Тема 4. Работа и энергия. Законы сохранения в механике

Элементарная работа силы равна , работа на всем пепемещении ранв интегралу.

Работа постоянной силы - скалярное произведение силы и перемещения:

(Скалярное произведение векторов – скалярная величина равная произведению длин векторов на синус угла между ними или сумме произведений соответствующих координат).

Работа переменной силы интеграл от силы по перемещения:

геометрически, равная площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.

Мощность – работа, совершаемая за одну секунду

.

Единица измерения работы – Джоуль - [A]= Дж; единица измерения мощности – ватт - [N]=Вт.

В любой физической системе при совершении работы происходит изменение энергии. Энергия – физическая величина, характеризующая состояние системы.

Кинетическая энергия – энергия движения:

1. - кинетическая энергия поступательно движущегося тела;

2. - кинетическая энергия вращающегося тела;

3. –КЭ тела движущегося поступательно и вращающегося (например, колесо автомобиля)

Теорема о кинетической энергии – приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на том же перемещении

.

Отметим, что мощность всех сил, действующих на тело равна скорости изменения кинетической энергии тела

.

Потенциальная энергия – энергия взаимодействия, расчетные формулы для разных видов взаимодействия будут разными, например

а) потенциальная энергия тела массы m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли:

б) ПЭ гравитационного взаимодействия двух тел - ;

в) ПЭ упруго деформированной пружины - .

Теорема о ПЭ – изменение потенциальной энергии взятое с противоположным знаком равно работе сил, действующих на тело: .

Если тело движется в потенциальном поле, на него со стороны поля действует сила равная градиенту потенциала поля и направленная противоположно направлению увеличения потенциальной энергии:

.

Закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе энергия не исчезает, она превращается из одного вида в другой, полная механическая энергия не изменяется: Е = П+К = const

Пример 4.1. На рисунке изображены зависимости ускорений трех прямолинейно движущихся материальных точек одинаковой массы от координаты х.

Для работ A₁, A₂, A₃ сил, действующих на точки, справедливо следующее соотношение:

 А₁> А₂> А₃  А₁< А₂> А₃

 А₁< А₂< А₃  А₁> А₂< А₃

Решение: по второму закону Ньютона F = ma, т.е. график зависимости ускорения от времени имеет вид графика зависимости силы от времени. Мы отмечали, что работа геометрически равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения, т.е. фигура между осью х и линией силы. Самая большая площадь под линией 1, затем 2 и 3, следовательно s₁> s₂> s₃, А₁> А₂> А₃.

Пример 4.2. На рисунке показан вектор силы, действующей на частицу. Чему равна работа, совершенная этой силой при перемещении частицы из начала координат (0,0) в точку с координатами (5,2)?

Решение: по определению . Сила постоянна и равна(см. рис.),

.

Пример 4.3. Частица совершила перемещение из точки 1 с радиус-вектором в точку 2 радиус-вектором. При этом на нее действовала сила. Чему равна работа силы7

Решение: воспользуемся формулой из предыдущего примера

.

Пример 4.4. Частица движется в двумерном поле, причем ее потенциальная энергия задается функцией . Чему равна работа сил поля (в Дж) по перемещению частицы из точки С(1,1,1) в точку В(2,2,2)?

Решение:

)

величина силы равна длине вектора:

.

Пример 4.5. В потенциальном поле сила F пропорциональна потенциальной энергии П. Если график зависимости потенциальной энергии от координаты имеет вид (см. рис.), то зависимость проекции силы F_x на ось х будет …

Решение: потенциальная энергия линейно зависит от координаты . Проекция силы на ось х равна производной энергии по координате, взятой с противоположным знаком:

Ответ: график (1).

Пример 4.6. Тело массы m=100 г бросили с поверхности земли с начальной скоростью V₀ = 10 м/с под углом α=30° к горизонту. Если пренебречь сопротивлением воздуха, средняя мощность, развиваемая силой тяжести за время падения тела на землю, равна …

Решение: мощность – это изменение энергии за единицу времени . Потенциальная энергия в верхней точке траектории равна кинетической энергии в начальный момент .

Время падения равно времени подъема. В верхней точке траектории v_y обращается в ноль, используем формулу скорости:

Ответ:

Пример 4.7. Диск в одном случае скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости высотой h, а в другом случае соскальзывает с нее. Если трением можно пренебречь, то отношение скоростей диска v₁/v₂ у основания наклонной плоскости будет равно:

   

Решение: 1) диск скатывается без проскальзывания т.е. движется поступательно и вращается – кинетическая энергия , вспомним, момент инерции диска. Кинетическая энергия внизу равна потенциальной энергии в верхней точке наклонной плоскости:

, .

2)диск соскальзывает, т.е. движется поступательно -

, .

Отношение скоростей, равно: .

Пример 4.8. Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Тогда верным утверждением относительно времени скатывания к основанию горки является следующее:

 быстрее скатится полый цилиндр

 быстрее скатится сплошной цилиндр

 оба тела скатятся одновременно

Решение: время скатывания тем меньше, чем больше скорость тела к конце горки. При скатывании происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую

, ,

Из последнего выражения следует, что конечная скорость будет больше для тела с меньшим моментом инерции. Момент инерции полого цилиндра ( больше момента инерции сплошного цилиндра (), значит, сплошной цилиндр скатится быстрее.

Пример 4.9. Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости тел одинаковы, то какой цилиндр поднимется выше и чему равно отношение высот h₁/h₂ …

 7/10  14/15  ¾ 1

Решение: при движении вверх происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, см. формулы предыдущего задания: , выше поднимется тело с большей кинетической энергией, т. е. большим моментом инерции - полый цилиндр. Отношение высот равно

.

Кроме энергии состояние движущегося тела характеризует импульс или количество движения тела : .

В соответствии со вторым законом Ньютона сила, действующая на тело равна скорости изменения импульса тела под действием этой силы , отсюда следует= - приращение импульса, иногда произведение () называют импульсом силы.

Закон сохранения импульса – в инерциальной системе отсчета полный импульс замкнутой физической системы остается в процессе движения постоянным .

Пример 4.10. Импульс материальной точки изменяется по закону

. Модуль силы (в Н), действующей на точку в момент времени t = 4 c, равен …

Решение: согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе: . Тогда зависимость силы от времени имеет вид .

Модуль силы .

Пример 4.11. Шар массой m₁=200г, движущийся со скоростью v₁ = 3 м/с, налетает на покоящийся шар m₂=5m₁. Если удар абсолютно неупругий, скорость шаров (в м/с) после удара равна:

 0,5  0,6  2  1,67

Решение: закон сохранения импульса для этого случая .

.