матан
.doc-
.
-
.
Нахождение F (x) по f (x): .
Пример 32.3
Найти F (x), если плотность распределения имеет вид
:.
Решение..
33.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Для дискретной случайной величины закон распределения которой задается таблицей
X |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
… |
xn |
P |
p1 |
p2 |
p3 |
p4 |
… |
pn |
математическое ожидание определяется следующим образом (см. квант 26):.Для непрерывной случайной величины попробуем ввести аналогичное понятие. Пусть все возможные значения случайной величины Xпринадлежат отрезку [a, b]. Разобьем всю область значений, которые может принимать непрерывная случайная величина X на отдельные отрезки и выберем внутри каждого отрезка точку . Сумма произведений различных значений на вероятность попадания в интервал есть . Переходя к пределу при стремлении к нулю величины максимального интервала получим определенный интеграл .Определение. Математическим ожиданием случайной величины X, все возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют определенный интеграл:.Если возможные значения случайной величины X принадлежат всей числовой оси, то:.
При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, что означает существование интеграла .
Пример 33.1Вычислить математическое ожидание случайной величины, плотность распределения которой имеет вид: .Решение. .
Пример 33.2Вычислить математическое ожидание случайной величины, плотность распределения которой имеет вид:
.Решение
.
Дисперсия непрерывной случайной величины
По аналогии с дискретной случайной величиной, дисперсия которой определяется выражением , введем понятие дисперсии для непрерывной случайной величины.
Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата разности между этой случайной величиной и ее математическим ожиданием: .Воспользовавшись формулой для математического ожидания непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b] (см. квант 34) получим: .Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то: .
Из определения для дисперсии непрерывной случайной величины можно получить формулу, аналогичную той, что справедлива длядисперсии дискретной случайной величины: ,
а для дисперсии случайной величины, возможные значения которой принадлежат всей оси, получим: .
Среднеквадратичное отклонение для непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной случайной величины: .
Пример 34.1Вычислить дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины, плотность распределения которой имеет вид: .
Решение. ..