- •Функциональные ряды Методические указания и индивидуальные задания
- •1. Индивидуальные задания
- •1.1. Теоретические упражнения
- •1.2. Практические задания
- •1.2.2. Задание 2
- •1.2.4. Задание 4
- •1.2.5. Задание 5
- •1.2.6. Задание 6
- •1.2.7. Задание 7
- •2.Примеры выполнения заданий
- •2.1. Пример 1
- •Типы функций
- •2.2. Пример 2
- •2.3. Пример 3
- •3. Контрольные вопросы
1. Индивидуальные задания
1.1. Теоретические упражнения
Дайте определение функционального ряда. Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании функционального ряда.
Дайте определение функционального ряда. Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании функционального ряда.
Дайте определение степенного ряда. Сформулируйте теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.
Докажите теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.
Сформулируйте и докажите теорему об интервале сходимости степенного ряда.
Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда. Укажите способ определения радиуса сходимости. Приведите формулу для вычисления радиуса сходимости с использованием признака Даламбера.
Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда. Укажите способ определения радиуса сходимости. Приведите формулу для вычисления радиуса сходимости с использованием признака Коши.
Приведите формулу для ряда Тейлора. Сформулируйте и докажите условие, при котором этот ряд сходится и равен самой функции.
Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании степенного ряда.
Вывести формулу разложения в ряд функции y = ex.
Вывести формулу разложения в ряд функции y = sin x.
Вывести формулу разложения в ряд функции y = cos x.
Вывести формулу разложения в ряд (1 + x)m.
Вывести формулу разложения в ряд функции y = ln(1 + x).
Дайте определение тригонометрического ряда, ряда Фурье для функции f(x) на [-, ], для функции f(x) на .
Дайте определение тригонометрического ряда. Вывести коэффициенты Фурье для функции f(x) на [-, ].
Дайте определение тригонометрического ряда. Вывести коэффициенты Фурье для функции f(x) на .
Дайте определение кусочно монотонной функции. Сформулируйте теорему о разложимости кусочно монотонной функции в ряд Фурье.
Дайте определение тригонометрического ряда. Приведите коэффициенты Фурье для четной и нечетной функции.
Сформулируйте и докажите теорему о сходимости ряда Фурье в данной точке.
Сформулируйте и докажите достаточное условие сходимости ряда Фурье.
1.2. Практические задания
Задание 1
Найти область сходимости функционального ряда .
Таблица 1.1
Индивидуальные задачи к заданию 1
n |
fn(x) |
n |
fn(x) |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
3 | ||
2 |
4 |
Продолжение табл.1.1
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
20 | ||
6 |
21 | ||
7 |
22 | ||
8 |
23 | ||
9 |
24 | ||
10 |
25 | ||
11 |
26 | ||
12 |
27 | ||
13 |
28 | ||
14 |
29 | ||
15 |
30 | ||
16 |
31 | ||
17 |
32 | ||
18 |
33 | ||
19 |
34 |
Продолжение табл.1.1
1 |
2 |
3 |
4 |
35 |
50 | ||
36 |
51 | ||
37 |
52 | ||
38 |
53 | ||
39 |
54 | ||
40 |
55 | ||
41 |
56 | ||
42 |
57 | ||
43 |
58 | ||
44 |
59 | ||
45 |
60 | ||
46 |
61 | ||
47 |
62 | ||
48 |
63 | ||
49 |
64 |
Продолжение табл.1.1
1 |
2 |
3 |
4 |
65 |
80 | ||
66 |
81 | ||
67 |
82 | ||
68 |
83 | ||
69 |
84 | ||
70 |
85 | ||
71 |
86 | ||
72 |
87 | ||
73 |
88 | ||
74 |
89 | ||
75 |
90 | ||
76 |
91 | ||
77 |
92 | ||
78 |
93 | ||
79 |
94 |
Продолжение табл.1.1
1 |
2 |
3 |
4 |
95 |
98 | ||
96 |
99 | ||
97 |
100 |