2. Дифференциальое уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории

Дифференциальное уравнение первого порядка

(2.1)

где и- функциии, называется уравнением сразделяющимися переменными, если коэффициентыипри дифференциалах разлагаются на множители, зависящие только отили только от, т.е. если оно имеет вид

(2.2)

Разделив оба члена уравнения (2.2) на получим

(2.3)

Общим интегралом уравнения (2.3), а следовательно и (2.2), будет

(2.4)

Ортогональные траектории семейства линий называются линии, пересекающие линии одного семейства под прямым углом. Продифференцировав уравнениепои исключивиз полученного и данного уравнений получим дифференциальное уравнение линий данного семействаТогдадифференциальным уравнением ортогональных траекторийбудет:

3. Дифференциальные уравнения первого порядка:

   1. Однородное, 2) линейное, 3) бернулли

Однородное уравнение. называетсяоднородным, еслии- однородные функции отиодинакового измерения. Оно приводится к видуи решается подстановкойили

Линейное уравнение. Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функциии всех ее производных.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид . Оно сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой. Другой способ решения (вариация произвольной постоянной) состоит в том, что сначала решаем уравнение; получаемПодставляем это решение в данное уравнение, считаяфункцией, и затем находими.

Уравнение Бернулли решается также, как и линейное, подстановкойили вариации произвольной постоянной. Уравнение Бернулли приводится к линейному подстановкой.

4. Дифференциальные уравнения, содержащие дифференциалы

ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО

Такие уравнения иногда легко решаются, если соответственно положить ,или.

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В ПОЛНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ

Если в дифференциальном уравнении

, то оно приобретает види его общий интеграл будет.

Если , то при некоторых условиях существует функция, такая, чтоЭта функцияназываетсяинтегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель легко найти в случаях:

1. когда , когда

2. когда , когда

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ.

УРАВНЕНИЯ ЛАГРИНЖА И КЛЕРО

Если уравнение второй степени относительно, то она имеет два решения относительнои, непрерывных относительноив некоторой области, а геометрически определяет в любой точкеэтой области два направления интегральных кривых.

Такие дифференциальные уравнения , кроме общего интегралаи частных интегралов, иногда имеют ещеособый интеграл, не содержащий произвольной постоянной и в то же время не получающийся из общего ни при каком значении постоянной.

Особый интеграл, если он существует, можно получить исключив из уравненийиили же исключивиз общего интегралаи. Геометрическийособый интегралопределяетогибающую семейства интегральных кривых.

Уравнение Лагранжа

(6.1)

где интегрируется следующим образом:

Это уравнение линейное относительно иРешив его получим

(6.2)

Уравнения (6.1) и (6.2) будут параметрически определять общий интеграл. Исключив из них параметр (если это возможно), получим общий интеграл в форме.

Уравнение Клеро

(6.3)

является частным случаем уравнения Лагранжа. Оно имеет общий интеграл и особый, получающийся исключением параметраиз уравненийи