какова вероятность, что купленная вами книга окажется «пиратской»?Обозначим через  — события, заключающиеся в том, что мы попали в первый, второй и третий магазины, соответственно, а событие A — то, что купленная книга — «пиратская». По условию  и . События  — несовместны, и образуют полную группу. Из условия известно также, что . Используя формулу полной вероятности, найдем, что вероятность купить «пиратскую» книгу (неважно, в каком магазине) равна:Теорема (формулы Байеса).

Пусть A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Допустим, что произведено испытание, в результате которого произошло событие A. Тогда вероятность того, что реализовалась гипотеза B_i, если известно, что событие A произошло, может быть вычислена по формулам:.

Доказательство.

 По теореме умножения вероятностей:.Выражая , найдем:.Знаменатель можно представить, используя формулу полной вероятности. Теорема доказана.

Пример 18.2Вам надо купить определенную книгу. Всего имеем 3 магазина. Вероятность того, что книга будет куплена в первом магазине равна 50%, во втором — 30%, в третьем — 20%. В первом магазине имеется 40% книг «пиратского» издания, во втором — 50% «пиратских» книг и в третьем — 20%. Вы купили книгу в каком то из трех магазинов, и она оказалась «пиратской». Какова вероятность того, что книга куплена в первом магазине, втором, третьем?Условие задачи совпадает с предыдущей. Сохраняя прежние обозначения и используя полученные результаты, применим формулы Байеса:,,. 

21.

Локальная предельная теорема Лапласа

Вычисления по формуле Бернулли:сложны при большом числе испытаний n из-за вычисления больших значений факториала. Действительно, , , а в ряде случаев возникает необходимость проведения и существенно больше, чем 100 испытаний. Выражения  и , наоборот, очень близки к нулю при большом числе испытаний. Действительно, имея в виду, что p и q — это вероятности, а, значит, их значения лежат в пределах от нуля до единицы, при возведении в степень, даваемую большим числом, будут очень близки к нулю. В таких случаях используют приближенные формулы для вычисления вероятностей вместо формулы Бернулли.

Теорема (формула Лапласа). Если вероятность удачи p в одном из n независимых испытаний с двумя исходами постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность появления ровно k удач приближенно равна (тем точнее, чем больше n):.Без доказательства.

Замечание. Несмотря на то, что формула Лапласа выглядит более громоздко, чем формула Бернулли, пользоваться ей при больших nболее удобно, поскольку в ней не возникает факториалов от больших чисел, типа n!, и возведений числа меньше единицы в высокую степень, типа  и . Значение же экспоненты  может быть легко вычислено на компьютере или даже на калькуляторе. Реально формулой Лапласа можно пользоваться, когда .

Пример 21.1Тест состоит из 10-ти вопросов, по 4 варианта ответа на каждый вопрос. Один ответ — верный, остальные — нет. Какова вероятность случайно ответить верно ровно на 2 вопроса?

По формуле Бернулли, как было рассмотрено нами в кванте 20, вероятность равна .Если же воспользоваться формулой Лапласа, то эта же вероятность будет равна:.Расхождение объясняется тем, что число испытаний 10 не достаточно велико, а формула Лапласа дает хорошее приближение для больших n.

Пример 21.2Вероятность поразить мишень при одном выстреле равна 0,5. Найти вероятность поразить мишень ровно 50 раз, если сделано 100 выстрелов.

По формуле Бернулли .По формуле Лапласа .

22.

Интегральная теорема Лапласа

Пусть имеется n независимых испытаний, каждое с двумя исходами. Вероятности удачи и неудачи равны, соответственно,  и , то есть выполнены все условия для применения формулы Бернулли.

Пусть число испытаний n велико, и формула Бернулли, таким образом, становится неудобной в применении.

В кванте 21 мы рассмотрели локальную предельную теорему Лапласа, позволяющую приближенно рассчитать вероятность наступления ровно k удач. Предположим, что нас интересует вероятность того, что число удач будет не менее чем k₁ и не более, чем k₂, или, для краткости, от k₁до k₂ раз. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.