матан

Теорема (интегральная теорема Лапласа). Если вероятность удачи p в одном из n независимых испытаний с двумя исходами постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность появления от k₁до k₂ удач приближенно равна (тем точнее, чем больше n):,где , .Без доказательства.

Замечание 1. Как и в случае с локальной теоремой Лапласа, этой формулой при больших n пользоваться удобней, чем формулой Бернулли, поскольку она не содержит вычисления факториалов от больших чисел.

Замечание 2. Интеграл, содержащийся в рассмотренной теореме, не может быть вычислен в элементарных функциях, то есть он относится к классу так называемых «не берущихся» интегралов. Его значение может быть определено численно, например, с использованием одного из вычислительных пакетов, или из таблицы для значений интеграла , называемого функцией Лапласа. 

Формула Пуассона

В кванте 20 рассмотрена задача нахождения вероятности, что в серии из n независимых испытаний с двумя исходами будет ровно k удач. При этом вероятность удачи в одном испытании обозначалась как p, а вероятность неудачи как q = 1 - p. Эта вероятность определялась формулой Бернулли.

При большом числе испытаний формула Бернулли становится неудобной в использовании из-за больших значений факториала, и в кванте 21 была сформулирована приближенная формула (локальная теорема Лапласа).

ФормулаЛапласа справедлива, когда вероятность удачи p не близка к нулю или единице. В реальном использовании формула Лапласа дает неплохое приближение, когда .

В случае, когда p мало (или q мало, так как можно переназвать удачу и неудачу) даже при большом числе испытаний n применение формулы Лапласа дает значительную погрешность. Для редких событий обычно используют другое приближение, а именно, считают, что n велико, а p — мало, так что их произведение — , где λ — некоторая константа. Для получения приближенной формулы воспользуемся формулой Бернулли, в которой перейдем к пределу при , так, чтобы величина  оставалась постоянной:.При вычислении предела мы воспользовались правилами вычисления предела от произведения и вторым замечательным пределом. Таким образом, мы получили, что при больших n и малых p вместо формулы Бернулли можно воспользоваться приближенной формулой:,называемой формулой Пуассона, где .

24.

Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины

Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания будет принимать одно и только одно значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин.

Пример 24.1Подбрасываем игральный кубик с гранями 1, 2, 3, 4, 5, 6. Количество выпавших очков есть случайная величина. Возможные значения этой случайной величины — число очков 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем реализация того или иного значения случайной величины зависит от множества случайных факторов, и заранее не может быть предсказана.

Пример 24.2Дальность полета снаряда из пушки — случайная величина. Действительно, заранее указать точно ее значение невозможно, поскольку на дальность влияет множество случайных факторов: сила и направление ветра, некоторые отличия в массе пороха в разных снарядах и тому подобное.В этом и последующих квантах будем обозначать случайные величины прописными буквами, например, X,Y,Z, а значения, которые может принимать случайная величина соответствующими строчными буквами: x,y,z.Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения. Каждое значение с определенной вероятностью.

Непрерывной называют случайную величину, которая принимает любые значения из некоторого промежутка (возможно бесконечного).Число возможных значений дискретной случайной величины счетно (конечно или бесконечно), а число возможных значений непрерывной случайной величины несчетно.

Пример 24.1 (число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика) есть пример дискретной случайной величины, а пример 24.2 (дальность полета снаряда) есть пример непрерывной случайной величины.

Пример 24.3Станок производит за смену 100 деталей, причем с некоторой вероятностью деталь может оказаться бракованной. Примерами случайной величины для задачи в такой постановке будут:

• количество бракованных деталей (возможные значения целые числа от 0 до 100);

• количество качественных деталей (возможные значения целые числа от 0 до 100);

• доля брака, то есть отношение количества бракованных деталей к количеству произведенных деталей (возможные значения числа 0, 0,01, 0,02, ..., 1).

Возможно сформулировать и другие величины этой задачи, которые будут принимать случайные значения. Приведенные в примере случайные величины все являются дискретными.

25.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина может принимать различные изолированные значения, причем, очевидно, что задать совокупность возможных значений недостаточно. Две случайные величины с одинаковыми возможными значениями могут иметь разные вероятности реализации одного и того же возможного значения. Для наиболее полной возможной характеристики случайной величины вводится понятие закона распределения

.Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями (каждому значению поставлена в соответствие некоторая вероятность его реализации).Реализация того или иного значения случайной величины — это некоторое событие, причем все эти события, очевидно, несовместны. Сумма вероятностей всех возможных событий равна единице, а, значит, сумма всех вероятностей, которые поставлены в соответствие возможным значениям случайной величины, тоже равна единице. Если дискретная случайная величина имеет конечное число возможных значений, то сумма вероятностей в законе распределения представляет собой сумму конечного числа слагаемых, если же число возможных значений бесконечно (но при этом оно будет счетно), то сумма всех вероятностей будет представлять собой ряд, сходящийся к единице.Закон распределения дискретной случайной величины можно задать следующими способами:

• аналитически (в виде формулы), то есть указать правило, по которому каждому возможному значению x_k случайной величины поставлено в соответствие значение вероятности p_k;

• табличным способом, то есть в виде таблицы:

  x	x1	x2	x3	…	xn
  p	p1	p2	p3	…	pn

• графически, то есть в виде некоторого набора точек на графике, где возможные значения случайной величины отложены по оси абсцисс, а соответствующие им вероятности по оси ординат.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Наиболее полная возможная информация о дискретной случайной величине содержится в законе распределения.

Однако в ряде случаев этот закон распределения неизвестен, или его нахождение сопряжено со значительными трудностями, поэтому наряду с законом распределения для характеристики случайной величины широко используют такие понятия как математическое ожидание и дисперсия.

В этих понятиях содержится существенно меньше информации о случайной величине, чем в законе распределения, но в ряде случаев этой информации вполне достаточно, и эта информация часто является лучше воспринимаемой для понимания. В этом кванте мы рассмотрим математическое ожидание (для краткости иногда произносят «мат. ожидание»).

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины с распределением вероятностей соответственно  называется величина:.Замечание 1. Если дискретная случайная величина содержит бесконечное число возможных значений, то математическое ожидание будет содержать бесконечное число слагаемых в сумме, то есть будет числовым рядом.

Замечание 2. Величина X — случайная, то есть может принимать случайные значения, но математическое ожидание MX, вычисляемое на основе закона распределения, есть число не случайное, а имеющее для данного закона распределения вполне определенное значение.Пример 26.1Найти математическое ожидание случайной величины, заданной законом распределения:

x	2	3	5	6
p	0,1	0,3	0,1	0,5

По определению математического ожидания вычисляем:.Пример 26.2Найти математическое ожидание случайной величины — числа выпавших очков при подбрасывании игрального кубика.В 25 кванте нами был получен закон распределения заданной случайной величины: вероятности каждого из возможных значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 равны 1/6. По определению математического ожидания вычисляем:.Несмотря на то, что возможные значения случайной величины — исключительно натуральные числа, математическое ожидание может быть числом не целым.

Сформулируем ряд свойств математического ожидания, упрощающих вычисления.

1. Математическое ожидание неслучайной величины равно этой величине, то есть MC = C.Действительно, неслучайную величину можно рассматривать как случайную, которая может принимать единственное значение С с вероятностью, равной единице. Тогда по определению математического ожидания получаем MC = C.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то есть .Величина  есть случайная величина, в которой значения случайной величины X умножаются на константу C, а соответствующие вероятности остаются неизменными. Тогда в формуле для математического ожидания все значения случайной величины будут содержать множитель C, который можно вынести за скобку и получить сформулированное утверждение:.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то есть:.Пусть законы распределения случайных величин X и Y равны соответственно  и . Тогда закон распределения случайной величины  будет  (произведение ввиду того, что случайные величины независимы). По определению математического ожидания , а . Отсюда и следует равенство . Аналогичную формулу можно получить и для произведения трех и более независимых случайных величин разбиением на пары множителей и последовательным применением этого свойства к каждой паре.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий, то есть .Используя обозначения, введенные в предыдущем пункте и обозначая вероятность того, что случайная величина  примет значение  символом  можем записать:.Перегруппируем слагаемые в сумме:.Величина  есть сумма вероятностей того, что случайная величина Y примет значение y_m, а при этом случайная величина Xимеет значение x_k. Все эти события несовместны, значит, . Аналогично можно показать, что . В итоге получаем:.Аналогичная формула справедлива для суммы трех и более случайных величин, которую можно получить разбиением на пары случайных величин и последовательным применением полученной формулы для каждой из пар. Используя второе свойство легко показать, что .

27.

Дисперсия дискретной случайной величины

В кванте 26 для характеристики случайной величины мы ввели понятие математического ожидания. При большом числе испытаний математическое ожидание приблизительно равно среднему значению случайной величины. Очевидно, что только математическое ожидание недостаточно характеризует случайную величину. В частности, можно привести два примера случайной величины с одинаковым математическим ожиданием (например, равным нулю), при этом разброс значений первой из них будет малым (все значения случайной величины расположены вблизи ее математического ожидания, то есть нуля), а разброс второй, наоборот, большим (значения случайной величины имеют большие значения по модулю, но при вычислении математического ожидания значения случайной величины разных знаков сокращаются между собой). Вся информация о случайной величине заложена в законе распределения, а математическое ожидание — это одна из характеристик закона распределения, и в ряде случаев недостаточная для описания случайной величины. Так возникает необходимость указать не только среднее значение случайной величины (примерно равное математическому ожиданию), но и ее разброс в окрестности этого среднего. Например, в стрельбе для описания того, насколько далеко «ложатся» друг от друга пули? используют понятие кучности, которое и характеризует разброс случайной величины — положения пробоины в мишени.Выясним теперь, как можно было бы описать разброс значений случайной величины. Можно ввести отклонение случайной величины от ее математического ожидания X - MX, которая также будет случайной величиной. Описать разброс как среднее отклонение оказывается невозможным, так как математическое ожидание отклонения M (X – MX) оказывается всегда равным нулю (это легко вычислить, используя свойства математического ожидания). И, действительно, отклонения разных знаков будут компенсировать друг друга. Что бы получить ненулевое среднее отклонение, можно говорить о модуле отклонения или квадрате отклонения. В обоих случаях эти случайные величины будут иметь только положительные значения, и не будут сокращаться при вычислении математического ожидания. При этом среднее значения модуля отклонения или квадрата отклонения будут характеризовать именно рассеяние случайной величины в окрестности ее математического ожидания. Обычно используют квадрат отклонения и вводят понятие дисперсии.Определение. Дисперсией дискретной случайной величины X называется величина .Замечание 1. Величина X — случайная, а дисперсия DX, так же, как и математическое ожидание MX, имеет для данного закона распределения вполне определенное значение.Замечание 2. Для закона распределения случайной величины дисперсию можно записать как  .Замечание 3. Для расчета удобней пользоваться не формулой, фигурирующей в определении, а формулой, которую можно получить, используя свойства математического ожидания:.Пример 27.1Найти дисперсию случайной величины, заданной законом распределения:

x	2	3	5	6
p	0,1	0,3	0,1	0,5

В 26 кванте мы вычислили математическое ожидание случайной величины с таким законом распределения и получили . Вычислим дисперсию согласно определению:.Вычислим теперь дисперсию с помощью формулы . Величина  и тогда получаем тот же ответ .

31.

Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Пусть X — непрерывная случайная величина, возможные значения которой заполняют интервал (a, b). Для дискретной случайной величины распределение задается таблицей:

X	x1	x2	x3	x4	…	xn
P	p1	p2	p3	p4	…	pn

Для непрерывной случайной величины X таблицу построить нельзя. Для нее вводится понятие функции распределения.Определение. Функцией распределения непрерывной случайной величиныX называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значений, меньшее x, т.е. .Геометрическая интерпретация:При заданном x значение функции F(x) определяет вероятность того, что случайная величина X при испытании примет значение, меньшее, чем F(x).Определение. Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства функции распределения

Свойство 1. Значения функции распределения F(x) случайной величины Xнаходятся в диапазоне от 0 до 1, то есть .

Доказательство. Поскольку по определению , где  — вероятность, что случайная величина X примет значение меньше, чем x, а вероятность лежит в диапазоне от 0 до 1, то .

Свойство 2. Функция распределения F (x) является неубывающей.

Доказательство. Пусть , тогда:Поскольку они несовместны, то:.Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в диапазоне (a, b), равна приращению ее функции распределения на этом интервале:.Данная формула напоминает формулу Ньютона—Лейбница.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию:.Из определения следует, что F (x) — первообразная к f (x). Первообразная определяется с точностью до константы, а она задается условием .Замечание 1. Для дискретной случайной величины F (x) можно построить, а f (x) — нет.Теорема. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал есть .Доказательство. По свойству функции F (x) можно написать, что . Используя основную теорему интегрального исчисления (формулу Ньютона—Лейбница), получим:.Геометрический смысл — площадь под кривой графика функции f (x).Пример 32.1Вычислить , если плотность распределения вероятностей имеет вид:Решение. .Пример 32.2Вычислить , если плотность распределения вероятностей имеет вид:Решение. .Свойства функции плотности распределения