Тема 2. Динамика поступательного движения. Элементы специальной теории

Законы динамики – это три закона Ньютона:

1.Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если сумма всех сил действующих на тело равна нулю.

Состояние покоя или равномерное движение означает, что ускорение тела равно нулю, математически первый закон Ньютона можно записать следующим образом: , если.

2. В инерциальной системе отсчета, ускорение, приобретаемое телом под действием силы, направлено так же как сила, по величине пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела:

.

Отсюда сила, действующая на тело: .

Вспомним, что импульс тела равен произведению массы тела на его скорость (). Тогда второй закон Ньютона можно сформулировать иначе:в инерциальной системе отсчета, импульс тела изменяется под действием силы, и скорость изменения импульса тела равна силе действующей на тело:

.

3. Два взаимодействующих тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению:

.

Сила – это вектор, модуль силы – длина вектора силы, находим ее по теореме Пифагора. В общем случае:

.

Пример 2.1.Импульс материальной точки изменяется по закону: (кгм/с). Чему равен модуль силы (в Н), действующей на точку в момент времени t=2с?

Решение: согласно второму закону Ньютона сила равна производной импульса по времени: . Найдем вектор силы

,

при t=2c сила равна ,

модуль силы равен

Пример 2.2. Импульс материальной точки изменяется по закону: . Чему равен модуль силы (в Н), действующей на точку в момент времени t=2с?

Решение: ,

при t=2c, ,

модуль силы .

Пример 2.3. Первый закон Ньютона:

 справедлив в любой системе отсчета

 справедлив только в инерциальных системах отсчета

 утверждает, что в инерциальных системах отсчета тело обязательно покоится или движется равномерно и прямолинейно

 утверждает невозможность ускоренного движения тела в инерциальных системах

Пример 2.4. Известно, что некоторая система отсчета К инерциальна. Инерциальной является любая другая система отсчета,

 равномерно вращающаяся относительно системы К

 движущаяся относительно системы К равномерно и прямолинейно

 движущаяся относительно системы К ускоренно и прямолинейно

 совершающая относительно системы К гармонические колебания

Вспомним некоторые силы:

Cила упругости при малых деформациях равна произведению коэффициента жесткости тела (k) на деформацию тела (х), взятому с противоположным знаком: .

Cила трения скольжения равна произведению коэффициента трения () на силу давления (N), направлена в сторону противоположную направлению движения тела: .

Cила давления (N) – направлена перпендикулярно поверхности по которой скользит тело, если поверхность горизонтальная, то сила давления численно равна силе тяжести, действующей на тело: .

Если тело скользит по наклонной поверхности под действием силы тяжести, то сила давления равна проекции силы тяжести на перпендикуляр к поверхности: .

Сила вязкости равна произведению коэффициента трения на скорость движения тела, направлена противоположно скорости:

.

Cила всемирного тяготения – сила притяжения между телами, обладающими массой, направлена вдоль линии соединяющей центры взаимодействующих тел, прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами масс тел: .

Сила тяжести – это сила притяжения между телом и планетой

.

Вес тела – сила, с которой тело действует на опору или подвес, равна произведению массы тела на геометрическую разность ускорения силы тяжести и ускорения движения тела:

.

Рассмотрим пример вертикального движения тела в лифте. Если лифт покоится или движется равномерно: .

Если лифт движется так, что его ускорение направлено вниз:

, вес уменьшается.

Если лифт движется так, что его ускорение направлено вверх:

, вес увеличивается.

Сила Архимеда – все тела, помещенные в жидкость или газ, выталкиваются с силой равной весу вытесненной жидкости (т.е. произведению объема тела на плотность жидкости и на ускорение силы тяжести): .

Пример 2.5. Тело массой т движется с коэффициентом трения μ по наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонт. По какой формуле определяется сила трения? Ответ: .

Пример 2.6. Лифт движется вверх, скорость лифта изменяется в соответствии с графиком, представленном на рисунке. В какой промежуток времени сила давления груза на пол совпадает по модулю с силой тяжести?

Решение: рассмотрим все интервалы времени

(0,1) – v увеличивается, a направлено вверх ;

(1,2) – v постоянна, a равно нулю ;

(2,3) – v уменьшается, a направлено вниз .

Элементы специальной теории относительности

При описании движения тел со скоростями близкими с скорости света в вакууме необходимо перейти от классической механики к релятивистской, в основе которой лежат постулаты Эйнштейна:

1. Принцип относительности – никакие опыты, проведенные внутри инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружит, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой;

2. Принцип инвариантности скорости света – скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Это означает, что для наблюдателя находящегося внутри движущегося со скоростью близкой к скорости света космического корабля все процессы происходят так как если бы он был неподвижен. Для наблюдателя на Земле длины предметов на корабле уменьшаются, а массы тел и интервалы времени событий увеличиваются:

; ;,

где m₀, l₀ , ₀ – масса, длина тела, длительность промежутка времени в системе относительно которой оно покоится.

Релятивистский закон сложения скоростей:

скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (u), скорость тела относительно движущейся системы отсчета (u’), скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной (v)

Пример 2.7. Скорость света в вакууме:

 зависит от длины волны

 одинакова во всех инерциальных системах отсчета

 различна в разных системах отсчета

 зависит от скорости источника

Пример 2.8. На борту космического корабля нанесена эмблема в виде круга (рис. а). Если корабль движется в направлении, указанном на рисунке стрелкой, со скоростью, сравнимой со скоростью света, то какую форму примет эмблема в неподвижной системе отсчета?

Ответ: из-за релятивистского сокращения длины в направлении движения корабля эта эмблема примет форму эллипса сжатого в направлении скорости.

Пример 2.9. Космический корабль с двумя космонавтами летит со скоростью V=0,8c (c - скорость света в вакууме). Один из космонавтов медленно поворачивает метровый стержень из положения 1, параллельного направлению движения, в положение 2, перпендикулярное этому направлению. Тогда длина стержня с точки зрения другого космонавта …

Ответ: не изменится, так как оба наблюдателя находятся в одной системе отчета, относительно которой стержень неподвижен.

Пример 2.10. Космический корабль пролетает мимо Вас со скоростью 0,8с. По Вашим измерениям его длина равна 90 м. Чему равна его длина в состоянии покоя?

Решение: выведем формулу для расчета длины корабля относительно неподвижной системы отсчета из формулы: ,

получим выражение ,

подставим значение скорости

.

Пример 2.11. Релятивистское сокращение длины ракеты составляет N=20%. При этом скорость ракеты равна…

Решение: релятивистское сокращение длины ракеты выраженное в процентах – это отношение изменения длины ракеты к ее первоначальной длине умноженное на сто

Ответ:

Пример 2.12. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость 0,4с (с – скорость света в вакууме). В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения -частицу, скорость которой 0,75с относительно ускорителя. Скорость -частицы относительно ядра равна…

Решение: при решении задачи нужно найти скорость тела (-частицы, u’=?) относительно подвижной системы отсчета (относительно ядра, v=0,4c), если известна скорость частицы относительно неподвижной системы отсчета (u=0,75с). Воспользуемся формулой

Ответ: .

Пример 2.13. Движущееся со скоростью 0,6с ядро испустило частицу в направлении своего движения. Скорость частицы относительно ядра 0,3с. Тогда ее скорость относительно неподвижной системы отсчета равна…

Решение: u=?; v=0,6c; u’=0,3c.

Ответ: =