Частные производные, полные дифференциалы и их приложения

1. Функции двух переменных и их геометрическое изображение

Определение. Переменная называетсяоднозначной функцией переменныхи, если каждой паре значенийив некоторой области их изменений поставлено в соответствие одно значение. Функциональную зависимостьотизаписывают в виде

. (1.1)

Геометрическое изображение. Уравнение (1) геометрически определяет некоторую поверхность. Пара значений иопределяет на плоскоститочку, а- аппликату соответствующей точкина поверхности. Поэтому говорят, чтоесть функция точки, и пишут.

Предел функции , если разность-есть бесконечно малая, когдапри любом способе приближенияк(например, по любой линии).

Непрерывность функции. Функция называетсянепрерывной в точкеесли,Иначе говоря, функциянепрерывна в некоторой точке, если

2. Частные производные первого порядка

Производная функции по, найденная в предложении, что остается постоянным, называетсячастной производной пои обозначаетсяили.

Аналогично определяется и обозначается частная производнаяпо:

3. Полный дифференциал первого порядка

Если функция имеет в точкенепрерывные частные производные, то ее полное приращение может быть представлено в виде

(3.1)

где при. Тогда выражениеестьглавная часть полного приращения; она называетсяполным дифференциалом функции и обозначается:

(3.2)

Полагая в формуле (3.2) равным 1); 2), найдем,. Поэтому

(3.3)

Из (3.1) следует что

(3.4)

т.е. при достаточно малых иполное приращение функции приближенно равно ееполному дифференциалу.

Функция называетсядифференцируемой в точке, если она имеет в этой точке полным дифференциалом.

4. Производные сложных функций

Если тоназываетсясложной функцией от. При этом

(4.1)

Если функция идифференцируемы.

Если , где, если функцииидифференцируемы, то

(4.2)

5. Производные неявных функций

Уравнение , имеющее решение, определяет в окрестностипеременнуюкак непрерывную функциюпри условии, что производнаяи непрерывна в некоторой окрестности точки.

Символично это равенство можно записать так:

Аналогично и т.д.

7. Интегрирование полных дифференциалов

Чтобы выражение гдеи- дифференцируемые функциии, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия

Для нахождения из условийиполучим

Выписав из первого предложения все известные члены, а из второго – члены с, недостающие в первом, получим функцию.

Чтобы выражение где- дифференцируемые функции оти, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условий:

Для нахождения имеем:

Выписав из первого выражения все известные члены, а из второго и третьего – недостающие члены с и, получим функцию.

Нахождение функции по ее полному дифференциалу называется интегрированием полного дифференциала.

8. Особые точки плоской кривой

Точка кривой называетсяособой, если в этой точкеи.

Угловой коэффициент касательной в точке находится из уравнениягде- значения производныхив этой особой точке.

При этом возможно три случая:

1. - две касательных; точка называетсяузлом.

2. - нет касательной; точкаизолирована.

3. - или изолированная точка, или точка возврата, самосоприкосновения существует одна общая касательная к двум ветвям прямой.

Чтобы в третьем, сомнительном, случае решить вопрос окончательно, нужно узнать, имеются ли точки кривой в сколь угодно малой окрестности исследуемой точки.